函数的单调性-知识点与题型归纳

1、名师总结精品学问点1. 单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义如函数 fx在区间 d 上是增函数或减函数 ，就称函数 fx 在这一区间上具有 严格的 单调性， 区间 d 叫做 fx的单调区间 .留意：关于函数单调性的定义应留意哪些问题？ 1定义中 x1， x2 具有任意性 ，不能是规定的特定值 2函数的 单调区间必需是定义域的子集； 3定义的两种变式 ：设任意 x1，x2 a，b且 x1<x2，那么名师总结精品学问点 f x1 f x2 0 . fx在a，b上是增函数；x1x2f x1 f x2 0 . fx在a，b上是减函数x1x2 x1 x2fx1fx2>0 . fx在a，b

2、上是增函数；x1 x2fx1fx2<0 . fx在a，b上是减函数单调区间的表示留意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“ ”联结，也不能用 “或”联结学问点二单调性的 证明 方法： 定义法及导数法(1) 定义法 :利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取 x1、x2 d，且 x1<x2；作差 fx1fx2，并适当变形 “分解因式 ”、配方成同号项的和等；依据差式的符号确定其增减性(2) 导数法 :设函数 y fx在某区间 d 内可导假如 fx>0，就fx在区间 d 内为增函数；假如f x<0，就 fx在区间

3、 d内为减函数 留意： 补充（ 1）如使得 f x=0 的 x 的值只有有限个，名师总结精品学问点就假如 f x0 ，就 fx在区间 d 内为增函数；假如 f x0 ，就 fx在区间 d 内为减函数（ 2）单调性的 判定方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性 同增异减 、用已知函数的单调性等补充单调性的有关结论1如 fx，gx均为增减函数， 就 fx gx仍为增 减函数2如 fx为增减函数，就 fx为减 增函数，假如同时有fx>0，就1为减增函数，fx为增 减函数fx3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfgx是定义在 m 上的函数， 如 fx与 gx的单调性相同，就其复合函数

4、 fgx为增函数；如 fx、gx的单调性相反，就其复合函数 fgx为减函数 简称”同增异减 ”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反二、例题分析：（一函数单调性的判定与证明名师总结精品学问点判定以下说法是否正确1函数 fx2x1 在 ， 上是增函数 1x2函数 fx 在其定义域上是减函数3已知 fxx，gx 2x，就 y fx gx在定义域上是增函数 答案： × 例 1.2021 ·北京卷 以下函数中，在区间 0， 上为增函数的是xayx1b y x120.5cy2dy logx1答案： a.例 2.判定函数 fx

5、 ax 在1， 上的单调性，并证明x1法一：定义法设 1<x1<x2，名师总结精品学问点就 fx1fx2 ax1 ax2x1 1x21ax1x2 ax2x1x1x2ax1x2x1x2 1<x1<x2，x1 x2<0， x11>0，x2 1>0.当 a>0 时， fx1 fx2<0， 即 fx1<fx2，函数 yfx在1， 上单调递增同理当 a<0 时， fx1fx2>0，即 fx1>fx2，函数 yfx在1， 上单调递减法二：导数法1.判定函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判定 或证明 函数单调性的一般步骤为：

6、取值 作差变形 判号 定论，其中变形为关键， 而变形的方法有因式分解、 配方法等；3.用导数判定函数的单调性简洁快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例 1求函数 y x |1x|的单调增区间名师总结精品学问点yx|1x|1，x1，2x 1， x<1.作出该函数的图象如下列图由图象可知，该函数的单调增区间是， 1例 2.求函数 y log13x24x 3的单调区间解析:令 ux2 4x3，原函数可以看作ylog13u 与 u x2 4x 3 的复合函数令 ux2 4x3>0.就 x<1 或 x>3.函数 y log13x24x 3的定义域为， 13

7、， 名师总结精品学问点又 ux2 4x3 的图象的对称轴为x2，且开口向上， u x24x 3 在，1上是减函数， 在3， 上是增函数而函数 y log13u 在0， 上是减函数， y log13x24x 3的单调递减区间为 3， ，单调递增区间为 ， 1留意：求函数的单调区间的常用方法1利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间2定义法：先求定义域，再利用单调性定义3图象法：假如 fx是以图象形式给出的，或者fx的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间4导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间2例 2.（2） 补充 ylog 1 x4log 1 x221答案

