关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

1、关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直 ”模型是 “一线三等角 ”模型的特别情形， （关于 “一线三等角 ”模型详见 比例与相像高级教程 （六） ：相像三角形的 “一线三等角 ”模型 ），即三个等角角度为 90o， 于是有三组边相互垂直，所以称为 “一线三垂直 ”模型；“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相像，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，就模型中必定存在全等三角形；“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的位置，常显现的图例有以下几种：其中，在“变形2”模型下，依据相像原理，推理出了闻名的“射影定理”这里主要争论有一对对应

2、边相等的情形；【例 1】如图， 在等腰直角三角形abc中， acb=rt ， ac=bc ，ae ce 于点 e， bd ce 于点 d ， ae=5cm ， bd=2cm ，就 de 的长为多少？【 提 示 】 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 的 性 质 ， ace cbd ， 于 是cd=ae=5cm，ce=bd=2cm， de=5-2=3 （ cm）【例 2】如图，在abc中， ca=cb ，点 d为 bc 中点， ce ad 于点 e ，交 ab 于点 f，连接df ；求证：ad=cf+df.【解析】此题乍一看起来和【例1 】相同，却不能照搬照抄；从要证明的结论来看，需要把ad

3、这条线段“转化 ”到直线cf 上；如图，过点b 作bg cb ，交 cf 的延长线于点g；就易证acd cbg ， 于是ad=cg=cf+fg；bg=cd=bd， bf=bf ， dbf= gbf=45o ，故 bdf bgf ，于是fd=fg ，所以ad=cf+df；关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（二）“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相像，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，就模型中必定存在全等三角形；【例 3】如图，在abc中， ab=ac， bac=90o ，分别过b，c 向过 a 点的直线作垂线，垂足分别为e ， f；（

4、1 ）如图1，过点a 的直线与斜边bc 不相交时，求证：ef=eb+cf ；（ 2 ）如图2，过点a 的直线与斜边bc 相交时，其他条件不变，如be=10 ， cf=3. 求ef 的长；【提示】（1 ）图 1 是“一线三垂直”的基础模型，abe caf ；（ 2 ）图 2 是 “一线三垂直”的变形4，和【例1 】相同；【例 4 】如图，已知aeb中， aeb=90o ，以 ab 为边向外作正方形abcd ，连接ac 、 bd ，交于点o，连接eo ；如 be=2 ， eo=32，求五边形aebcd的面积；【解析】由于abc= aeb=90o ，故构造“一线三垂直”模型，如图；过点 c 作 cp

5、 eb ，交 eb 延长线于点p，连接op；就依据 “一线三垂直”模型的性质，aeb bpc ， bp=ae ； aob= aeb=90o ， a 、 e、 b、 o 四点共圆（详见“四点共圆”在解题中的妙用（一）， beo= bao=45o ；同理 bpo= bco=45o ，故 eop 为等腰直角三角形； eo=32， ep=6 ， bp=4 ，依据勾股定理，ab2 =16+4=20 ，即 s 正方形abcd=20，s aeb=4× 2÷2=4 ， s 五边形aebcd=20+4=24.关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（三）【例 5】已知 abc 中， a

6、cb=90o ， ac=bc ， cd 为 ab 边上的中线，点 e 为 bc 边上任意一点（不与 a 、 d 、 b 重合）， bf ce 于点 f，交 cd 于点 g ， ah ce ， 交 ce 延长线于点 h ，交 cd 延长线于点 m ；求证：（ 1 ） cg=ae ；（ 2） de=dm ；【提示】（ 1 ）依据 “一线三垂直 ”模型， ach cbf ， ace= cbg ，又 cae= bcg=45o ， ac=bc ， ace bcg ；（ 2 ）由 “一线三垂直 ”模型可知， ace= cbg ， bf=ch ， hcm= fbe ，又 bfe= chm=90o ， chm

7、 bfe ， be=cm ，从而de=dm；同时我们也应当留意到：acm cbe ； adm cde bdg ； ahe cfg ； dm=dg=de； gem 为等腰直角三角形等；构造 “一线三垂直”模型，是作帮助线常用的一种手段；【例 6】如图，直线l1 l2 l3 ，且 l1 到 l2 的距离为3， l2 到 l3 的距离为4 ，等腰直角 abc的直角顶点c 在 l2 上 ，点a 、 b 分别在l1 、 l3 上；求abc的面积；【提示】过点 c 作 l2 的垂线，分别交 l1 和 l3 于点 d 、 e ，构造 “一线三垂直 ”模型，就 cd=3 ， ad=ce=4 ， ac=5.关于

8、“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（四）【例7 】（ 2021初二期望杯练习题）如图，四边形abcd为直角梯形，ad bc ， bcd=90o ，ab=bc+ad， dac=45 o ，e 为 cd 上一点， 且 bae=45 o ，如 cd=4 ，求 abe 的面积；【解析】如图，过点 e 作 eg ae ，交 ab 延长线于点 g，过点 g 作 gh dc ，交dc 延长线于点 h ，构造 “一线三垂直 ”模型；过点 g 作 gk bc 于点 k ，过点 b 作bf ad 于点 f ；就 ade ehg ， de=gh ； ad=eh=cd， de=ch ，故四边形ckgh为正方形

