【精品】数学建模(宿舍建设方案)

1、对学生宿舍设计方案的评价摘耍本论文给出了 “学生宿舍设计方案的综合评价问题”的两种解法，分别运用 了线性加权综合法的评价模型和基于灰色关联分析的综合评价模型。对于线性加权综合法的评价模型，我们首先进行了数据处理，通过宿舍建设 和运行的成本以及对学生的收费来衡量宿舍方案的经济性，以评分的模式来衡量 宿舍方案的舒适性与安全性。在建模过程屮，我们将经济性、舒适性和安全性三 项评价指标都化为极人型來处理，并且对其进行了无量纲化处理來消除各自的度 量单位及数量级的差别，最后用极差法确定了三项评价指标的权重系数，得出了 4种方案的最终评价值，从而得出了方案四最优的结论。对于基于灰色关联分析的综合评价模型，

2、我们运用经方案一处理后的数据 构造出理想情况下的母序列，以及与实际情况相符的比较序列，通过两者计算出 最终的关联度，关联度越高，说叨与母序列越接近，从而方案越合理，得出的结 论也为方案四最优。关键字线性加权综合类型一致化处理无量纲化处理灰色关联分析母序 列子序列关联度一、问题重述学生宿舍事关学生在校期间的生活品质，直接或间接地影响到学生的生活、 学习和健丿隶成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生 活舒适，也要方便管理，同时要考虑成本和收费的平衡，这些还与所在城市的地 域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济 性、舒适性和安全性等问题。经济性：

3、建设成木、运行成木和收费标准等。舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、釆光和通风等。安全性：人员疏散和防盗等。通过建立适当的数学模型来综合考虑经济性，舒适性，安全性这三项指标， 来找出一种最好的宿舍建设方案。二、问题的分析本题來源我们的实际，好的宿舍设计方案必然有较高的经济性、舒适性以及 安全性，因此需要考虑如下问题：1. 宿舍的建设和运行成本，以及对学生的收费能够尽量低；2. 学生的人均而积能够尽量大；3. 学生宿舍的设施能够尽量符合学生的日常需求，使其使用相对方便；4. 学生在宿舍小的生活、学习和休息能够尽量互不干扰；5. 学生宿舍的采光和通风尽量相对较好；6. 学生宿舍在人员疏散时能够尽

4、量相对较为安全；7. 学生宿舍的防盗性尽量和对较好；此问题评价四个宿舍设计方案的优劣，通过对三项指标经济性，舒适性，安 全性的考虑来确定，而经济性通过对其建设成本和运行成本、对学生的收费加以 分析，舒适性通过对人均而积、使用方便、互不干扰、采光和通风等方而加以分 析，而对安全性而言，主要是考虑人员疏散和防盗的问题。三、模型假设与符号说明1）模型假设1. 假设题目所给的数据真实可靠；2. 四种设计所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平和同；3. 假设模型一优化z前，在经济上只考虑建设成本，4种方案价格均为1000元 / m2 ；4. 有阳台，私人卫生间，客厅，活动室，自习室，简易餐厅、厨房

5、、垃圾间、 开水间等设施对学生的舒适程度产生一定影响；5. 假设模型一优化之前，将各种方案屮的电梯视为楼梯。2)符号说明i. n种方案的m项指标的指标值为xjj(i = 1,2,;)= 1,2,加)，其p n = 4,m = 3;2 x (/ = 1,2,/!；; = 1,2,/?)为无量化后的指标值；3. 为4种方案的第)项指标值的最大值；(./= 1,2,3)4. 卩为4种方案的第丿项指标值的的最小值；(./= 1,2,3)5. 心为4种方案的第丿项指标的极差的绝对值的最大值；(j = 1,2,3)6. wj为3项指标各fl所占的权3£系数；7. 人均建筑面积为8. 开为第，种方

6、案的综合评价值；其中21,2,3,4；9. 每种方案的宿舍建设面积s,(心1,2,3,4)10. 每种方案中宿舍容纳学生的总人数为门(心1,2,3,4)；ii. 冷表示第j(j = 1,2,3,4)种方案在第i(i = 1,2,3)项指标上的评价值4.1模型一的建立与求解4.1.1三大指标的数据准备(1) 经济性宿舍建筑面积的大小应该与此楼层学生人数相紧密联系，在面积固定的情况 下，人数越多，人均面积就越小，所投入的资金就相对较少，所以先计算出各种 方案的人均建筑面积：sj =sj 必;(i = 1,2,3,4)；表_ (m2a)方案一方案一方案三方案四人均建筑面积4. 76812.0919.

