函数概念与基本初等函数典型例题解析

1、学习必备欢迎下载其次章函数概念与基本初等函数§ 2.1映射、函数、反函数7/16/2021二、疑难学问导析1. 对映射概念的熟悉(1) 与是不同的，即与上有序的 . 或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合b 的子集 . 即集合 b 中可能有元素在集合a 中找不到对应的输入值. 集合 a 中每一个输入值，在集合b 中必定存在唯独的输出值 . 或者说：答应集合b 中有剩留元素；答应多对一，不答应一对多.(3) 集合 a，b 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2. 对函数概念的熟悉2 留意定义中的集合a ，b 都是非空的数集, 而不能是其他集合；（ 3）函数的三种表示法

2、：解析法，列表法，和图像法.3. 对反函数概念的熟悉（1）函数 y=f x只有满意是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应当通过原函数的值域而得 .（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称 .三、经典例题导讲 例 1 设 m a，b， c， n 2,0,2 , 求（ 1）从 m到 n的映射种数；（2）从 m到 n 的映射满意f a>f b fc,试确定这样的映射f 的种数 . 例 2 已知函数f x的定义域为 0 ，1 ，求函数f x1 的定义域 例 3 已知：xn

3、 * ,f xx5 x6，求 f3 .1f x2 x6 例 4 已知f x的反函数是1fx ，假如f x 与 f x 的图像有交点，那么交点必在直线yx 上，判定此命题是否正确？y 1 x 与ylogx 的图像的交点中，点1111不在直线yx 上，由此可以 说明 “两互为反函数图像的交点必在直1,（,，）16162442线 yx 上”是不正确的 . 例 5 求函数yf xx24 x6 ， x1,5 的值域 . 例 6 已知f x3x4 ，求函数f1 x1 的解析式 . 例 7 依据条件求以下各函数的解析式：（ 1）已知f x 是二次函数，如f 00,f x1f xx1 ，求f x .学习必备欢

4、迎下载（ 2）已知f x1x 2x ，求f x（ 3）如f x 满意f x2 f 1xax, 求f x 例 9 设f x是 r 上的函数，且满意f 01, 并且对任意的实数x, y 都有f xyf xy2 xy1 ，求f x的表达式 .四、典型习题导练1. 已知函数 fx，x f，那么集合 x ，y|y=fx， xf x ，y|x=1 中所含元素的个数是（）a.0b.1c.0或 1d.1或 22. 对函数f x3x 2axb 作代换 x=gt ，就总不转变f x 值域的代换是 a.g tlog 1 t2b. gt 1 t2c.gt=t1 2d.gt=cost3. 方程 f x,y=0的曲线如下

5、列图，那么方程f 2 x,y=0的曲线是 abcd4. 函数 fx19| xn| 的最小值为 i1a190b.171c.90d.455. 如函数 f x=mx x 3 在定义域内恒有f f x =x, 就 m等于 4 x34a.3b.3c. 23d. 326. 已知函数f x 满意：f abf af b ，f 12 ，就f 2 1f 2f 2 2f 4f 2 3f 6f 2 4f 8.f 1f 3f 5f 7学习必备欢迎下载三、经典例题导讲1 例 1 判定函数x的单调性 .§2.2 函数的性质y 例 2 判定函数f3x12x1 1x 的奇偶性 . 定义域 x 例 3判定f xlog

6、2 xx1 的奇偶性 . 例 4 函数 y=54xx 2 的单调增区间是 .2 例 5已知奇函数f x 是定义在 3，3 上的减函数，且满意不等式f x3+ f x 3<0, 求 x 的取值范畴 . 例 7 如 fx=ax1x2在区间（ 2，）上是增函数，求a 的取值范畴a=x|2< x<6 ,1a2 例 8已知函数 f x 在 1，1 上有定义， f 试证明：1 = 1, 当且仅当 0<x<1 时 f x<0, 且对任意 x、y 1,1 都有 f x+ f y= f x21y ,xy1 f x 为奇函数； 2 f x 在 1，1 上单调递减四、典型习题导练

