山西省大学附属中学2018 2019高二数学上学期12月月考试题文含解析

1、 - 1 - 山西大学附属中学2018-2019学年高二上学期12月月考 数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 直线3xy50?的倾斜角是( ) A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】 求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可 【详解】因为直线3xy50? 的斜率为：3?，直线的倾斜角为： 所以tan3?，120 ? 故选：C 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用 2.方程22xy2x4y60?表示的图形是( ) A. 以?1,2?为圆心，11为半径的圆 B. 以?1,2?为圆心，11为半径的圆 C. 以?

2、1,2? 为圆心，11为半径的圆 D. 以?1,2 为圆心，11为半径的圆 【答案】C 【解析】 分析】 将方程转化为圆的标准方程的形式，即可确定方程表示以（-1，2 ）为圆心，11 为半径的圆. 【详解】已知方程x2+y2+2x-4y-6=0,可转化为：（x+1）2+（y-2）2=11 故方程表示以（-1，2 ）为圆心，11 为半径的圆 故选C 【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，考查了圆的一般方程和标准方程;判断二元 - 2 - 二次方程表示圆时，若方程能够转化为圆的标准方程形式：?222xaybr? ，即可知方程表示圆心为?,ab，半径为r的圆. 3.直线y3x4?关于点?P2,

3、1?对称的直线方程是( ) A. y3x10? B. y3x18? C. y3x4? D. y4x3? 【答案】A 【解析】 【分析】 设(,)mn为所求直线上任意一点，求出该点关于点(2,1)P?的对称点为(4,2)mn?，将该点坐标代入方程34yx?后整理可得所求直线的方程 【详解】设(,)mn为所求直线上任意一点， 则该点关于点(2,1)P?的对称点为(4,2)mn?， 由题意得点(4,2)mn?在直线34yx?上， 23(4)4nm?， 整理得310nm?， 所以所求直线的方程为310yx? 故选A 【点睛】本题考查中心对称的知识和代入法求直线的方程，考查变换思想在解题中的应用及计算能

4、力，属于基础题 4.已知直线1l：xmy70?和2l：?m2x3y2m0?互相平行，则实数m(? ) A. m1?或3 B. m1? C. m3? D. m1?或m3? 【答案】A 【解析】 - 3 - 由题意得:2321317mmmmm?或 ,选A. 5.直线l过点?1,2?且与直线2x3y40?垂直，则l的方程是( ) A. 2x3y50? B. 2x3y80? C. 3x2y10? D. 3x2y70? 【答案】C 【解析】 直线2x?3y+4=0的斜率为23，由垂直可得所求直线的斜率为32?， 所求直线的方程为y?2=32?(x+1)，化为一般式可得3x+2y?1=0 本题选择C选项.

5、 6.若变量,xy满足约束条件00340xyxyxy?，则32xy?的最大值是( ) A. 0 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意作出不等式组所表示的平面区域，将yxz23?化为322zyx?，2z相当于直线322zyx?的纵截距，由几何意义可得结果 【详解】由题意作出其平面区域， - 4 - 令yxz23? ，化为322zyx? ，2z 相当于直线322zyx?的纵截距， 由图可知， 340yxxy?，解得1x?，1y?， 则32xy?的最大值是325?，故选C 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“

6、一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 7.已知坐标平面内三点? ?P3,1,M6,2,N3,3?，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围为( ) A. 5,46? B. 3,44? C. 2,33? D. ,63? 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意画出图形，分别求出直线PM，PN的斜率，进一步求得倾斜角得答案 - 5 - 【详解】如图， 由? ?P3,1,M6,2,N3,3?， 得? ?

7、PM21k163?，PN313k333? PM?所在直线的倾斜角为4，PN所在直线的倾斜角为56， 则直线l的倾斜角的取值范围为5,46? 故选：A 【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 8.直线l过?P1,2，且?A2,3，?B4,5?到l的距离相等，则直线l的方程是( ) A. 4xy60? B. x4y60? C. 3x2y70?或4xy60? D. 2x3y70?或x4y60? 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件可知直线平行于直线AB或过线段AB的中点,当直线/lAB时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB的中点?2,

8、3时，利用点斜式可得直线方程. 【详解】设所求直线为l由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点， （1）AB的斜率为35424?，当直线/lAB时，l的方程是?241yx?， - 6 - 即460xy?； (2)当直线l经过线段AB的中点?3,1?时，l的斜率为213132?， l的方程是?3212yx?，即3270xy?， 故所求直线的方程为3270xy?或460xy?，故选C. 【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力. 9.设点1F，2F分别是椭圆2222xyC1(b0)b3b：?的左

9、、右焦点，弦AB过点1F，若2 ABF的周长为8，则椭圆C的离心率为( ) A. 12 B. 14 C. 154 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知求得b，可得椭圆长半轴长，再由隐含条件求得c，则椭圆离心率可求 【详解】由已知可得，椭圆的长轴长为22a2b3?， 弦AB过点1F，2ABF ? 的周长为21212AFAFBFBF4a4b38?， 解得：b1(b0)?，a2?，b1?，则22cab3?， 则椭圆的离心率为c3ea2? 故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及简单性质，是基础的计算题 10.已知F是椭圆22xCy12?：左焦点，P为椭圆C上任意一点，点?Q4,