7、 77614. 298为了简化模型，我们暂且不考虑成本与收费的平衡，仅以建设成本和运行成本來衡量经济性这一指标，假设宿舍的建设和运行成本总和为1000元/*对表一进行进一步的处理，得到人均所需建设费用为:xzl= 5/1 ()()();(/= 1,2,3,4),在此作为经济性的衡量值，具休数据如下表:表二(元/人)方案一方案二力条二方案四经济性476812091977614298(2) 舒适性舒适性应与人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等紧密联系起來。 而此时需要建立一种评判的标准，來对这四种宿舍建设方案的舒适性程度进行比 较评价，我们主要通过打分的模式來为各种因索进行具体的数值量化。对

8、于人均面积，在相对较小的情况下它的增人对个人的彩响比较大，而在后 来人到一定的程度时随着人均面积的继续增人对个人的彩响程度逐渐变小，所以 据此建立一种人均面积评分标准：表三(分)人均面积(0,2(2,4(4,6(6同(8,10(10,12(12,14(14,16评分1020283439434546相应方案方案一 (4. 768)方案三(9. 776)方案二(12.091)方案四 (14. 298)对于舒适性中使用方便标准的评价，主要是看各种宿舍设计方案是否有独立 卫生间，有无开水间，垃圾间，餐厅，阳台，活动室等设施。对此我们在人均面 积的基础得分上建立了如下的加分模式：表四(分)加分项有活动

9、索有夜 间fl 习室有垃 圾间有开 水间有客 厅有阳台有独 立卫 生间加分+6+6+3+3+3+3+6+10+10所以衡量舒适性程度最后的评分为：人均面积得分+加分项总分；从而可以 统计出这四种宿舍设计方案的舒适性程度评分，具体数据如2表五（分）舒适性方案一方案二方案二方案四评分28865865（3）安全性在这四种宿舍设计方案中对安全性而言，我们在这里主要是考虑每个楼梯 （为了简化模型，在此处暂把电梯也视为楼梯）能够疏散的学生数，每个楼梯承 载的人数越少就说明疏散的就越快，安全性就相对较高，以此来作为衡量安全性 的标准。对于每种方案，宿舍的楼梯承载人数计算公式如下：宿舍的楼梯承载人数二楼层的总

10、人数/楼层的楼梯总数。具体计算数据如下表：表六（楼梯人）安全性方案一方案一方案三方案四评分924445.626.44.1.2关于线性加权综合法的评价模型（1）评价指标类型的一致化处理经济性的指标是极小型（成本越低，经济性越好）；舒适性的指标是极大型（指标越高，舒适性越好）；安全性的指标是极小型（平均每个楼梯承载的人数越少，疏散性就越好，安 全性就越高）。下面对这三项指标都运用极人型处理a）对极小型指标经济性的指标作极人化变化，即令平移变换：兀； =m订一兀j = 1,2,3,4;其中 mix =maxx/ib）对极小型指标安全性的指标作极大化变化，即令平移变换：儿3 =%-兀3，ii，2,3,

11、4;其中 m/3=maxx/3通过统一运用极大型处理，从而得到如下数据：表七方案一方案二方案三方案四经济性9530220745220舒适性28865865安全性04846.465.6（2）评价指标的无量纲化处理经济性、舒适性、安全性这3项评价指标由于各自的度量单位及数量级之间 的差别，而存在着不可公度性，这就为确定综合评价指标带来了困难和问题。为 此，为了尽可能的反映实际情况，消除各指标之间的单位不同，以及数量级之间 差别的影响，我们需要对各项评价指标做无量纲化处理。在此处我们使用极差化的方法来对4种方案的3项指标的指标值 xi(i = 1,2,3,4= 1,2,3)进行无量纲化处理,令mj=

12、minxlj9x2j,x3j,x4j则新的指标为x m兀;=e fo,l(z = 1,2,3,4; y = 1,2,3),即把 z.(z = 1,2,3,4; j = 1,2,3)作为无量 m.-m.jj化的指标值，通过计算，从而统计出无量化后的指标值为：表八方案一方案二方案二方案四经济性*11 =1兀 2 =0.2316兀3 =0.4745兀41 =。舒适性x12 =°兀22 = 1x32 =0.5172兀42 = 0.6379安全性x13 二°兀23 =0.7317兀33 = 0.7073兀43 =1(3)运用极差法计算丿项评价指标®所占的权重系数匕=7 j