7、1. 某同学离家去学校，由于怕迟到，所以一开头就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示动身后的时间，就适合题意的图形是2. 如函数f x是定义在 r 上的偶函数，在,0 上是减函数，且f 20，就使得f x0的x 的取值范畴是（）a. ,2b. 2, c.,22,d. （2， 2）3. 如函数f xlog n xx22a 2 是奇函数，就a=.4. 已知 yf x 是定义在 r 上的单调函数，实数x1x2 ，1, ax1x2 , 1x2x11，如 |f x1 f x2 | f f |，就（）a.0b.0c. 01d.1.学习必备欢迎下载5. 已知f x 是定义在

8、 r 上的奇函数，且当x0, 时，f x x13 x ，求f x .一、学问导学1. 二次函数的概念、图像和性质.§2.3基本初等函数（ 1）留意解题中敏捷运用二次函数的一般式f xax2bxca0二次函数的顶点式f xa xm 2na0 和二次函数的坐标式f xa xx1 xx2 a02. 指数函数y a x a0, a1 和对数函数ylog ax a0, a1 的概念和性质 .（ 1）有理指数幂的意义、幂的运算法就： amana m n ； am na mn ； ab nan b n （这时 m,n 是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.log mn logmlogn ;l

9、ogmlogmlognnaaaaaann1log c blogamn logam ;log amlog a m ；nlog a blog c a二、疑难学问导析（ 1）式子 n an a ，6. 幂函数 yx的性质，要留意的取值变化对函数性质的影响.（ 1）当奇时，幂函数是奇函数； （2）当奇偶时，幂函数是偶函数； （3）当奇奇时，定义域不关于原点对称，幂函数为非偶奇非偶函数 .三、经典例题导讲 例 1 已知 log 18 9a,18b5, 求 log36 45log45log18 45log185log 18 9bababa36log36log4log918182a181818log2a2l

10、oga181899 例 2 分析方程f xax2bxc0 （ a0 ）的两个根都大于1 的充要条件 .学习必备欢迎下载 例 3 求函数 y36x126x5 的单调区间 .单调递减区间是,1 ，单调递增区间为1, 例 4 已知 ylog a 2ax 在0 ，1 上是 x 的减函数，就a 的取值范畴是1 a 2 例 5 已知函数f xlog a 3ax .（ 1）当 x0,2时 f x恒有意义，求实数a 的取值范畴 .（ 2）是否存在这样的实数a 使得函数f x在区间 1 ，2 上为减函数，并且最大值为1，假如存在，试求出a 的值；假如不存在，请说明理由 .12 x4 xa 例 6 已知函数 f

11、x=lg2a,其中 a 为常数，如当x , 1 时,f x 有意义，求实数a 的取值范畴 .a1分析 ：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）特别困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分别出来，重新熟悉a 与其它变元 x 的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.12 x解：4 xa2>0,且 a a+1= a1 2+ 3>0,a 2a124xx11 1+2+4 ·a>0,a>x4x ,21当 x , 1时,y=4x1与 y=2x都是减函数，1111342 y=x4 在 , 1上是增函数，x2xx max= 4

12、 , a>3,故 a 的取值范畴是 43, + .4点评： 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质制造性地使原问题获解， 是解题人思维品质高的表现. 此题主客换位后， 利用新建函数y= 14 x实数 a 的取值范畴 . 此法也叫主元法 .四、典型习题导练1x 的单调性转换为函数最值奇妙地求出了21.函数f xx ba的图像如图，其中a、b 为常数，就以下结论正确选项（）a. a1, b0b. a1, b0c. 0a1,b0d. 0a1,b0学习必备欢迎下载2、已知 2lgx 2y=lgx+lgy,就x 的值为（）y2a

13、.1b.4c.1 或 4d.4 或 83、方程log a x1x2 0<a<1 的解的个数为（）a.0b.1c.2d.34、函数 fx与 gx=1 x 的图像关于直线y=x 对称 , 就 f4 x 2 的单调递增区间是）2a. 0,b. ,0c. 0,2d.2,05、图中曲线是幂函数y x n 在第一象限的图像，已知n 可取± 2，± 1 四个值 , 就相应于曲线c1、2c2 、c3 、c4 的 n 依次为 a. 2， 1 ， 1 ， 2b2， 1 ， 1 ， 22222c. 1 ， 2,2 ， 1d. 2， 1 ， 2, 1222226. 求函数 y = lo

