第十章对坐标的曲线积分

1、实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:baljyxqiyxpyxf),(),(),( 常力所作的功常力所作的功oxyabl1m2m1 imim1 nmix iy 分割分割.),(,),(,1111110bmyxmyxmmannnn .)()(1jyixmmiiii .abfw 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出,),(),(),(jqipfiiiiii 取取,),(1iiiiimmfw oxyabl1 nmim1 im2m1m),(iif ix iy .),(),(iiiiiiiyqxpw 即即求和求和 niiww1. ),(),(1 niiiiii

2、iyqxp 近似值近似值取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyqxpw 精确值精确值二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnmmyyyxxxbmamnimmnlyxmyxmyx

3、mllyxqyxpbaxoyl.),(lim),(,(),(,),(101iiniilniiiixpdxyxpxlyxpxp 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniilyqdyyxq ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxqyxp.叫积分弧段叫积分弧段l2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当lyxqyxp3.组合形式组合形式 ll

4、ldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(. ldsf.,jdyidxdsjqipf 其中其中4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧. rdzqdypdx.),(lim),(10iiiniixpdxzyxp .),(lim),(10iiiniiyqdyzyxq .),(lim),(10iiiniizrdzzyxr 5.5.性质性质.,)1(2121 lllqdypdxqdypdxqdypdxlll则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(lll lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp

5、),(),(),(),(即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算定理定理,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 ldyyxqdxyxpttttblalyxmttytxllyxqyxp dttttqtttpdyyx

6、qdxyxpl)()(),()()(),(),(),( 且且一代、二换、三定限一代、二换、三定限曲线积分化成参变量的定积分曲线积分化成参变量的定积分代代将将 l 的参数方程代入被积函数的参数方程代入被积函数换换dttydydttxdx)(,)( 定限定限下限下限起点参数值起点参数值上限上限终点参数值终点参数值特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyl，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxqxyxpqdypdxbal 则则.)(:)2(dcyyxxl，终点为，终点为起点为起点为 .),()(),(dyyyxqyxyyxpqdypdxdcl 则则.,)()()(:)3(

7、终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttrttttqttttprdzqdypdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( (4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxl ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxl lldsqpqdypdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） ,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsrqprdzqdy

8、pdx)coscoscos(则则可用向量表示可用向量表示 dsta rda, dsat，其中其中,rqpa ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量taat例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算baxylxydxl 解解xy 2)1, 1( a)1 , 1(b的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy obaolxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx . 11到到

9、从从 y ablxydxxydx 1122)(dyyyy 1142dyy.54 例例2.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算abxaaaldxyl 解解,sincos:)1( ayaxl)0 ,(aa)0 ,( ab ，变到变到从从 0 0原式原式 daa)sin(sin22 03a)(cos)cos1(2 d .343a , 0:)2( yl，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 )0 ,(aa)0 ,( ab 例例3).1 , 1

10、(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算baooabboyxboxyldyxxydxl 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x, 10,:2变到变到从从xxyl 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 2xy )0 , 1(a)1

11、 , 1(b.)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxl 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(a)1 , 1(b)3( aboadyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 oa) 0 , 1 (a)1 ,1(b,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxoa. 0 ,上上在在 ab,10, 1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxab10 原原式式. 1 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相

12、同. 1 四、小结四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系思考题思考题 当当曲曲线线l的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示l的的方方向向（如如l表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例如例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从

13、从 0 变变到到 2时时，l取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到0时时，l取取顺顺时时针针方方向向.练练 习习 题题一一、填填空空题题: : 1 1、 对对_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的曲曲线线积积分分与与曲曲线线的的方方向向有有关关； 2 2、 设设0),(),( dyyxqdxyxpl, ,则则 lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、 在在公公式式 dyyxqdxyxpl),(),( dttttqtttp)()(, )()()(, )(中中, ,下

14、下 限限对对应应于于l的的_ _ _ _ _点点, ,上上限限 对对应应于于l的的_ _ _ _ _点点； 4 4、两两类类曲曲线线积积分分的的联联系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二二、计计算算下下列列对对坐坐标标的的曲曲线线积积分分: : 1 1、 lxydx, ,l其其中中为为圆圆周周) 0()(222 aayax及及 x轴轴所所围围成成的的在在第第一一象象限限内内的的区区域域的的整整个

15、个边边界界( (按按 逆逆时时针针方方向向绕绕行行) )； 2 2、 lyxdyyxdxyx22)()(, ,l其其中中为为圆圆周周 222ayx ( (按按逆逆时时针针方方向向饶饶行行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其中为有向闭折线其中为有向闭折线abcd, ,这里这里 的的cba,依次为点依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4 4、 abcdayxdydx, ,其中其中abcda是以是以)0 , 1(a，)1 , 0(b, , )0 , 1( c, ,)1, 0( d为顶点的正方形正向边界线为顶点的正方形正向边界线

16、 . .三三、设设z轴轴与与重重力力的的方方向向一一致致, ,求求质质量量为为m的的质质点点从从位位置置),(111zyx沿沿直直线线移移到到),(222zyx时时重重力力所所作作的的功功. . 四四、把把对对坐坐标标的的曲曲线线积积分分 ldyyxqdxyxp),(),(化化成成对对弧弧长长的的积积分分, , l其其中中为为: : 1 1、 在在xoy面面内内沿沿直直线线从从点点( (0 0, ,0 0) )到到点点( (1 1, ,1 1) )； 2 2、 沿沿抛抛物物线线2xy 从从点点( (0 0, ,0 0) )到到点点( (1 1, ,1 1) )； 3 3、 沿沿上上半半圆圆周周xyx222 从从点点( (0 0, ,0 0) )到到点点( (1 1, ,1 1) ). . 练习题答案练习题答案一、一、1 1、坐标；、坐标； 2 2、- -1 1； 3 3