兴化市高中数学青年教师解题比赛试卷含答案2VIP

1、兴化市高中数学青年老师解题竞赛试卷考试时间： 150 分钟满分： 160 分2021 年 9 月 25 日题号一二总分评分人复计分人得分得分阅卷人一、填空题：本大题共14 小题，每道题5 分，共计70 分 请把答案填写在各题的相应的横线上1如abc 的内角a, b ,c 满意 6sin a4sin b3sinc ，就 cos b 的值为2已知yf x 是定义在 r 上的函数，且yf x2) 是偶函数，就yf 2 x 图象关于s直线对称3设s 是等比数列 a 的前 n 项的和，如a2a0 ，就s6 的值是nn3632214如函数f xex2ex 定义域是 0,1 ，就函数f x的值域是5设 x1

2、 21a0a1 xa2 xa21 x，就 aa的值为6已知 x 是实数且 x2,3 如 smin1,1| x2 | x3|，那么smax7 设a1,a2 ,a3 ,n , a是空 间中 给定的nn3) 个不同 的点， 就使ma1ma2ma3man0 成立的点 m 的个数为8如图，直线mn 过abc 的重心 g，且ammab, annac （其中 m0, n0 ，就 mn 的最小值是dacb第 8 题图 第 9 题图 9如图，在四周体dabc 中， da面 abc ， abbc ， daabbc1 ，就四周体 dabc 的外接球的表面积为10有 5 本不同的书，其中语文书2 本，数学书2 本，物

3、理书1 本如将其随机地并排摆放到书架的同一层上，就同一科目的书都不相邻的概率为11 如 图 ， 是 根 据 所 输 入 的 x 值 计 算 y 值 的 一 个 算 法 程 序 ， 如 x 依 次 取 数 列n 20211nn *中的前 10000 项，就输出y 值中的最小值为readxifx0theny2021xelsey2021xendifprinty第 11 题图 x212平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2ay221abb0 ，过坐标原点的直线交椭圆于 p , a 两点，其中p 在第一象限，过p 作 x 轴的垂线，垂足为c ，连接 ac ，并延长交椭圆于点 b ，如papb ，就椭圆的离

4、心率为 ypbxoca第 12 题图13设函数f x32x3a21x6ax1，当 x1,3时，f x 的最小值为 5 ，就实数 a 的值14设正实数x, y, z 满意 x2 yz1 ，就19x y的最小值为xyyz二、解答题：本大题共6 小题，共90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤得分阅卷人15（本小题满分14 分）在abc 中，内角a, b, c 的对边分别为a, b, c ，已知 bc,2 b3a （1）求 cos a 的值；（2）求 cos2 a 的值4得分阅卷人16（本小题满分14 分）如a1a图 ,在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底 面 abc ,abbc ,

5、d 为dac 的中点，（1）求证：a1 aabab1 / 平面2 , bc3 .b 1bbc1 d ；（2 求四棱锥c1cbaa1c1d 的体积得分阅卷人17（本小题满分14 分）如图， 点 a（非顶点） 为抛物线y22 px p0,上任一点， f 是抛物线的焦点求作抛物线在点a 处的切线，并证明得分阅卷人18（本小题满分16 分）已知数列an的首项为 1，记f na c1a c 2a c ka c nnn .1n2nknnn（1）如an为常数列，求f 4的值；（2）如an为公比为 2 的等比数列，求f n 的解析式；（ 3）数列an能否成等差数列，使得f n1n12n 对一切 nn都成立 .

6、如能，求出数列an的通项公式；如不能，请说明理由得分阅卷人19（本小题满分16 分）已知 ar ，函数f xx xa ，（1）当 a =2 时，写出函数yf x 的单调递增区间；（2）求函数yf x 在区间1,2上的最小值；（3）设 a0 ，函数f x 在 m, n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n 的取值范围（用 a 表示）得分阅卷人20 （ 本 小 题 满 分16分 ） 已 知 数 列 an 和 bn的 通 项 公 式 分 别 为an3n6 ， bn2n7（nn * ），将集合 x | xa , nn* x | xb,nn * 中的元素从小到大依次排列，构成数列nnc1, c2 ,

7、 c3 , cn ,（1）求c1, c2 , c3 , c4 ；（2）求证：在数列 cn 中但不在数列bn中的项恰为a2 , a4 , a2 n ,；（3）求数列 cn 的通项公式兴化市高中数学青年老师解题竞赛参考答案111；2 x161 ；3 12；4 22, e2 ；5；6 2 ； e71；849；93；102 ；5112021 ；122 ；213 2 ；14 7 15解：（ 1）由bc,2 b3a ，可得3cba ， 2232322所以 cos abc2a24 a4 aa12bc23 a3 a322（2）由于cos a1 , a30, ，所以sin a1cos2 a22 3cos 2 a