14、g2 x5x+6的定义域、值域、单调区间.7. 如 x 满 足值.2log 12x214 log4 x30 , 求 fx=log 2x log22x最大值和最小28. 已知定义在r 上的函数f x2xa , a 为常数2x（ 1）假如f x f x ，求 a 的值；（ 2）当f x满意（ 1）时，用单调性定义争论f x的单调性 .一、学问导学1. 函数的零点与方程的根的关系：§ 2.4函数与方程一般地，对于函数yf x （ xd ）我们称方程f x0 的实数根 x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值 .求综合方程 f x= g x 的根或根的个数就是求函数yf

15、 xg x 的零点 .2. 函数的图像与方程的根的关系：一般地， 函数yf x （ xd ）的图像与 x 轴交点的横坐标就是f x0 的根 . 综合方程f x= g x 的根， 就是求函数yf x与 y=g x 的图像的交点或交点个数，或求方程yf xg x 的图像与 x 轴交点的横坐标.3. 判定一个函数是否有零点的方法：假如函数yf x 在区间 a,b上图像是连续不断的曲线，并且有f af b 0 ，那么，函数yf x在区间（ a,b ）上至少有一个零点， 即至少存在一个数c a, b 使得f c0 ，这个 c 也就是方程f x0 的一个根 . 对于我们学习的简洁函数，可以借助学习必备欢迎

16、下载yf x 图像判定解的个数，或者把f x 写成g xh x ，然后借助yg x 、 yh x 的图像的交点去判定函数f x 的零点情形 .4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数yax2bxc 的零点，就是二次方程ax2bxc0 的根，也是二次函数yax2bxc 的图像与x 轴交点的横坐标 .5. 二分法：对于区间 a,b上的连续不断，且f af b 0 的函数yf x ，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.三、经典例题导讲 例 1 已知函数f xx2ax3a 如 x2, 2 时，f x0 恒成立

17、，求 a 的取值范畴 .综上，得 7 a 2 例 2 已知 mx2x10 有且只有一根在区间（0,1 ）内，求 m 的取值范畴 .综上所得，m 2四、典型习题导练1. 方程x3x20 的实根的个数是（）a. 0b. 1c. 2d. 3.2. 已知抛物线yf xx22mxm7 与 x 轴的两个交点在（ 1,0 ）两旁， 就关于 x 的方程1 x24m1xm25 0的根的情形是（） . 有两个正数根b. 有两个负数根c. 有一个正数根和一个负数根d.无实数根3. 如关于 x 的方程2ax2x10 在（ 0,1 ）内恰有一解，就a 的取值范畴为（）a.a 1b.a 1c. 1 a 1d.0 a 1学

18、习必备欢迎下载4. 已知函数f xax 3bx 2cxd 的图像如下列图，就b 的取值范畴是（）a.- ,0b.0,1c.1,2d.2,+5. 已知函数yf x 对一切实数都有f x2f 2x 成立，且方程f x=0 恰有6 个不同的实根，就这6 个根的和是.6. 已知在二次函数的解析式f xax2bxc 中，f 1 3，f 0 8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式 . x2 x x22三、经典例题导讲§2.5函数的综合运用 例 1不等式log23x 22x4log23x2. 例 5定义在 r上的函数fx 满意：对任意实数m, n ，总有 fmnfmfn，且当 x

19、0 时， 0fx1.（ 1）试求f0 的值；（ 2）判定fx 的单调性并证明你的结论；解：（ 1）在 fmnfmfn中，令 m1,n0 . 得： f1f1f0 .因 为 f10 ，所以，f01.（ 2）要判定fx 的单调性，可任取x1, x2r ，且设 x1x2 .在已知条件fmnfmfn中，如取mnx2 ,mx1 ，就已知条件可化为：fx2fx1fx2x1.由于 x2x10 ，所以 1fx2x10 .为比较fx2、fx1的大小，只需考虑fx1的正负即可 .在 fmnfmfn中，令 mx ， nx ，就得fxfx1.x0 时， 0fx1， 当 x0 时， fx1fx10 .又 f01，所以，综上，可知，对于任意x1r ，均有fx10 .学习必备欢迎下载fx2fx1fx1fx2x110 . 函数 fx 在 r 上单调递减 . 例 6 设 a 为实数，函数f xx2| xa |1 ， xr（ 1）争论f x 的奇偶性；（ 2）求f x的最小值 .解：（ 1）当 a0 时，函数f xx 2|x |1f x此时，f x 为偶函数当 a0 时，f a a 21