初中函数知识点总结与练习大全

1、名师总结优秀学问点考点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系；其中， 水平的数轴叫做x 轴或横轴， 取向右为正方向； 铅直的数轴叫做y 轴或纵轴， 取向上为正方向； 两轴的交点o（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面；为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限；留意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限；2、点的坐标的概念点的坐标用（ a，b）表示，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的

2、位置不能颠倒；平面内点的坐标是有序实数对，当ab 时，（ a，b）和（ b， a）是两个不同点的坐标；考点二、不同位置的点的坐标的特点1、各象限内点的坐标的特点点 px,y 在第一象限x0, y0点 px,y 在其次象限x0, y0点 px,y 在第三象限2、坐标轴上的点的特点x0, y0点 px,y 在第四象限x0, y0点 px,y 在 x 轴上y0 ， x 为任意实数点 px,y在 y 轴上， yx0为任意实数点 px,y 既在 x 轴上，又在y轴上 x ，y 同时为零，即点p 坐标为（ 0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 px,y 在第一、三象限夹角平分线上x 与 y

3、相等点 px,y 在其次、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同；5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特点点 p 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 p 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 p 与点 p关于原点对称6、点到坐标轴及原点的距离横、纵坐标均互为相反数点 px,y到坐标轴及原点的距离：（1）点 px,y 到 x 轴的距离等于y （2）点 px,y 到 y 轴的距离等于x （ 3）点 px,y 到原点的距离等于

4、x 2y2考点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于x 的每一个值， y 都有 唯独确定 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是 x 的函数；2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式；使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范畴；3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法；（2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来

5、表示函数关系，这种表示法叫做列表法；（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法；4、由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标， 在坐标平面内描出相应的点（3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连接起来；考点四、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，假如ykxb （k，b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数；名师总结优秀学问点特殊地，当一次函数ykxb 中的 b 为 0 时， ykx （k 为常数， k0）；这时， y 叫做 x 的正比例函数；2、一次函数的图像：全部

6、一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特点：一次函数ykxb 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数ykx 的图像是经过原点（ 0，0）的直线；4、正比例函数的性质， ，一般地，正比例函数ykx 有以下性质：（1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k<0 时，图像经过其次、四象限，y 随 x 的增大而减小；5、一次函数的性质， ，一般地，一次函数ykxb 有以下性质：（1）当 k>0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个

7、正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx （k0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb （k0）中的常数k 和 b；解这类问题的一般方法是待定系数法；考点五、反比例函数1、反比例函数的概念：一般地，函数yk （k 是常数， k0）叫做反比例函数；反比例函数的解析式也可以写成xykx 1 的形式；自变量x 的取值范畴是x0 的一切实数，函数的取值范畴也是一切非零实数；2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或其次、四象限，它们关于原点对称；由于反比例函数中自变量x0，函数 y0，所以，它的图像与x 轴、 y 轴都没

8、有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永久达不到坐标轴；3、反比例函数的性质反比例函数yk k0 xk 的符号k>0k<0yy图像oxoxx 的取值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；性质当 k>0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； x 的取值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在其次、四象限；在每个象限内，y随 x 的增大而增大；4、反比例函数解析式的确定名师总结优秀学问点确定及诶是的方法仍是待定系数法；由于在反比例函数坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式；5、反比例函数中反

9、比例系数的几何意义kyk 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的x如下图，过反比例函数y k0 图像 上任一点p 作 x轴 、 y轴 的垂线pm ， pn ，就所得的矩形pmon的 面 积xks=pmpn= yxxy ；y,xy xk, sk ；考点六：二次函数1.定义：一般地，假如yax 2bxca,b, c 是常数， a0 ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2.二次函数y2ax的性质（ 1）抛物线yax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（ 2）函数 yax2的图像与 a 的符号关系 .当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；当 a0 时抛物线开口向下顶点为其