8、2cos 2 a17， sin 2 a92sin42a cos a9所以 cos2acos2 a cossin 2asin7242244492928721816（ 1）证明 : 连接b1c , 设 b1c 与bc1 相交于点 o , 连接 od , 四边形点 o 为bcc1 b1 是平行四边形 ,a 1ab1c 的中点 . d 为 ac 的中点，e od 为dab1c 的中位线 ,od / ab1 .b 1b od平面bc1 d ,ab1平面 bc1d ,o ab1 / 平面bc1 d .c 1c（2）解法 1：aa1平 面 abc ,aa1平面 aa1c 1c , 平面 abc平面aa1c1

9、c ，且平面abc平面aa1c1cac .作 beac ，垂足为 e ，就 be平面aa1c 1c ， abbb12 ， bc3 ，在 rtabc 中，acab2bc 24913 ， beabbc6，ac13四棱锥baa1c1d 的体积 v11a1c 1adaa1be321313263 .6213四棱锥baa1c1d 的体积为 3 .a 1a解法 2：aa1平 面 abc , ab平面 abc ， aa1ab .d bb1 / bb1aa1 ,ab .b 1boe abbc, bcbb1b ，c 1c ab平面bb1c1c .取 bc 的中点 e , 连接 de , 就de /ab, de1

10、ab ，2 de平面bb1c1c .三棱柱abca1 b1c1 的体积为 v1abbcaa16 ，2就vd bc1c111bccc1de321 v1， va61bb1c1111b1c1bb1a1 b1v2 .3231而vvd bccvabb cvb aac d ,11 11 1 612vb aac d . vb aa c d3 .1 11 1四棱锥baa1c1d 的体积为 3 .17解：作法一：以抛物线的焦点f 为圆心，以 |fa|为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点 b，且点 b 在顶点 o 的左侧，就直线ab 就是抛物线在点a 处的切线yabofx证明：抛物线的焦点f 的坐标为（p ,0 ）

11、，设 a（ x02y0, y0），就|fa|= x0p，从而 b（2x0 ,0 ），故过点 a、b 的直线方程为yx2x0x0 （* ）2利用方程y02 px0 将方程（ * ）整理得yy0pxx0 ，此方程即为抛物线在点a 处的切线点方程作法二：过a 作 y 轴垂线，交y 轴于 d 点，在 x 轴上截取boda ，且点 b 在顶点 o 的左侧，连 ba ，就直线 ba 为所求作的切线证明同上18解 : （1）a为常数列，a1 nn . f 4c1c 2c3c 415 .nn4444（2）an为公比为 2 的等比数列，an2n 1 nn . f nc12c 24c32n 1 c n ，nnnn

12、 12 fn12c122 c223 c 32n c n ， 12n3n ，故 f n3n1.2nnnn（3）假设数列an能为等差数列，使得f n1n12n 对一切 nn都成立，设公差为 d ，就f na c1a c2a c kac n 1a c n ，1n2nknn 1nnn且 f na c nac n 1a c ka c 2a c1 ，nnn 1nkn2n1n相加得2 f n2aaac1c 2c kcn 1 ，n1n 1nnnn f naa1an1 c 1c 2c kc n 1 n2nnnnaa1ann21 2 n21n1d2n2d2 n 11 . f n1d22n2d2n 1n12n 恒成

13、立，即 d2d2 n22n 10nn恒成立，d2 .故an能为等差数列，使得f n1n12n 对一切 nn都成立，它的通项公式为 an2n1.（也可先特别猜想，后一般论证及其它方法相应给分）19解：（ 1）当 a2 时，f xx | x2 |xxx22, x2x, x2由图象可知，单调递增区间为（-， 1 ， 2 ， +）（开区间不扣分）（ 2）当 a1时，f xxxa xa 22a,a1242 f xminf 11a当1a2 时， | xa |min0 ，f x min0当 a2 时，（）当 2a3 时，f x minf 22a4（）当 a3时，f xminf 1a1 f xmin10,12

14、a aa, a1a24,2a31, a3（ 3）f xxxxaa, xax, xa当 a0 时，图象如右图所示a2y由4得 xyx xa21 a2a21 0m， ana22当 a0 时，图象如右图所示a 2y由4yx a得 x1x22 a 12 a2ma ，an0 220解：（ 1）c19 ,c21 1,c31 2c4,；1 3（2） 任意nn * ，设a2n 132n1) 66n3bk2k7 ，就 k3n2 ，即a2 n 1b3n 2 假设 a6n6b2k7k3n1n * （冲突），ab 2 nk 在数列 cn 中但不在数列 bn 中的项恰为2a2 ,a4 , a2 n ,2nn（3） b3

