(整理)平面向量的数量积教案

1、平面向量的数量积教案南昌市铁路一中章建荣考纲要求：掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题，掌握向量垂直的条件.高考预测：(1)客观题-考查数量积的定义、性质及运算律，难度较低.(2)主观题-以平面向量的数量积为工具 ,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等式联系，难度中等.教学目标：(i)知识目标：(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示(2)平面向量数量积的应用.(ii)能力目标：(1)培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力(2)正确运用向量运算律进行推理、运算 .教学重点：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义.2.用

2、数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算教学又t点：平面向量数量积的综合应用.教 具：多媒体.教材教法分析：本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课，重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.渗透化归思想以及数形结合思想.教学过程：一、追溯1 .平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角是0 ,则数量| a| b |cos叫a与b的数量积，记作 ab,即ab= | a | b |cos , (0)并规定0与任何向量的数量积为Q2 .平面向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b |cos的乘积.3 .

3、两个向量的数量积的性质设a、,b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1 e a = a e =| a |cos ；2 a b a b = 03当a与b同向时，a b = |a|b |；当a与b反向时，a b = |a |b|,特别地a a = |a|2a b.,4 cos = ；5 |a b | < |a|b |a|b |4 .平面向量数量积的运算律交换律：a b = b数乘结合律：(a) b = (a b ) = a ( b )分配律：(a + b)c = ac + bc5 .平面向量数量积的坐标表不已知两个向量 a (X1,y1)，b (X2,y2),则 a b X1X2 y1y2

4、.设 a (x, y),则 |a | Jx2y2 .平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为区M)、d, y2),那么 |a| 弋(x X2)2 (y1 y2)2 .向量垂直的判定两个非零向量a(X1, y1)，b (X2, y2)，则 aX1X2 y1y20 .两向量夹角的余弦cosa|a|bINX1X2y1y22-2y1. X22y2(012二、典型例题1 .平面向量数量积的运算 例题1已知下列命题： a ( a) 0；(ar b)r(bc);(ago)gsagbg)；r (ar r r rb)gs agcr rbgc其中正确命题序号是点评:掌握平面向量数量积

5、的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律例题2r已知ar2,br r5,若(1)a|b; (2)b;(3) a与b的夹角为30°,分别求agb.解(1)当r r r r a|b时,ago =a b cos0r r10 或 agb =rb cos1800 2 5 ( 1)10.r(2)当 ab时，agb=a b cos90(3)当a与b的夹角为r r300 时,ag)=a b cos30r变式训练：已知ar(cos23 ,cos 67 ), b0(cos68 ,cos220)，求 agb刎 r r0000斛：aS cos23 cos68 cos67 cos22 =一0 . 一0.

6、_ 0_0._0cos23 sin 22sin 23 cos 22sin 45,注意两个向量夹角的确定及分类完整点评：熟练应用平面向量数量积的定义式求值2 .夹角问题例题3 (2005年北京)若r1, br 2,cr rb,且ca,则向量a与向量b的夹角为(A. 300B.600C.1200D. 1500解:依题意a (a b) 0rb coscos1200 故选C学生训练：r 已知ar 2,b3,_ r"，求向量a与向量rb的夹角.r已知a(1,r 2),br(4,2),a与(rb）夹角为，则 cosr r解：a br2 ar r 2agbr2 br r cos a, br r a

7、go ab1，故夹角为600.3 2依题意得r r(a b)(3,4)cosarg(a b)_3_85 .5r r变式训练：已知a,b是两个非零向量，同时满足，求1arb的夹角.法一解:将ab两边平方得agb则cosag(a b)-frf-a a b2 a -rar ra*r-r-a b1 r272 li r2 .a 2agb brnb的夹角.为300.法二：数形结合点评:注意两个向量夹角共起点3.向量模的问题，灵活应用两个向量夹角的两种求法例题4已知向量a,b满足ar6, br r4,且a与b的夹角为600，求b 和 a 3b .r 解：Q a6,4 ,且a与b的夹角为60r rago12r

8、 r n2agb b.76 2.19 ;r 3bv2>rrn. a 6agp 9b,108 6,3.变式训练：r（2005年湖北）已知向量ar(2,2),b (5,k),若rb不超过5,则k的取值范围（）A. 4,6B.6,4C.6,2D. 2,6（2006年福建）r r已知a与b的夹角为120r3, ar，则b等于（A 5 r 解：Q aB. 4C. 3D. 1(3,kr2 a2)2)25,故选Cr r 2a*r2 b ,点评:涉及向量模的问题一般利用r raga4.平面向量数量积的综合应用r例题5 （2006年全国卷）已知向量aa b cos120b2r13,解得b 4,故选Br 2

9、a，注意两边平方是常用的方法r(sin ,1),b (1,cos ), 22rrrr若ab,求；(2)求a b的最大值.r r解：(1)若 ab,则 sincos 0, tan 1,(2r r 22(2) a b=J(sin 1)(1 cos )32(sin_cos") =, 3 2,2sin(-32Q I 2, Z 7 T, sin( N ( T,1r rj-当 一时，a b的最大值为J3 2>/24rr例题 6 已知向量 a (cos ,sin ), b (cos ,sin,(.2 1)2.2 1.r r r r )，且a,b满足ka bl r r731a kb ,k Rr

10、 r r rr r(2)求证(a b) (a b) ;(2)将a与b的数量积表示为关于 k的函数f (k);(3)求函数f (k)的最小值及取得最小值时向量r ra与向量b的夹角解:(1)(cos ,sinr),b (cos ,sinr(a(2)b)g(a r r Q ka br % b) a,3 ar kar ragDf(k)cos2 br|a|r2 |b|20,r 故(ar b)r (ar b)rkb ,3 a kb ,又k24k1,(kk2 14kr ragb用0)故 f (k)2rk 14g4k1 , , r此时当214kk2r r 2kagor r 26kagb 3k ,小结1.k24k1