轴对称综合提高练习

1、轴对称综合提高练习 知识点拨1. 非等腰三角形中边角的不等关系：在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对 的角也不相等， 大边对大角； 如果两角不相等， 那么它们所对的边也不相等， 大角对大边 可 利用图和图证明这两个事实yACOA a），关于ABAC，BAC30°，AD 为 BC 边上的高， P点在 AC 的最小值为 4，则 ABC 的面积为（ ）D. 642. 平面直角坐标系中，关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征：如图，如果点 的坐标是（ a， b），那么点 A 关于一、三象限角平分线对称的点B 的坐标是（ b，二、四象限角平分线对称的点 C 的坐标是（ b， a）点 A

2、 在其他象限时这一规律仍然成 立，只要两点关于一、三象限角平分线对称，其横、纵坐标互换位置；关于二、四象限角平 分线对称，其横、纵坐标变号后互换位置 能力提升类例 1 已知等腰 ABC 中，上， E 点在 AD 上，若 PE ECA. 8 B. 16 C. 32B（2，4）、C（ 1，2）、D（1，2）、E（3，1）、F（3，例 2 已知点 A （ 2， 4）、1）是平面直角坐标系内的 6 个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一 个三角形，若这两个三角形关于 y 轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中能找出 组对称三角形yA4B3C2DE1F-4 -3 -2 -1 O12

3、34综合运用类例 3 如图所示， 把正方形纸片 ABCD 对折后打开， 折痕为 MN ，再把顶点 D 折到 MN 上的一点 P 上，折痕为 CE，把顶点 A 折到 MN 上的同一点，折痕为 BF，请回答下列问题：（1）线段 PC、PB 与正方形的边长有什么关系？（2） CPB 的度数是多少？（3）还能知道哪些角的度数？请指出来例4180°已知：如图所示， ABC 求证： PBPC PA是等边三角形， P 是三角形外的一点， 且 ABP ACP思维拓展类例 5 如图所示，在 ABC 中，ABAC，F是 AC 上一点，在 BA 延长线上取一点 E 使 AEAF，连结 EF并延长，交 BC

4、 于 D，求证： EFBC D例 6 如图所示， ABC 的边 BC 在直线 l 上， AC BC，且 AC BC； EFP的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF FP， EF FP（ 1）在图 1 中，请你通过观察测量，猜想并写出AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将 EFP沿直线 l向左平移到图 2的位置时， EP 交 AC 于点 Q，连结 AP、BQ， 猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将 EFP沿直线 l向左平移到图 3的位置时， EP的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连结 AP 、 BQ，你认为（

5、 2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由图1图2EA、等腰三角形中常用到的辅助线1. 通常作底边的高、中线或顶角平分线；2. 底边有中点时，常常连底边上的中线；3. 截长补短法在证明多条线段的和差关系时常用此法，特别是在已知条件中有角平分 线时，一般是在长边上截取短边，构造全等三角形以上添加辅助线的最终目的是： 通过等腰三角形、 角平分线、 线段的垂直平分线、 全等 三角形把分散的边角关系进行集中二、几何证明题的分析方法 从已知条件入手，运用定义、定理、 公理逐步推出结论的方法叫做综合法 从要证明的 结论出发，根据定义、性质、定理、

6、公理，寻找能使结论成立的条件，一直追溯到能使结论 成立的条件与已知条件吻合的方法叫做分析法 在解几何问题时， 两种方法常结合使用， 使 问题顺利解决在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（ 1）该性质揭示了 30°角直角三角形的边的数量关系的特殊性（ 2）此性质的前提是 “在直角三角形中” 在解题时，如果只知道一个三角形有一个角为 30 °，就说这个角的对边等于某邻边的一半，是错误的 （3）该性质主要应用于计算和证明线段的倍分关系（4）该性质的逆命题也是真命题，即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对

7、的角是 30°、选择题1. 一个人站在平面镜前，哪一面镜子里是他的像？（ ）2. 如图所示，在 RtABC 中， B90°， ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E已知 BAE 10°，则 C 的度数为（）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°3. 等腰三角形中，有一个角是C50°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是（A. 25°B. 40°C. 25°或 40°D. 以上都不对*4. 在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB ， O