13、= 1,2,3 ,其中j = max 馬-也 | (j = 1,2,3),由此我们可以计算出三项评价指标各自所占的权重系数为：y=w2 = w3=-o(4) 求综合评价值为了能使各评价指标间的作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性, 我们运用线性模型：x = x wjxij (加=3, i = 1,2,3,4), ;=i来计算4种方案的综合评价值，综合评价值越高，就表明宿舍的设计方案越合理。 通过计算得到的综合评价值如下表：表九方案方案一方案二方案三方案四综合评价值0. 33330. 65440. 56630. 5460排名第四第一第二第三通过表九可以显然看出来方案二最好。4.1.3模型一

14、的优化与求解（1）经济方面在实际情况屮，不可能仅由建设成木来衡量经济性的优劣，更应该考虑到宿 舍建设和运行的成木与对学生的收费対者之间的平衡。在建设和运行成本方面，由于方案二的建筑结构最复朵，公共区功能最多， 因此成本为四个方案中最高；而方案一建筑结构和设施最为简单，因此成本为四 个方案屮最低；方案三、四建设和运行成木适屮。对此，我们制定如下建设和运行成本标准：表十方案一方案二方案三方案四建设成本1000 （元/n/）1200 （元/）1100 （元/m?）1100（7g/m2）运行成木1. 5（元/ （人*天）2（元/ （人*天）1.8（元/ （人*天）1.8（元/ （人*天）假设学生在宿舍

15、居住九个月，即270天。因此有收费标准为：人均建设成本*8%+人均日运行费用*270。 通过计算，得出下表数据：表一 （元/人）方案一方案二方案二方案四费用786. 441700. 7361189.8721744. 224最终通过学生人均收费费用来衡量经济性的优劣。（2）舒适性方面在这里，我们需更在原有基础上对互不干扰、采光和通风方面进行进一步细 化。a）方案一，宿舍为8人间，人均宿舍面积仅为3. 1875平米，且学习，休息都 在宿舍内，容易互相干扰；i,型的建筑结构，靠北侧的房间冬犬采光差，七 个朝西的房间夏天受西晒影响严重。加上走道为内走道，空气流动性差，不 利于通风。b）方案二，宿舍为4

16、人间，人均面积为6. 25平米，设置了夜间口习室与活动室，达到了互不干扰的效果；c）方案三，宿舍为6人间，人均血积为4. 48平米；公共卫生间进深太长，约8米，宽度又太窄，2.1米，只有一侧有窗，非常不利通风，并且不清洁。d）方案四，宿舍为6人间，两人一卧室，人均面积为8. 75平米，舒适性较高, 相互干扰因素也很少。但套间中每个小间均无阳台和窗，通风和采光差。且 卫生间没有任何采光和通风。因此，依据以上因素，我们需要在舒适性这一块各个方案原有的评分下增加 以下更为细化的加减分评定标准。首先在互不干扰方面，有下表：表十二（分）2人卧室4人间6人间8人间加分+3+2+1+0相应方案方案四方案二方

17、案三方案一其次在采光通风方而，有下表:表十三（分）房间西晒影响北侧房间冬天采 光差内走道卫生间无采光和通 风减分-3-3-3-3相应方案方案一 方案二主要为 方案二、三、四方案一方案四结合各个方案原有评分，以及表十二、十三，在舒适性方面有如下新的评分:表十四（分）方案一方案二方案三方案四评分25825662（3）安全性方面在安全方面需要对人员的疏散考虑，这时需要考虑的因素有如下a）平均每人离楼梯的最近距离；在此定义为：每人离楼梯最近距离的总和/学生总人数b）平均每人所占的走廊面积；在此定义为：走廊面积的总和/学生总人数c）平均每个楼梯要疏散的学生数；考虑到在危急情况下，进行人员疏散时，不走电梯

18、，故在此处定义为：学生 总人数/楼梯总数；d）楼梯的宽度；e）楼梯的门数：疏散楼梯设置两道门，不利于消防和紧急疏散。f）防盗问题；为此我们制泄t相应的评判标准表十五（mm/人）平均每人离楼 梯的最近距离(0,2000(2000,4000(4000,6000(6000,8000得分2015105相应方案方案一（1146）方案三（4576）方案四（5396）方案二（7713）表十六（mnf7人）平均每人所占的走廊面积(0,1(1，2(2,3(3,4得分5101520相应方案方案一 (0. 6911)方案二(0. 5891)方案三(1.6737)方案四(3.0436)表十七（人/楼梯）平均每个楼梯