10、3，则PQPF?的最大值为( ) A. 52 B. 32 C. 34 D. 42 - 7 - 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，设椭圆C的右焦点为?F'1,0 ，由已知条件推导出PQPFPQ22PF'?，利用Q，F'，P共线，可得PQPF?取最大值 【详解】由题意，点F为椭圆22xCy12?：的左焦点，?F1,0?， 点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为?4,3， 设椭圆C的右焦点为?F'1,0， PQPFPQ22PF'2? 2PQPF'?， PQPF'QF'32?， PQPF52?，即最大值为52，此时Q，F'，P

11、共线，故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力。 11.如图所示，12FF分别为椭圆2222xy1ab?的左右焦点，点P在椭圆上，2POF的面积为3的正三角形，则2b的值为( ) - 8 - A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 【答案】B 【解析】 【分析】 由2POF的面积为3的正三角形，可得2334c?，解得.c把?1,3P代入椭圆方程可得：22131ab?，与224ab?联立解得即可得出 【详解】解：2POF的面积为3的正三角形，

12、2334c?， 解得2c? ?1,3P?代入椭圆方程可得：22131ab?，与224ab?联立解得：223b? 故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12.直线kxy2k0?与曲线2y1x?交于M、N两点，O为坐标原点，当OMN面积取最大值时，实数k的值为( ) A. 33? B. 3? C. 1? D. 1 【答案】A 【解析】 - 9 - 【分析】 根据MON为直角时，OMN的面积取到最大值，于是得到OMN为等腰直角三角形，根据三角形的相关知识求出原点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程可解出k的值， 结

13、合直线恒过（20，），得出k0，从而得解 【详解】由2y1x?，知y0?，将等式两边平方得22y1x?，即22xy1?， 所以，曲线2y1x?表示的图形是圆22xy1? 的上半部分， 设MON?，则 OMN的面积为211S1sinsin22?， 显然，当90 ?时， OMN的面积取到最大值，此时， OMN是等腰直角三角形， 设原点到直线kxy2k0?的距离为d ，则2d1sin452?， 另一方面，由点到直线的距离公式可得22k2d2k1? ?，解得3k3?， 又直线kxy2k0?恒过（20，），与圆22xy1? 的上半部分相交， 则 k0?，因此，3k3?， 故选：A 【点睛】本题考查直线与

14、圆的位置关系，将问题转化为圆心到直线的距离，是解本题的关键，属于中等题 二、填空题（本大题共4 小题，共20.0分） 13.椭圆C：22xy1259?的焦距是 _ 【答案】8. 【解析】 试题分析：由题意可知：，从而22225916cab?，即4c?，所以焦距是28c?. - 10 - 考点：由椭圆的标准方程求几何性质. 14. 与圆2215C(x)(y1)24?：关于直线l：xy10?对称的圆的标准方程为_ 【答案】2235x(y)24? 【解析】 【分析】 先求出圆C的圆心和半径，可得关于直线l：x+y10对称的圆的圆心C的坐标，从而写出对称的圆的标准方程 【详解】圆2215C(x)(y1

15、)24?： 的圆心1C12?， 设点C关于直线l：xy10?对称的点?C , yx?，则有CC11121022kxy?，即11121121022yxxy?，解得3C'0,2?，半径为54，则圆C关于直线l：xy10?对称的圆的标准方程为2235x(y)24?， 故答案为：2235x(y)24? 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点关于直线对称的性质，关键是利用垂直平分求得点关于直线的对称点，属于中档题 15.已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足30e2?，则长轴长的取值范围是_ 【答案】?2,4 - 11 - 【解析】 【分析】 将e用a表示出来，然后根据e的范围求解即可得到结论 【详

16、解】b1， 221ca， 又302e?， 2304e?， 221304aa?，整理得214a?， 解得12a? 224a?， 长轴长的取值范围为?2,4 故答案为?2,4 【点睛】本题考查椭圆中基本量间的运算，解题时注意灵活运用cea?和,abc间的关系，属于基础题 16.当实数x，y满足x2y40xy10x1?时，axy4?恒成立，则实数a的取值范围是_ 【答案】3,2? 【解析】 由约束条件作可行域如图所示： - 12 - 联立1240xxy? ，解得3(1,)2C 联立10240xyxy?，解得(2,1)B 在01?yx中取0y?得(1,0)A，由4axy?得4yax?，要使4axy?恒

17、成立，则平面区域在直线4yax?的下方 若0a?，则不等式等价为4y?，此时满足条件 若0a?，即0a?，平面区域满足条件 若0a?，即0a?，要使平面区域在直线4yax?的下方，则只要B在直线的下方即可，即214a? ，得230?a 综上所述，32a? 故答案为3,2? 点睛：线性规划解决的是“约束条件”、“ 目标函数”中是二元的问题，目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知直线l：axy2a0?，若直线l在两坐标轴上截距相等，求l的方程 【答案】xy10?或2xy0?

