(完整word版)证明圆的切线方法

1、证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题， 就是证明一直线是圆的切线 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过。O上某一点A,证明l是。的切线，只需连 OA,证明OAJ 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 .例1 如图，在4ABC中，AB=AC ,以AB为直径的。交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交 OD延长线于F.求证：EF与。相切.证明：连结OE, AD.,. AB是。O的直径，AD XBC.又 AB=BC , 3=/ 4.BD=DE , / 1 = /2.又,. OB=OE, OF=OF, BOFA EOF

2、(SAS) ./ OBF= Z OEF. BF与。O相切， OBXBF. ./ OEF=90 0.EF与。O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是/BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA与。O相切.证明一:作直径AE,连结EC.AD是/ BAC的平分线,/ DAB= / DAC. PA=PD,2=/1+/ DAC. / 2=/B+ / DAB ,又. / B=Z E,1 = /EAE是O O的直径，AC± EC, /E+/EAC=900.1 + /EAC=900.即 OA ± PA.证明二:延长AD交。于E,连结AD星BA

3、C的平分线,BE=CE ,OEXBC. E+Z BDE=90 0. OA=OE ,./ E=Z 1. PA=PD,/ PAD= / PDA.又. / PDA= / BDE,PA与。O相切.1 + /PAD=90°即 OA ± PA.PA与。O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例3 如图，AB=AC , AB是。O的直径，O O交BC于D, DM ±AC于M求证：DM与。O相切.证明一：连结OD. AB=AC ,. B=/C.OB=OD , ./ 1 = / B. ./ 1=Z C. .OD / AC. . DM ±A

4、C , DM ± OD. DM与O O相切证明二：连结OD, AD.AB是。O的直径,AD ± BC.又 AB=AC, 1=Z 2.-. DM ±AC , .2+/4=900OA=OD , / 1 = Z 3.3+/4=900.即 OD，DM.DM是O O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,6解题中注意充分利用已知及图上已知例4 如图，已知：AB是。O的直径，点C 在 O O±,且/ CAB=30 0, BD=OB ,D在AB的延长线上.求证:DC是O O的切线证明:连结OC、BC. OA=OC ,A=/1=/3

5、0°. ./ BOC= / A+ / 1=600.又. OC=OB ,， OBC是等边三角形.OB=BC. OB=BD ,OB=BC=BD.OCXCD.DC是O O的切线.说明:此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.如图，AB 是。O 的直径，CDXAB ,且 OA2=OD - OP.求证:PC是。O的切线.证明:连结OC. OA2=OD - OP, OA=OCOC2=OD - OP,OC OPOD OC又/ 1=Z1, . OCPsODC. ./ OCP= Z ODC. . CDXAB , ./ OCP=900.PC是。O的切线.说明：此题是通过证三

6、角形相似证明垂直的F.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于求证：CE与 CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出 CFG的外接圆，但 CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取 FG的中点O,连结OC,证明CELOC即可得解.证明：取FG中点O,连结OC.ABCD是正方形， BCXCD, CFG 是 RtA .O是FG的中点， .O是RtA CFG的外心. . OC=OG , ./ 3=/ G,. AD / BC, G=/4. AD=CD , DE=DE , ZADE= ZCDE=450,.ADE ACDE (SAS)4=/1, / 1 =

7、Z3.2+ Z3=900,. / 1 + Z2=900.即 CEXOC.CE与ACFG的外接圆相切、若直线l与。O没有已知的公共点， 又要证明l是。O的切线，只需作OA，l,A为垂足，证明 OA是。O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.证明一：连结DE,作DFXAC , F是垂足. AB是。D的切线, DEXAB. DFXAC , ./ DEB= / DFC=900. AB=AC ,. B=/C.,.BDEACDF (AAS ).DF=DE.F 在O D 上.2 .AC是。D的切线证明二：连结DE, AD

8、 ,作DFXAC , F是垂足.AB与。D相切,3 DE LAB.4 AB=AC , BD=CD , DEXAB , DF± AC,DE=DF. F在O D 上.AC与。D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图， AC, BD与。O切于A、B,且AC / BD,若/ COD=900.求证：CD是。的切线.证明一：连结OA, OB,作OEXCD, E为垂足.AC, BD 与。O 相切，AC ±OA, BD ±OB. AC / BD ,/ 1 + / 2+/3+/

9、4=1800. / COD=900,.2+ /3=90°, / 1 + /4=90°. / 4+ Z5=900. / 1 = /5. RtA AOCRtABDO.AC OC .OB ODOA=OB ,.AC OC .OA OD又. / CAO= / COD=900,.AOC sODC,1 = /2.又 OAXAC , OEXCD,OE=OA.E点在。O上.CD是。O的切线. AC, BD 与。相切, ACXOA , BD XOB. AC / BD , ./ F=Z BDO.证明二：连结OA, OB,作OEXCD于E,延长DO交CA延长线于F.又 OA=OB , AOFABOD (AAS)OF=OD. . / COD=90 0,CF=CD , / 1=/2.又 OAXAC , OEXCD,OE=OA.E点在。O上.CD是。O的切线.证明三：连结AO并延长，作 OELCD于E,取CD中点F,连结OF. AC与。O相切, AC LAO. AC / BD , AOXBD. BD与。O相切于B,AO的延长线必经过点 B.AB是。O的直径. AC / BD , OA=OB , CF=DF ,OF/ AC./ 1 = Z COF./ COD=90 0, CF=DF ,八1 _-OF CD CF .2 ./ 2=/COF.1 = /2. OAXAC , OEXCD, O