2011 2012年高考总复习一轮名师精讲课件第45讲棱柱与棱锥

1、?第四十五讲?(第四十六讲(文)棱柱与棱锥? 回归课本? 1.棱柱? 棱柱的定义： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱2棱柱的分类： 棱柱? 直棱柱? 正棱柱其他棱柱斜棱柱 ? 3棱柱的主要性质：? (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形? (2)两个底面与平行于底面的截面是 全等的多边形? (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形? 4平行六面体与长方体? 定义：底面是平行四边形的四棱柱 叫平行六面体侧棱与底面垂直的平行六面体 叫直平行六面体底面是矩形的直平行六面体叫长方体棱长都相等的长方体叫正方体? 5棱柱的侧面积和体积公

2、式? (1)直棱柱的侧面积和体积公式? 如果直棱柱的底面周长是 C，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧Ch.? 如果直棱柱的底面面积是 S，高是h，那么它的体积是V直棱柱Sh.? (2)斜棱柱的侧面积和体积公式? 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为C，侧棱长为l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧Cl.? 如果斜棱柱的直截面的面积为 S，侧棱长为 l，? 6棱锥的概念和性质? (1)棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形 ，由这些面所围成的几何体叫做棱锥? (2)棱锥的分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形，因此我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、

3、四棱锥、五棱锥? (3)性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面 相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比? 7正棱锥的概念和性质? (1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心 ，这样的棱锥叫做正棱锥? (2)正棱锥的性质? 各侧棱相等，各侧面都是 全等的等腰三角形 ，各侧面底边上的高叫棱锥的 斜高，正棱锥的斜高相等? 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影 组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形8棱锥的面积和体积 (1)棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和侧面积(S侧)之和， 即S

4、全S底S侧 若C为正棱锥的底面周长，h为斜高，则S侧12Ch. (2)棱锥的体积等于它的底面积 (S底)与高(h)的乘积的 三分之一，即V棱锥h3S底 ? 考点陪练? 1.下列有关棱柱的命题中正确的是()? A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱? B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱? C一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱? D棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等? 解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、? 2.如图，直三棱柱ABCA1B1C1侧面AA1B1B是边长为 5

5、的正方形，ABBC，AC与BC1成 60 角，则AC长( ) A13 B10 C5 3 D5 2 ? 答案：D解析：由题设知BC1A160 . A1C12A1B12B1C12BB12B1C12BC12， A1BC1为正三角形 又A1B5 2A1C1AC5 2. ? 3(2010宜昌市调研)如图(1)所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块拼成如图(2)所示几何体，那么此几何体的全面积为()A(2 21)a2 B( 22)a2 C(32 2)a2 D(4 2)a2 ? 答案：B解析：几何体(2)，上下底面为原正方体的对角面，是边长为a、22a的矩形，其余四个面是边长为a，22a，

6、锐角是 45 的平行四边形，面积仍等于原正方体的一个面面积 几何体(2)的表面积为 2(a22a)4?22a2( 22)a2. ? 4如图，在正三棱锥ABCD中，E、F是AB、BC的中点，EFDE，若BCa，则正三棱锥ABCD的体积为()A.212a3 B.224a3 C.312a3 D.324a3 ? 答案：B解析：EFAC，EFDE，ACDE. 又ACDB，AC面ABD . VABCDVCABD224a3. ? 5棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为S1、S2、S3，则()? AS1S2S3BS3S2S1? CS2S1S3DS1S3S2解析：根据相

7、似比知识易知 (设底面为S4)， 平分侧棱S1S44， 平分侧面积S2S42， 平分体积S3S42 ， S1S2S3.故选 A. 答案：A? 类型一棱柱 、棱锥的概念与性质? 解题准备： 熟练掌握棱柱、棱锥的概念与性质? 【典例1】设有四个命题：? 底面是矩形的平行六面体是长方体；? 棱长相等的直四棱柱是正方体；? 有四条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；? 对角线相等的平行六面体是直平行六面体? 以上四个命题中，真命题的个数是()? A 1B 2C 3? 解析命题不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体命题不是真命题，若底面是菱形，底面边长与

8、棱长相等的直四棱柱不是正方体命题也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直命题是真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体故选A.? 答案A? 探究1：下面是关于三棱锥的四个命题：? 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；? 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；? 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；? 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥? 其中，真命题的编号是 _(写出所

9、有真命题的编号)? 解析：显然正确? 如图，反例? 图中ACBCCDBDADAB，? 每个侧面为等腰三角形，? 但此棱锥不是正三棱锥? 图中取ACBADB120，有各侧面面积相等，但此棱锥不是正三棱锥? 由已知顶点在底面射影为内心也是底面外心，故底面三角形为正三角形又各侧棱、斜高可推出彼此相等，故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形，故正确? 误区指津：棱柱、棱锥有很多类似的概念或性质，极易混淆，要注意从内涵和外延两个方面去比较它们? 点评：要注意正三棱锥的定义、性质与判定方法的联系与区别，正三棱锥中，每一条侧棱都相等，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的角都相等，相邻两个侧面所成的角也相等

10、，但侧棱相等的三棱锥，侧棱与底面所成角相等的三棱锥，侧面与底面所成角都相等的三棱锥，相邻两个侧面所成的角都相等的三棱锥却不一定是正三棱锥? 类型二棱柱、棱锥中的线面关系? 解题准备：以棱柱、棱锥为载体来考查四大关系：平行、垂直、夹角、距离? 【典例2】如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面边长为2，侧棱长为4.E、F、H分别为棱AB、BC、A1B1的中点，EFBDG.? (1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；? (2)求证：CH平面B1EF；? (3)求点D1到平面B1EF的距离d.? 解析(1)证明：证法一：连结AC，? 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，? AC