18、【解析】 【分析】 分别令x，y等于0，代入已知方程可得两截距，由题意可得a的方程，解a值可得答案 - 13 - 【详解】当x0?时，ya2?，当y0? 时，a2xa?， 则a2a2a?，解得a1?或a2?， 故直线l的方程为xy10?或2xy0? 【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的截距的概念及求法，属于基础题 18.已知 ABC的三个顶点坐标为?A3,3?，?B4,2?，?C2,2? ()求 ABC的外接圆E的方程； ()若一光线从?2,3?射出，经y轴反射后与圆E相切，求反射光线所在直线的斜率 【答案】（）?22321xy?（）43k?或34? 【解析】 【分析】 （）可证得AC

19、AB?，从而BC是所求外接圆的直径，求得圆心坐标和半径，可得圆标准方程； （）利用对称性，点)3,2(?关于y的对称点(2,3)?一定在反射光线所在直线上，由直线与圆相切可得斜率 【详解】（）注意到：?1,1,1,1,?0ABACABAC?,于是ABAC? 所以ABC?是直角三角形，于是外接圆圆心为斜边BC的中点?3,2?，半径12BCr? 所以：ABC?的外接圆E的方程为：?22321xy? （）点?2,3?关于y轴对称点?2,3?，则反射光线经过点?2,3? 有图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为?32ykx? 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离25511kdk?，解

20、得：43k?或34? 【点睛】求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，因此只要根据圆的性质确定圆心与半径即可，而光线反射问题主要记住性质：入射光线关于反射面（线）的对称图形与反射光线共线 - 14 - 19.已知直线l：x2y40? ?1已知圆C的圆心为?1,4，且与直线l相切，求圆C的方程； ?2求与l垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线方程 【答案】（1）22(x1)(y4)5?；（2）y2x4? 【解析】 【分析】 （1）由已知结合点到直线距离公式求得半径，代入圆的标准方程得答案； （2）设出所求直线方程，分别求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，求解得答案 【详

21、解】?1圆C的圆心?1,4到直线l：x2y40? 的距离11244d55?， 即所求圆的半径为r5?，?圆C的方程为22(x1)(y4)5?； ?2直线l的斜率1k2?，则设所求直线方程为y2xb?， 取x0?，可得yb?，取y0?，可得bx2? 由题意可得，1bSb422?，解得b4? ?所求直线方程为y2x4? 【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用及直线的截距的应用，是基础题 20.已知圆221Cxy4?：，圆222C(x3)y1?：，直线l过点?M1,2 ?1若直线l被圆1C 所截得的弦长为23，求直线l的方程； ?2若圆P是以2CM为直径的圆，求圆P与圆2C的公共

22、弦所在直线方程 【答案】（1）1x?或3x4y50?；（2）2x2y50? 【解析】 【分析】 - 15 - （1）根据题意，可得圆心C1（0，0），半径r12，可设直线l的方程为x1m（y2），即xmy+2m10，由点到直线的距离公式和圆的弦长公式，解方程可得m，进而得到所求直线方程； （2）根据题意，求得圆心C2的坐标，结合M的坐标可得圆P的方程，联立圆C2与圆P的方程，作差可得答案 【详解】?1根据题意，圆221Cxy4?：，其圆心?1C0,0，半径1r2?， 又直线l过点?M1,2且与圆相交， 则可设直线l的方程为?x1my2?，即xmy2m10?， 直线l被圆1C所截得的弦长为23

23、，则圆心到直线的距离2dr31?， 则有22m111m?，解可得：0?m或43；则直线l的方程为1x?或3x4y50?： ?2根据题意，圆222C(x3)y1?：，圆心2C为?3,0， 其一般式方程为22xy6x80?， 又由?M1,2，圆P是以2CM为直径的圆，则圆P的方程为：?x3x1y2y00?，变形可得：22xy4x2y30?， 又由2222xy4x2y30xy6x80?，作差可得：2x2y50? 所以圆P与圆2C的公共弦所在直线方程为2x2y50.? 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆、圆与圆的位置关系，属于综合题 21.在平面直角坐标系xOy中，经过点)20(，且斜

24、率为k的直线l与椭圆2212xy?有两个不同的交点P和Q （1）求k的取值范围； （2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB，是否存在常数k，使得向量OPOQ?与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由 - 16 - 【答案】（1 ）22?， （2）没有 【解析】 解：(1)由已知条件知直线l的方程为 ykx2， 代入椭圆方程得22x(kx2)21. 整理得212k?x222kx10. 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24212k?4k22>0， 解得k<22或k>22， 即k的取值范围为2,2?2,2?. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则OPOQ(x1x2，y1y2)， 由方程得x1x224212kk?. 又y1y2k(x1x2)2222212k?， 而A(2，0)，B(0,1)，AB(2，1)， 所以OPOQ与AB共线