19、要疏散的人数(50,70(70,90(90,110(110,130得分2015105相应方案方案四（66）方案一（92） 方案二（110）方案三（114）表十八 （mm）楼梯宽度(1450,1500(1500,1550(1550,1600(1600,1650得分5101520相应方案方案四（1500）方案一（1550）方案二（1650） 方案三（1650）表十九（分）楼梯门数12减分-0-5相应方案方案一方案二、三、四表二十方案一：靠近楼梯与公共区域（卫生间，洗漱间）的宿舍，由于此区域靠近卫生 间与洗漱间，过道区的人员流动将非常频繁，不利于防盗。-10分方案二：防盗情况良好。方案三：两个寝室共

20、用一个阳台，而阳台的中间实际成了进卫生间的通道，通常 卫生间与阳台的门不设置门锁，这样一来两个相邻的寝室是联通的，不利于防盗。 -10分方案四：防盗情况良好。我们将6项因索的得分求和作为最后衡量安全性的标准。具体数据如下表:表二 （分）方案一方案1方案三方案四评分35353050（4）具体处理经过以上三方面的数据处理，我们得到了初始数据，如下表:表二十二方案一方案二方案三方案四经济性786.441700. 7361189.8721744. 224舒适性25825662安金性35353050其屮经济型的指标是极小型（指标越低，经济性越好）而舒适性与安全性均 为极大型指标，故将经济型指标作极大化处

21、理，具体步骤同2.1.从而有：表二十三方案一方案二方案三方案四经济性957. 78443.488554. 3520舒适性25825662安全性35353050接着同样通过极差化方法进行无量化纲化处理，具体步骤同2. 2有:表二十四方案一方案二方案三方案四经济性=1x21 = 0.0454x31 =0.5788兀41 =0舒适性兀2 =0x22 =1x32 = 0.5439x42 =0.6491安全性召3 =0.2500心=0.2500兀33 = °兀43 = 1各项指标所占的权重系数仍为：vv, =w2=w3=；同样运用2. 4综合评价值的求法，得到最终结果如下表:表二十五方案方案一

22、方案二方案三方案四综合平均值0.41670.43180. 37420. 5497排名第三第二第四第一显然通过优化，发现方案四相对原先得出的方案二更为合理。因为在优化过程中，结合了实际，取消了电梯视为楼梯的假设，且考虑到了 房间的朝向、更加细化的分析了宿舍的采光与通风问题、同时添加了防盗等新的 因素，因而得出了与模型优化前所不同的结果，且优化后更为合理。4.2模型二的建立与求解根据4种方案的3个指标的指标值，给岀了这4种方案的综合评价指标值。 从而分析各种方案的好坏。灰色关联分析方法综合评价模型的建立：灰色关联分析方法的基木思想是：将评价问题转化为求关联度，即按照一定 的准则定义出母序列，计算出

23、各个子序列与母序列的关联度，再加以比较得到综 合评价结果。4. 2. 1选定母序列和比较序列定义评价值矩阵h,其中的元索/閱表示第j(y = l,2,3,4)种方案在i(心1,2,3) 项指标上的评价值，如下表：表二十六方案一方案二方案三方案四经济性力】1 i幅=0.0454= 0.5788/?14 = 0舒适性码=0址tl = 0.5439饥=0.6491安全性怎=0.2500人2 = 0.2500饥=0居4=1母序列 令/?70=max/?.(l< j<4),由九oqi，2,3)构成母序列，则有/珀)=(1,1,1)。子序列(比较序列):由讪2也3,饥分别构成4个比较序列。即/

24、?zl =(1,0,0.2500);/z/3 =(0.5788,0.5439,0);/珀=(0.0454,1,0.2500);九° =(0,0.6491,1)。4.2.2计算关联度在子序列中，每个数值与母序列中相应数值的关联系数可以由以下公式算 出：映)=3九2,3,4,其中勾(” +a =；1幻s4 053 i '丿丿b = maxmax(a/(z)| ；i<7<4 l</<3 1 v 勾(°=|坷一/坯|;p为分辨系数，其值越高，分辨率越高；其值越低，分辨率越低，在这里我13们定义。二0. 5；对关联系数取均值能得到相应的关联度v. =-xv/0,j = 1,2,3,4 o3 r=l从而有关联系数:表二十七扌方案一方案二方案三方案四经济性片（1） = 1.7018v2 （1）