9、；af=4-bc ， ab=4+bc， bf=4 ，（ 4+bc ） 2=（ 4-bc ） 2+42， 解得： bc=1 ，所以ab=5 ；设 de=x ，就 bk=1-x ， gk=x ， ae2=x2 +42 aeg为等腰直角三角形，ag2 =2ae2 ，（ 5+bg ） 2=2 （ x2+42），将bg 代入，化简得：（ 7x-4 ） 2=0 ， x=4/7 ， abe 面积 = 梯形 abcd面积 - ade面积 - bce 面积=（ 1+4 ） ×4÷2-4 ×4/7 ÷2-1 ×4-4/72÷=50/7 ；在直角坐标系中构

10、造“一线三垂直”模型，是解决坐标问题的一种有效手段；【例 8】如图，在直角坐标系中，点a （ 1， 2），点b（ 0 ， -1 ），已知abc为等腰直角三角形，求点c 的坐标；【解析】设 c （ m， p ）；（ 1 ）当 bac 为直角时：当点 c 在 ab 右侧时， 如图 1；过点 a 作 de x 轴，交 y 轴于点 d ，过点 c 作 ce de于点 e；依据 “一线三垂直 ”模型， abd ace ， db=ae ， ce=da ，即： m-1=3 ， 2-p=1 ， 解得： m=4 ， p=1 ， c （ 4， 1）；当点 c 在 ab 左侧时， 如图 2；过点 a 作 de x

11、轴，交 y 轴于点 d ，过点 c 作 ce de于点 e；依据 “一线三垂直 ”模型， abd ace ， db=ae ，ce=da ，即： 1-m=3 ， p-2=1 ，解得： m=-2 ， p=3 ， c（ -2 ， 3）；（或者用以下方法：此时，点 c 和中的 c 关于点 a 对称，故 m=2× 1-4=-2 ， p=2×2 1=3. ）（ 2 ）当 abc 为直角时：当点 c 在 ab 右侧时， 如图 3；过点 a 作 ae x 轴，交 y 轴于点 e，过点 c 作 cd y 轴于点 d ；依据 “一线三垂直 ”模型， abe bcd ， db=ae ，be=cd

12、 ，即：-1-p=1 ， m=3 ，解得： m=3 ， p=-2 ， c（ 3， -2 ）；当点c 在 ab 左侧时，如图4；过点 b 作 de x 轴，过点c 作 cd de 于点 d ，过点a 作 ae de 于 点 e ；依据 “一线三垂直”模型， abe bcd ， be=cd ， bd=ae ，即： 0-m=3 ， p - （ -1 ） =1 ， 解得： m=-3 ， p=0 ， c（ -3 ， 0）；（或者用以下方法：此时，点c 和中的c 关于点b 对称，故m=2× 0-3=-3 ， p=-1 ×2（ -2 ） =0. ）（ 3 ）当 acb为直角时：当点c 在

13、 ab 右侧时，如图5；过点c 作 cd x 轴，过点a 作 ad cd 于 点 d，cd 交 y 轴 于点e；依据 “一线三垂直”模型， acd cbe ， be=cd ， ce=da ，即： m=2-p ， p- （ -1 ） =m-1 ，解得： m=2 ， p=0 ，即cd 与 x 轴重合，点e 与 o 重合， c （ 2， 0）；当点c 在 ab 左侧时，如图6；过点c 作 cd x 轴，过点a 作 ad cd 于 点 d，cd 交 y 轴 于点e；依据 “一线三垂直”模型， acd cbe ， be=cd ， ce=da ，即： 1-m= p- （ -1 ）， 2-p = 0-m ，

14、 解得： m=-1 ， p=1 ， c（ -1 ， 1）；（或者用以下方法：此时，点c 和中的c 关于 ab 的中点对称，ab 的中点坐标为（ 0.5 ， 0.5 ），故m=2× 0.5-2=-1 ， p=0.5 ×2 0=1. ）综上所述：符合条件的点c 的坐标有6 个：（ 4 ， 1）；（ -2 ， 3 ）；（ 3， -2 ）；（ -3 ， 0）；（ 2， 0 ）；（ -1 ， 1）；关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（五）前面争论的是关于“一线三垂直模型”有两条边相等时的情形；假如不存在两条边相等，那么“一线三垂直模型”的性质是必定存在一对或几对相像三角形

15、，这个性质在中学平面几何中的应用也是非常广泛，特别在直角坐标系中的函数图像与平面几何的综合应用题或压轴题常常得到应用，也是作帮助线的思想方法；常常显现的图例跟前面介绍的一样（关于 “一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（一） ），只是直角的两条边不肯定相等；【例 9】如图，在直角坐标系中，点a （ 1 ， 3），点b（ 2 ， -1 ），坐标轴上是否存在点 c，使得acb 为直角？如存在，恳求出点c 的坐标；如不存在，请说明理由；【解析】（1 ）当点c 在 y 轴上时：如图 1，设 c（ 0 ， c），分别过点a 、 b 作 x 轴的平行线，交y 轴于点d 、 e ；就依据 “一线三垂直模型”， acd cbe ， ad ce=cd be ，即： 1 c+1=3-c 2，解得： c 1=1+2， c2=1- 2，故 c（ 0， 1+2）；或c（ 0 ， 1- 2）；（ 2 ）当点c 在 x 轴上时：如图 2，设 c（ c ， 0），分别过点a 、 b 作 y 轴的平行线，交x 轴于点d 、 e ；就依据 “一线三垂直模型”， acd cbe ， ad ce=cd be ，即： 3 （ 2-c ） =（ 1-c ） 2， 或 3（ c-2 ） =（ c-1 ） 2，综上所述，符合条件的点c 的坐标有4 个，分别为：（ 0 ， 1+2）；（ 0， 1- 2）；【例 10】如图，