15、k 223k276k3a2 k 1 ，b3 k16k5 ， a2k6k6 ， b3 k6k7 ，6k36k56k6k6，7 当 k1 时，依次有 b1a1c1 ,b2c2 ,a2c3 ,b3c4 ，cn6k 3 n 4k 6k 5 n 4k 6k 6 n 4k32*, kn 16k7n4k 兴化市高中数学青年老师解题竞赛参考答案111；2 x161 ；3 12；4 22, e2 ；5；6 2 ； e71；849；93；102 ；5112021 ；122 ；213 2 ；14 7 15解：（ 1）由bc,2 b3a ，可得3cba ， 2232322所以 cos abc2a24 a4 aa12b

16、c23 a3 a322（2）由于cos a1 , a30, ，所以sin a1cos2 a22 3cos 2 a2cos 2 a17， sin 2 a92sin42a cos a9所以 cos2acos2 a cossin 2asin7242244492928721816（ 1）证明 : 连接b1c , 设 b1c 与bc1 相交于点 o , 连接 od , 四边形点 o 为bcc1 b1 是平行四边形 ,a 1ab1c 的中点 . d 为 ac 的中点，e od 为dab1c 的中位线 ,od / ab1 .b 1b od平面bc1 d ,ab1平面 bc1d ,o ab1 / 平面bc1

17、d .c 1c（2）解法 1：aa1平 面 abc ,aa1平面 aa1c 1c , 平面 abc平面aa1c1c ，且平面abc平面aa1c1cac .作 beac ，垂足为 e ，就 be平面aa1c 1c ， abbb12 ， bc3 ，在 rtabc 中，acab2bc 24913 ， beabbc6，ac13四棱锥baa1c1d 的体积 v11a1c 1adaa1be321313263 .6213四棱锥baa1c1d 的体积为 3 .a 1a解法 2：aa1平 面 abc , ab平面 abc ， aa1ab .d bb1 / bb1aa1 ,ab .b 1boe abbc, bcb

18、b1b ，c 1c ab平面bb1c1c .取 bc 的中点 e , 连接 de , 就de /ab, de1 ab ，2 de平面bb1c1c .三棱柱abca1 b1c1 的体积为 v1abbcaa16 ，2就vd bc1c111bccc1de321 v1， va61bb1c1111b1c1bb1a1 b1v2 .3231而vvd bccvabb cvb aac d ,11 11 1 612vb aac d . vb aa c d3 .1 11 1四棱锥baa1c1d 的体积为 3 .17解：作法一：以抛物线的焦点f 为圆心，以 |fa|为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点 b，且点 b 在

19、顶点 o 的左侧，就直线ab 就是抛物线在点a 处的切线yabofx证明：抛物线的焦点f 的坐标为（p ,0 ），设 a（ x02y0, y0），就|fa|= x0p，从而 b（2x0 ,0 ），故过点 a、b 的直线方程为yx2x0x0 （* ）2利用方程y02 px0 将方程（ * ）整理得yy0pxx0 ，此方程即为抛物线在点a 处的切线点方程作法二：过a 作 y 轴垂线，交y 轴于 d 点，在 x 轴上截取boda ，且点 b 在顶点 o 的左侧，连 ba ，就直线 ba 为所求作的切线证明同上18解 : （1）a为常数列，a1 nn . f 4c1c 2c3c 415 .nn4444

20、（2）an为公比为 2 的等比数列，an2n 1 nn . f nc12c 24c32n 1 c n ，nnnn 12 fn12c122 c223 c 32n c n ， 12n3n ，故 f n3n1.2nnnn（3）假设数列an能为等差数列，使得f n1n12n 对一切 nn都成立，设公差为 d ，就f na c1a c2a c kac n 1a c n ，1n2nknn 1nnn且 f na c nac n 1a c ka c 2a c1 ，nnn 1nkn2n1n相加得2 f n2aaac1c 2c kcn 1 ，n1n 1nnnn f naa1an1 c 1c 2c kc n 1 n2nnnnaa1ann21 2 n21n1d2n2d2 n 11 . f n1d22n2d2n 1n12n 恒成立，即 d2) d2 n22n 10nn恒成立，d2 .故an能为等差数列，使得f n1n12n 对一切 nn都成立，它的通项公式为