10、最高点 .（ 3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax2（ a0）.3.二次函数yax2bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .4. 二次函数yax 2bxc 用配方法可化成：ya xh 2k 的形式，其中hb ， k 2 a4 acb 2.4a5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：yax 2 ； yax 2k ； ya xh2 ； ya xh 2k ；yax 2bxc .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 a 的符号打算抛物线的开口方向：当.a0 时，开口向上；当a0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、外形相同.平行于y 轴

11、（或重合）的直线记作xh . 特殊地， y 轴记作直线x0 .7. 顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数，假如二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .2b4ac b22b8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：2，顶点是（b 4acb，对称轴是直线x.y axbx c a x2a4a，）2a4a2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式，得到顶点为 h , k ，对称轴是直线xh .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物

12、线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线 yax 2bxc 中， a , b, c 的作用名师总结优秀学问点（1） a 打算开口方向及开口大小，这与yax2 中的 a 完全一样 .（2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax 2bxc 的对称轴是直线bbbx，故： b0 时，对称轴为y 轴；0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；0 （即 a 、 b 异号）时，2a对称轴在y 轴右侧 .（3） c 的大小打算抛物线yax 2aabxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0时， yc ，抛物线yax 2bxc 与

13、 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴；c0 , 与 y 轴交于负半轴 .b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，就0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax 2当 a0 时x 0 （ y 轴）（0,0 ）开口向上20,k x0 （ y 轴）y axk当 a0时ya xh 2ya xh 2k开口向下xhxh h ,0 h , k yax 2bxcb2xb4 acb2 a，2a4a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式 ： yax 2bxc .

14、 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常挑选一般式.（2） 顶点式 ： y2a xhk . 已知图像的顶点或对称轴，通常挑选顶点式.（3） 交点式 ：已知图像与x 轴的交点坐标x1 、 x2 ，通常选用交点式：ya xx1xx2.12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线yax 2bxc 得交点为 0,c .（2）与 y 轴平行的直线xh 与抛物线yax2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .（3） 抛物线与 x 轴的交点二次函数yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 、 x，是对应一元二次方程ax2bxc0 的两个实数根 .12抛物线与 x 轴的交点情形

15、可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；名师总结优秀学问点没有交点0抛物线与 x 轴相离 .（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3 ）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，就横坐标是2axbxck 的两个实数根 .22ykxn（5）一次函数ykxn k0 的图像 l 与二次函数yaxbxc a0 的图像 g 的交点， 由方程组yaxbxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 g 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l 与

16、 g 只有一个交点；方程组无解时l 与 g 没有交点 .（ 6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc 与 x 轴两交点为a x1，0 ， bx2，0，由于x1 、x2 是方程ax 2bxcb0 的两个根，故c222b4cb24acx1x2, x1x2aabx1x2ax1x2x1x24x1 x2aaaa中学数学函数练习大全（一） 1 反比例函数、一次函数基础题（ 1）以下函数，x y21 .y1 yx112 . yx1 y2 xx1 y23x；其中是y 关于 x 的反比例函数的有： ；（ 2）如图，正比例函数ykx k0 与反比例函数y2的图象相交于a、c两点，xy过点 a

17、作 ab x 轴于点 b，连结 bc就 abc的面积等于（）axa 1b 2c 4d随 k 的取值转变而转变obc（ 3）假如 y 是 m 的反比例函数，m是 x 的反比例函数，那么y 是 x 的（）a反比例函数b正比例函数c一次函数d反比例或正比例函数（ 4）假如 y 是 m 的正比例函数，m是 x 的反比例函数，那么y 是 x 的（）（ 5）假如 y 是 m 的正比例函数，m是 x 的正比例函数，那么y 是 x 的（）名师总结优秀学问点（ 6）反比例函数yk k x0）的图象经过（2， 5）和（2 ，n ），求（ 1） n 的值；（ 2）判定点b（ 42 ，2 ）是否在这个函数图象上，并说

