平面直角坐标变换

1、§ 6平面直角坐标变换平移坐标变换定义：若二平面直角坐标系O; i , j和O' i j ' 满足i=i j=j '，则坐标 系O'； i '，j ' 可看成是由O； i，j经过平移得到的，称由坐标系O； i， j到坐标系O' i ', j ' 的变换为平移坐标变换。平移变换公式设平面上一点M在新系O ' ; i ', j ' 与旧系O; i , j下的坐标分别为(x', y' ) , (x,y ),而O'在旧系下的坐标为(a,b ),贝Vxi+yj二OP = OO

2、 + OP 二ai+bj+x ' i ' +y' j=ai+bj+x' i+y ' j= (a+x') i+ (b+y') jx = X +a y' + b平移坐标变换公式二旋转坐标变换：定义：若二坐标系O; i , j和O' i ', j ' 满足 O- O',另/( i , j ') =9 则坐标系O' i ', j ' 可看成是由坐标系O; i , j绕O旋转9角得到 的，称由O; i , j到O' ; i ', j ' 的变换为旋转坐标

3、变换。旋转变换公式 由于/( i , i ') =0,aZ( i , j ')二+ 92i '二cos 9 i+sin 9 j , j '二cos ( + 9 ) i+sin ( + 9 ) j二-sin 9 i+cos 9 j 2 2xi+yj= OP = O P =x ' i ' +y' j ' =x '( cos 9 i+sin 9 j ) +y'(-sin 9 i+cos9 j )=(x' cos 9 -y ' sin 9 ) i+ (x ' sin 9 +y' cos 9

4、) j口r k = x"cos。一 y"si即丿 ddy = x siy cos用x,y表示x', y '，有f = xcos 日 + ys in 日y = -xsin 寸 y cos寸三一般坐标变换：称由坐标系O; i , j得坐标系O' i ', j ' 的变换为一般坐标变换。注：一般坐标变换可分两步来完成，首先将坐标系O; i , j平移成O ' ; i ', j ' ，再将此坐标系绕O'旋转9 =Z( i , i ')角，即得O ' ; i ', j ' 。一般变

5、换公式：设平面上任一点关于旧系O; i , j与新系O' i ', j ' 的坐标分别为(x,y (x', y'),关于O' i , j的坐标为(x ，y )，而 O'在O; i , j下的 坐标为(a,b),则r¥ .x = x +a y = y“ +bx" = x"cosB y "sin 日 y" = x"si n 日 + y *cos6x=x"cos日-y"sin日 + a <y = x"si nB + y"cosB +b用x,

6、y表示x', y '，有(a)co +(y b)sin日=xcos日 + ysin日一acos日-bsin日 y = _(x _a)sin0 +(y b)cosT = -xsin日 + ycosT + asin日-bcosO注：上述坐标变换亦可先旋转，再平移而完成。例：设有二坐标系O; i , j和O' i ', j ' ，且知i ', j '所在直线在坐标系O; i ,j下的方程为 A1x+ B1y+ C1 =0, A2x+B2y+C2=0，试求坐标变换公式。解：设平面上任一点P在旧系与新系下的坐标分别为(x,y ) (x',

7、y')则P到i '所在直线的距离用新坐标表示为AxBiy C_ I y'12 2AB1从而_± A/ + B/22"ABi同理+ A2X + B2 y +C2Ja22 +b22A2x + B2 y + C=土,2'人2 +b22二 Ax Biy CiA2+Bi2注：上式土号的选取应注意到A2_+ B1a22b22.a/所在直线为2x-y+3_0 ,Bi2j '所在直线为x+2y-2=0，则坐标变换公式为, x+2y3 x 二x 2y -2752x y 3 2x y+3四 坐标变换下，二次曲线方程的系数的变化规律:1在平移下设将坐标原点

8、平移 O'( X 0，y 0)，则平移公式为X = X0 +X y =y° +y则在新系O'i , j = a11 (x+x0) 2+2 a12 ( x0+x(y°+y' ) +a?2 ( y°+y' ) 2+2ai3 (x' +X0) +2a23 (y' +y°) + a33 =0若记 F (x' , y')三 F (x' +x0, y' +y0)a11 ' x' 2+2a12 ' x' y' +a22y' 2+2a13

9、9; x' +2a23' + a33',则a11=ai1ai3=ai1 X0 + ai2 y 0 + ai3 =F1 ( X0 , y 0 )ai2=ai2a23=a21 x 0 + a?2 y 0 + a?3 =F2 ( x°, y°)a22a22a33= aii x 0 2+2 a12 X0 y 0 + a22 a33 2+2ai3 X0+2y° a23 + a33=F(X。，y°)可见：在平移变换下，(1) 二次项系数不变;二次曲线方程的(2) 次项系数变为Fi ( X0, y°), F2 ( X0 , y

10、6;);(3)常数项变为F ( x0 , y0) o从而若取O ( X0, y0)为二次曲线F(X, y) =0的中心，则在新系下，方程中将无次项。2在旋转变换下，设旋转角为0，则平面上一点在旧系与新系下的坐标( x,y ) ( x', y ')间满足f a f ax=x cos廿-y sinti y =x"si n 日 + y "cos 日二次曲线在新系下的方程为F '( x' , y' ) =F (x ' cos 0 -y ' sin 0 , +x ' sin 0 +y ' cos 0 )a11 (

11、x ' cos 0 -y ' sin 0 )2 +2a12 (x ' cos 0 -y ' sin 0 ) (+x ' sin 0 +y ' cos 0 ) +a22 (+x ' sin 0 +y ' cos 0 ) 2+2 a13 (x ' cos 0 -y ' sin 0 )+2 a23 (+x ' sin 0 +y ' cos 0 ) +833 =02 2a“ = a cos 0+2a12 sincosT+a22sin 0" 2 2a12 =(a2a11 )sin cosT+a12(cos 日一sin 日)" 2 2a22 = a11 sin T2a12sincos日十a12cos 日则 22111212Fa13 = a13cos0+a23sin 日Fa23 = -a13 sin 日 + a23 cos日Fa 33 a33可见，在旋转变换下，二次曲线方程1