8、是坐标原点，点 A 的坐标是（ a，b），B 的坐标为（ ）底边 AB 的中线在第一、三象限的角平分线上，则点A. （ b， a）B. （ a， b）C. （a， b）D. （ a， b）5. 如图，B 是线段 AC 的中点，过点 C 的直线 l 与 AC 成 60°的角，在直线 l 上取一点 P， 使得 APB30°，则满足条件的点 P 的个数是（）A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 不存在P6. 如图所示， ABP 与 CDP 是两个全等的等边三角形，且 PA PD有下列四个结论： PBC15°；ADBC；直线 PC与AB垂直；四边形 ABCD 是

9、轴对称图形其 中正确结论的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个C. 3 个D. 4 个C、填空题7. 小明把一张长方形的纸对折 2 次，描上一个四边形，再剪去这个图形（镂空） ，展开长方形纸，得到如下图案，设折痕为 l1、l2、 l3，观察图形并填空：l1l2l3四边形与四边形关于 成轴对称；折痕 l2 既是 与的对称轴；又是 与的对称轴；从整体看也是 与 的对称轴8. 在平面直角坐标系中，点 A、B、C、D 的坐标分别为（ 1，3）、（ 2， 4）、（1，3）、 2， 4），则线段 AB 与 CD 的位置关系是 9. 如图所示，直线 AB、CD 相交于点 O若 OM ON MN ，那么 A

10、PQ CQP D10. 如图所示，在 ABC 中， B C，FDBC 于 D，DEAB 于 E， AFD 158则 EDF 等于 DC三、综合运用11. 如图所示， AD 是ABC 中BAC 的平分线， P是 AD 上的任一点，且 AB >AC，求 证： AB AC >PBPCC12. 一艘轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方位是北偏东 75°， 又航行 7 海里后， 在 B 处测得小岛 P 的方位是北偏东 60 °，若小岛周围 3.8 海里内有暗礁，问该船一直向东 航行有无触礁的危险13. 已知：如图， ABC 中， BC 边中垂线 ED 交 BC

11、于 E，交 BA 延长线于 D ，过 C 作11CFBD 于 F，交 DE 于 G，DF2BC，试证明： FCB 2BC14. 如图所示， ABC 中， AB AC ， A 100°， BD 平分 ABC ，求证： BCBD AD15. （ 1）已知 ABC 中， A90°， B 67.5°，请画一条直线把这个三角形分割成 两个等腰三角形 （把所有不同的分割方法都画出来，要在图中标出相等两角的度数 ）（ 2）已知 ABC 中， C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了 两个等腰三角形，请探求 ABC 与C 之间的关系例 1 一点通： 设点 P

12、关于 AD 的对称点为点 P'，则点 P'一定在 AB 上，且 CP' AB 时 P'E EC 的值最小，即 PEEC 的值最小所以在 Rt ACP '中 BAC 30°， AC 2CP'8，11所以 AB8，CP'4所以 SABC12AB ·CP'21×8×416PC答案：B 点评：线段最短问题一般与轴对称有关， 解答本题的关键是通过作某线段端点的对 称点， 将两条线段之和的最小问题转化为点到直线的距离问题本题有两种作法：一、作点P关于 AD 的对称点 P'；二、作点 C 关于直线

13、 AD 的对称点，由等腰三角形的对称性可知， 这个点就是点 B ，连结 BE 即可例 2 一点通： 很明显 ACE 和 BDF 关于 y 轴对称本题的难点在于确定是否还有其他的 对称三角形， 分成两组，答案：因为这 6 个点可以组成很多三角形， 两组中不能有重复的点， 4，如图所示：如 ABC还应注意， 这样的对称三角形是把 6 个点 和BAD 虽然关于 y 轴对称，但不符合题意第三点只能是 y 轴左侧剩下的那一点或它的对称点， 即 ACE 与 BDF，ACFMN ，又得到折痕 EC、点评： 成三角形， 与BDE 等，共 6组，其中 ACE 与BDF 重复出现 3次，所以一共有 4 组对称三角