8、：增区间：, 4；减区间：0, 14名师总结精品学问点练习:y2log 2 xlog 2 x答案：增区间：2,；减区间：0,2（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小已知函数 fxlog2x1，如 x11,2，x22，1x就afx1<0，fx2<0bfx1<0， fx2>0 cfx1>0，fx2<0dfx1>0， fx2 >0【规范解答】函数 fxlog2x1在1， 上为1x增函数，且 f2 0，当 x11,2时， fx1<f20， 当 x22， 时， fx2>f20，即 fx1<0， fx2>0.例 1. （ 2） 已知

9、函数 fx 式x2 4x3，x0， x22x 3， x>0，就不等2fa 4>f3a的解集为 名师总结精品学问点a2,6b1,4c 1,4d 3,5【规范解答】 作出函数 fx的图象， 如下列图，就函数fx在 r 上是 单调递减的由fa24>f3a，可得 a2 4<3a，整理得 a2 3a4<0， 即a1a 4<0，解得 1<a<4，所以不等式的解集为 1,4留意: 本例分段函数的单调区间可以并.（四）已知单调性求参数的值或取值范畴例 1. 已知函数 fxa2x, xx11,x22满意对任意的实2数 x1x2，都有f x1 f x2 0 成立，就

10、实数 a 的取值范畴为 x1x21313a ， 2b. ，8c ， 2d.8 ， 2名师总结精品学问点【规范解答】 函数 fx是 r 上的减函数，a2<0，于是有1由此解得 a 13a2 ，2 1，8.即实数 a 的取值范畴是，138例 2.1（补充） 假如函数 fxax22x3 在区间，4上单调递增，就实数a 的取值范畴是 答案1， 04解析1当 a0 时， fx2x3，在定义域 r 上单调递增，故在 ，4上单调递增；，a2当 a0时，二次函数 fx的对称轴为直线x 1a4，解由于 fx在，4上单调递增，所以a<0，且 1名师总结精品学问点得a<0.综上所述1144a 0.

11、例 2.2（补充）如 fxx3 6ax 的单调递减区间是 2,2， 就 a 的取值范畴是 a ， 0b 2,2c2d 2， 答案 c解析 f x3x26a，如 a0，就 f x 0， fx单调增，排除 a；如 a>0，就由 f x0 得 x ± 2a，当 x<2a和 x>2a时，f x>0，fx单调增，当2a<x<2a时，fx单调减，fx的单调减区间为 2a，2a，从而2a2，a 2.变式： 如 fxx3 6ax 在区间 2,2单调递减， 就 a 的取值范畴是？名师总结精品学问点点评 fx的单调递减区间是 2,2和 fx在 2，2上单调递减是不同的

12、， 应加以区分 本例亦可用 x±2 是方程 f x3x26a 0 的两根解得 a2.例 2.3 （补充）如函数f xlog x312ax在3,2上单调递减，就实数 a 的取值范畴是（）a 9，12b4，12c 4，27d9，27答案： a温故知新 p23 第 9 题如函数 fxlog 1x22ax3a在区间2,上单调递减，就实数a 的取值范畴是8、设函数 fxax1x 2a在区间2,上是增函数 ,那么 a 的取值范畴是名师总结精品学问点答案:1,10、设函数 fxxxa xa（ 2）如 a0且 fx在区间 1,内单调递减 ,求 a 的取值范畴 .答案:1,（五）抽象函数的单调性例 1.（补充） 已知 fx为 r 上的减函数，那么满意1f|<f1的实数 x 的取值范畴是 xa 1,1b0,1c 1,00,1d ， 11， 答案： c1解析：由于 fx为减函数，f|x1|<f1，所以|x|>1，就|x|<1且 x0，即 x 1,00,1名师总结精品学问点练习：y f x 是定义在1,1 上的增函数，解不等式f 1xf 1x2 答案：0,1留意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例 2.函数f x的定义域为0,，且对一切x0, y0都有 f x yf xfy ， 当 x1时，有f x0 ；（1） ） 求f 1 的值；（2