11、BD. 又 BB1AC ， 所 以 AC 平 面BDD1B1.? E、F分别为AB、BC的中点，故EFAC.? EF平面BDD1B1.? 平面B1EF平面BDD1B1.? 证法二： BEBF，EBDFBD45，? EFBD.又EFD1D，EF平面BDD1B1，? 平面B1EF平面BDD1B1.? (2)证明：连结AH，则AHB1E，? 又ACEF，而AHACA，? 平面AHC平面EB1F.? 又CH?平面AHC，CH平面B1EF.? (3)如图所示，在对角面BDD1B1中，作D1MB1G，垂足为M，? 平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1B1G，? D1M平面B1EF，

12、且垂足为M.? 点D1到平面B1EF的距离dD1M.解法一：在 RtD1MB1中，D1MD1B1sinD1B1M， D1B1 2A1B1 22 24， sinD1B1MsinB1GBB1BGB1442124 1717， dD1M44 171716 1717. 解法二：D1MB1B1BG， D1MB1BD1B1B1G. dD1MB1B2B1G42421216 1717. 解法三：连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即12B1GD1M12B1B2. dD1MB1B2B1G16 1717. ? 探究2：如图所示，四棱锥 PABCD的底面是边长为a的正方形，侧面PAB

13、和侧面PAD都垂直于底面 AC，且侧棱 PB、PD都和底面成 45角? (1)求PC与BD所成的角；? (2)求PC与底面ABCD所成角的正切值；? (3)若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心O到平面PMN的距离解析：(1)侧面P AB和侧面P AD都垂直于底面AC，且两侧面交于P A，P A底面AC. 又BDAC，BDPC， 即PC与BD所成的角为 90 . (2)P A底面AC， PCA是PC与底面AC所成的角，PBA为PB与底面AC所成的角， 在 RtP AB中，P AABa. AC 2a，tanPCA22. ? (3)BDAC，BDPA，? BD平面PAC，? 又MNBD，? M

14、N平面PAC.? 平面PAC平面PMN.? 设MNACQ，连结PQ，? 则平面PAC平面PMNPQ.? 作OHPQ，垂足为H，则OH平面PMN，? OH的长即为O到平面PMN的距离? 作AGPQ于G，? 点评：(1)解决空间角度问题，应特别注意垂直关系如果空间角为 90，就不必转化为平面角来求? (2)注意借助辅助平面 (如本题中的平面 PAC)，将空间距离转化为平面距离来求? (3)棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一在 RtP AQ中，P Aa，AQ34AC3 24a， PQ344a. AGP AAQPQ3 1717a. OH13AG1717a. ? 类型三棱柱、棱锥的面积与体积? 解题

15、准备：求侧面积、体积时要抓好以下三个环节：? 1准确、熟练地记忆、应用各种面积、体积公式；? 2求出公式所需要的量及对相关量进行推理论证；? 3进行正确简明的运算? 求解过程中要注意方程思想的运用? 【典例3】正三棱锥的底面边长为 a，侧棱与底面成45角? (1)求其侧面积和体积；? (2)若过底面一边作一平面，使之与底面成 30的二面角，求截面面积? 分析(1)如图，求正棱锥的侧面积和体积的关键是求出棱锥的斜高和高；? (2)作出截面ABE，易知ABE是等腰三角形，可求出底边上的高DE.解析 (1)作PO平面ABC，垂足为O，则PCO45 ， 三棱锥PABC为正三棱锥， O为ABC的中心，C

16、OPO33a. 延长CO交AB于D，连结PD，则PD为斜高 在 RtPOD中，PDPO2OD2156a， S侧12(aaa)156a154a2. 又PO33a，SABC34a2. VPABC1334a233aa312. (2)设过AB且与底面ABC成 30 的平面交PC于E， 连结DE，则DE和PO必相交，设交点为F，由(1)知CDAB，POAB . AB平面PCD，ABDE， EDO就是二面角EABC的平面角， EDC30 . DEC105 ，由正弦定理得CDsin105DEsin45， DE3 32a.S截12AB DE3 34a2. ? 点评解决正棱锥的计算问题，关键是利用有关直角三角形

17、和两个重要的角，通过直角三角形来求解各元素? 探究3：如图所示，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1与下底面相邻两边AB、AC均成60角? (1)求点A1到平面B1BCC1的距离；? (2)若点A1到平面ABC与到平面 BCC1B1的距离相等，求AA1的长及棱柱的侧面积、体积? 解析：(1)过B作BEAA1于E，连结EC，? 则可知ABEACE，? AECAEB90? ECAA1，可知A1A面BEC.? 又B1BA1A，? B1B面BEC，而BB1?面BB1C1C，? 面BB1C1C面BEC.且面BEC为棱柱AC1的直截面，取BC中点F，连结EF，则EFBC.? EF面BB1C1C，由于AA1面B1BCC1点A1到平面B1BCC1的距离等于点E到平面B1BCC1的距离即EF的长 A1AB60 ，BE 3. EF? 3?21 2. (2)过A1作A1G面ABC，则可知点G在BAC的平分线AF上，由关系式 cosA1AGcosBAFcosA1AB， cosA1AGcos60cos3033，A1GEF 2， AA1A1GsinA1AG263 3. ? 点评：(1)S棱柱侧C直l侧；? V棱柱S