18、明理由（ 7）已知函数yy1y2 ，其中y1 与 x 成正比例 ,y2 与 x 成反比例，且当x 1 时， y 1； x 3 时， y 5求：2（ 1）求 y 关于 x 的函数解析式；（ 2）当 x 2 时， y 的值（ 8）如反比例函数y2m1 xm2的图象在其次、四象限，就m的值是（）a 、 1 或 1;b 、小于 12的任意实数 ; c、 1;、不能确定（ 9）已知 k0 ，函数 ykxk 和函数 yk在同一坐标系内的图象大致是（）xyyyyxxxoxooobcdabcd（ 10）正比例函数yx和反比例函数y22的图象有个交点x（ 11）正比例函数y5x 的图象与反比例函数yk k x0

19、 的图象相交于点a（ 1， a ），就 a （ 12）以下函数中，当x0 时， y 随 x 的增大而增大的是（）a y3x4b y1 x234c yx1d y2x（ 13）老师给出一个函数, 甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:甲 : 函数的图象经过其次象限;乙: 函数的图象经过第四象限;丙: 在每个象限内,y 随 x 的增大而增大请你依据他们的表达构造满意上述性质的一个函数:.2（ 14）矩形的面积为6cm ，那么它的长y （ cm）与宽 x （ cm）之间的函数关系用图象表示为（）yyyyoxoxoxoxabcdk（ 15）反比例函数y=k>0 在第一象限内的图象如图,

20、点 mx,y 是图象上一点,mp 垂直 x 轴于点 p,xymq垂直 y 轴于点 q； 假如矩形opmq的面积为2，就 k= ;m （ x,y）opx第7题名师总结优秀学问点 假如 mop的面积 = .1、函数 yx和函数 y2（一） 2 反比例函数、一次函数提高题2的图象有个交点；x2、反比例函数yk3的图象经过（x2， 5）点、（ a ,3 ）及（ 10,b ）点，就 k ， a ， b ；3、已知 y -2 与 x 成反比例，当x =3 时， y =1，就 y 与 x 间的函数关系式为；4、已知正比例函数ykx 与反比例函数y式分别是、；3 的图象都过a（ m ，1），就 m ，正比例函

21、数与反比例函数的解析x6、 ym22m5 xm 7是 y 关于 x 的反比例函数，且图象在其次、四象限，就m 的值为；7、如 y 与 3 x 成反比例，x 与 4 成正比例，就y 是 z 的（）z2a、 正比例函数b 、 反比例函数c 、 一次函数d 、 不能确定8、如反比例函数y 2m1 xm2的图象在其次、四象限，就m 的值是（）a 、 1 或 1b 、小于 12的任意实数c 、 1、 不能确定10、在同始终角坐标平面内，假如直线yk1x 与双曲线yk 2 没有交点，那么xk1 和k 2 的关系肯定是（）a 、 k1 <0，k 2 >0b 、 k1 >0，k 2 <

22、0c 、 k1 、 k 2 同号 d 、 k 1 、 k 2 异号11、已知反比例函数ykk0 x的图象上有两点ax1 ， y1 ，b x2 ， y2 ，且 x1x2 ，就y1y2 的值是（）a、正数b、负数c、非正数d、不能确定12、在同一坐标系中，函数yk 和xykx3 的图象大致是（）abcd13、已知直线数的解析式 .ykx2 与反比例函数ym的图象交于ab两点 , 且点 a 的纵坐标为 -1, 点 b的横坐标为2, 求这两个函x14、已知函数yy1y2，其中y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且当x1时, y当1; x 时3y求,当5时.x 的值y25、（ 8 分）已知 , 正比例