14、形 如 果不按规律，则很容易造成漏解 例 3 一点通： 此题利用轴对称图形的性质，首先得到折痕（对称轴）BF，它们所在的直线都是对称轴，即CPE与 CDE 关于 CE 所在的直线对称， ABF 与PBF 关于 BF 所在的直线对称，根据轴对称的性质可得到对应边相等，对应角相等，从而 得出 PBC 是等边三角形这个事实答案：（1）由折叠的性质得：线段 PC、PB 均等于正方形的边长， PCPB；（2）由（ 1） 可知， PCPBBC，所以 PBC 是等边三角形，所以 CPB60°；（3）由（ 1）、（ 2）可 知： 1 2 3 4 75°， 5 630°， 7 8

15、9 1015°， MFP MEP30°， EPF120°， NPF NPE120°，等等点评： 此题提供了一种通过折叠裁剪等边三角形的方法，要记住哟！例 4 一点通： 欲证 PBPCPA，可考虑将 BP、PC 转移到同一条直线上，将问题转化为证 明线段相等，由条件 ABP ACP 180°，此题较适合补短，即延长 PC 到 D，使 CD BP，连结 AD ，证明 APPD 即可也可以延长 BP 到点 D，使 PDPC，连结 CD答案： 延长 PC到点 D，使 CDBP，连结 AD ABP ACP180°， ACPAB ACACD 18

16、0°， ABP ACD 在 ABP 和ACD 中， ABP ACD ， ABPBPCD ACD （ SAS）， AP AD ， BAP CAD BAP PAC60°， CAD PAC60°，即 PAD60°， PAD 是等边三角形 PCCDPDPA PBPCPAD点评：求多条线段间的长度关系时有两条主要的思路， 一是找出与所求线段相等的线段， 等量代换；二是利用截长补短法例 5 一点通：证明两线垂直，可证明其夹角为90°，已知条件中没有与 90°有关的条件，本题解法较多，可分为两类：一是不添加辅助线，利用平角或三角形内角和通过计算求B

17、DE 的度数二是构造出直角作等腰三角形的对称轴，如图和图，可构造直角；如 图、，其原理一样，都是先作垂直，再证明有关线段的位置关系；如图，把 DE 构造 成一个等腰三角形的对称轴答案： 证法 1： AB AC ， B C， EAF2BAEAF， E AFE， BAC 2E EAF BAC 180°， 2E2B180°， EB 90°， BDE 90°，即 EFBC 证法 2：过点 A 作 AGBC 于 G，如图所示 AE AF ， AFE E， BAC AFE E2AFE在等腰三角形 ABC 中， AG BC ， BAC 2 GAC ， GAC AFE

18、， AG ED， AGBC，EFBC1证法 3：过点 A 作 AHEF于 H ，如图所示 AEAF，AHEF， EAH 21EAF AB AC ， B C，又 EAF B C， B 2 EAF EAH B ，AH BC ， AH EF， EFBC证法 4：过点 C作 MCBC 于 C，交 BA 的延长线于 M ，如图所示 M B 90°， ACB ACM 90°，又 B ACB ， M ACM AEF AFE ，且 AEF AFE M ACM 180° MAC ， M AEF EF MC ， EF BC证法 5：过 E作ENEF于 E，交 CA 的延长线于 N，如

19、图所示 EN EF，NEA AEF 90°， N EFN 90°， AEF AFE ， N NEA 又 B C，且BC N NEA 180° BAC，NC，NEBC，NEEF， EFBC B ACB ， B P ED BP，即 EFBC 证法 6：过点 E作 EP AC ，交 BC的延长线于点 P，如图所示 EPAC， P ACB ， AEF ，点评：ENABDD PEF AFE ， AFE AEF， PEFEFBC ，这些方法可分成两类：一是由角之间的关系利 用三角形内角和来证；二是利用等腰三角形的轴对称性构造具有垂直关系的线段例 6一点通： 第（ 1）问易解，

20、第（ 2）、（3）问先猜测结论再证明，因为图 2 和图 3是平移 变换过程中两个不同的状态，所以其结论和证明方法应该类似从图2和图 3来看， BQ 和AP 的数量关系和位置关系比较容易猜测，是相等且垂直的关系关键是如何证明， BQ 和 AP相距较远，可考虑利用三角形全等来证； 线段 BQ 和AP不相交，可延长 BQ与AP相交， 利用角之间的关系证明其夹角是90°答案：（ 1）AB AP， AB AP（2）BQAP；BQAP证明：由已知得 EFFP，EFFP， EPF45°，又 AC BC ， CQP CPQ 45°， CQCP，又 BC AC ， BCQ ACP

21、90°， RtBCQRtACP，BQAP；延长 BQ交 AP于点 M，RtBCQRtACP， CBQ CAP ，又 CBQ CQB 90°， CQB AQM ， CAP AQM 90°， BQ AP；（ 3）成立，证明： EPF45°， CPQ45°，又 AC BC ， CQP CPQ45°， CQCP，又 BCAC， BCQ ACP 90°， RtBCQRtACP， BQAP；延长 QB 交 AP 于点 N，则 PBN CBQ， BQC CBQ 90°， APC PBN 90°， BQAP点评： 这是一

22、道与平移变换有关的图形探索问题，解答这类问题时， 应重点分析变换过程中变化的量和不变的量在本题中RtBCQ RtACP 是一种始终不变的关系，它也正是 BQAP、BQ AP 的原因一、选择题1. B 解析：注意观察裤子上的图案，在抱球的那一侧2. B 解析：由题意可知， BAE 2C90°，所以 C 40°13. C 解析：如果这个角是顶角，那么底角是2（ 180° 50°） 65°，此时一腰上的高与底边的夹角是 90° 65° 25°；如果这个角是底角，那么一腰上的高与底边的夹角是 90° 50

23、6; 404. A 解析：利用本讲专家点拨中的规律方法可求B 作 BP1AB 交直线 l 于点 P1，则 AP1B30°作 AP25. B 解析：如图所示，过点 l 于点 P2，则 AP 2B30°6. D 解析：根据题意，PBC 15°易证；可通过同旁内角互补证得AD BC；延CQB90°，即 PCAB ；因为 AD 长 CP 交 AB 于点 Q ，可通过三角形内角和证明BC，所以过点 P与 AD 垂直的直线必与 BC 垂直，这条直线也同时平分 AD 和 BC，所以有 四边形 ABCD 是轴对称图形二、填空题7. l1； ； ； 和 和8. 关于 y

24、轴对称9. 240° 解析：因为 OMONMN，所以 OMN 是等边三角形，所以 MON 60°， 所以 AOM 120° APQ 、 CQP、 AOM 是OPQ 的三个外角，其和是 360°，所 以 APQ CQP 360° 120° 240°10. 68° 解析：在 RtBDE 和 RtCFD 中， B C，所以 BDE CFD 180° AFD 22°，所以 EDF90° 22° 68°三、综合运用11. 证明：在 AB 上取一点 E，使 AE AC ，连结

25、PE，易得 AEP ACP，所以 PE PC在 BEP 中，BEPE>PB，即（ AB AC ） PC> PB，所以 AB AC > PB PCDC12. 解：依题意画图，则 AB7 海里，过点 P作 PCAB 于 C，则由题意可知 PBC 30°， APB PBC PAB30° 15°15°， PABAPB，PBAB7 11（海里）PC12PB21×73.5（海里）PC<3.8 海里，该船一直向东航行有触礁的危险北1113. 证明：如图，连结 CD， DE 垂直平分 BC，CE2BC， DF2BC， CE DF由 CF

26、BD，DEBC 得 DFG CEG90°，又 FGD EGC， FGD EGC（AAS ）EGFG，DGCG，DGEGCGFG，即 DECF在 BCF 和BDE BB11中， BFCBED90°， BFC BED（ AAS ）， BD BC DF 2BC 2BD ，DE CF2 21CF 是 BD 的中垂线， BCF 2BCD又DE 是 BC 的中垂线， B BCD，1BCF 21B或连结 BG，如图，证得FGD EGC，有 FGEG， BG 是DBC的平分线，1GBC 2DBC 又DE 是 BC 的中垂线， GBC FCB，即 FCB 112 DBC 14. 证明：本题可采用“截长”或“补短”两种方法如图，在BC 上截取 BFBA ，BEBD在 ABC 中， A 100°， AB AC ， ABC C 40° BD 平分 AB FBABC ，在 ABD 和FBD 中， ABD FBD， ABD FBD （ SAS） AD DF， BD BD1DBF2ABC 20°， BFDA100°在 BDE 中， BDBE， DBC20°，1 BED 2（180° 20°） 80°， DFE 180° BFD 80°