23、函数yax 图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数, 反比例函数yk 在每一象限内y随x 的2x增大而减小 , 一次函数y（ 1）求 a 的值 .k xka4 过点2,4.（ 2）求一次函数和反比例函数的解析式.（二） 1 二次函数基础题名师总结优秀学问点1 、如函数 y a1 x a是二次函数，就a；12、二次函数开口向上，过点（1，3），请你写出一个满意条件的函数；3、二次函数y x 2 +x-6 的图象：1）与 y 轴的交点坐标；2）与 x 轴的交点坐标；3）当 x 取时， y 0；4）当 x 取时， y 0；4、把函数yx22 x3 配成顶点式；顶点，对称轴，当 x 取时，函数y 有最

24、值是 ；5、函数 y x 2 - k x+8 的顶点在 x 轴上，就 k =；26、抛物线y=3 x左平移 2 个单位，再向下平移4 个单位，得到的解析式是，顶点坐标；抛物线y=3 x 2 向右移 3 个单位得解析式是7、假如点（1， 1）在 y ax 2 +2 上，就 a；8、函数 y=12x1对称轴是 , 顶点坐标是 ；2129、函数 y= x22对称轴是 , 顶点坐标 ，当时 y 随 x 的增大而削减；10、函数 y x 23x2 的图象与x 轴的交点有个，且交点坐标是_；11、 y x 2 x1）2 y1 yx 2x2 y=1 x222 二次函数有个；15、二次函数yax 2xc 过1

25、,1 与（ 2，2 ）求解析式；12 画函数 yx22 x3 的图象，利用图象回答疑题；求方程 x 22 x30 的解；x 取什么时，y 0；13、把二次函数y=2x 26 x+4 ； 1）配成 y a x-h 2 + k 的形式， 2 画出这个函数的图象；3 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标（二） 2 二次函数中等题1当 x1 时，二次函数y3x2xc 的值是 4，就 c2二次函数yx 2c 经过点（ 2，0），就当 x2 时， y23矩形周长为16cm，它的一边长为x cm，面积为y cm，就 y 与 x 之间函数关系式为224 一个正方形的面积为16cm ，当把边长增加x cm 时，正

26、方形面积增加y cm ，就y 关于 x 的函数解析式2为5二次函数yaxbxc 的图象是，其开口方向由 来确定名师总结优秀学问点6与抛物线yx22x3 关于 x 轴对称的抛物线的解析式为；7抛物线 y1 x2 向上平移2 个单位长度，所得抛物线的解析式为；28 一 个 二 次 函 数 的 图 象 顶 点 坐 标 为 （ 2 ， 1 ）， 形 状 与 抛 物 线 y2x2相 同 ， 这 个 函 数 解 析 式为；9.二次函数与x轴的交点个数是（）a 0b 1c 2d10 把yx22x3 配方成ya xm2k 的形式为：y11假如抛物线yx22m1xm2 与 x 轴有交点，就m 的取值范畴是12方

27、程ax2bxc0的两根为 3， 1，就抛物线yax 2bxc 的对称轴是；13已知直线y2x1 与两个坐标轴的交点是a、 b，把 y2 x 平移后经过a、b 两点，就平移后的二次函数解析式2为 14二次函数yx 2x1 ， b24ac ，函数图象与x 轴有 个交点；15二次函数y x 增大而减小；2 x2x 的顶点坐标是；当 x 时， y 随 x 增大而增大； 当 x 时,y 随216二次函数yx25 x6 ，就图象顶点坐标为 ，当 x 时， y0 17抛物线yaxbxc 的顶点在y 轴上，就 a、b、c 中0y18如图是yax 2bxc 的图象， 就 a0； b0；xo 19填表指出以下函数

28、的各个特点；开口最大或与 y 轴的（第 18 题）与 x 轴有无交函数解析式对称轴顶点坐标方向最小值交点坐标点和交点坐标2y2 x1yx2x1y2x232xy1 x25x12412yx2x1 2名师总结优秀学问点h5t 2yx8xy2x12x21ymxm3m（二） 2 二次函数提高题2 是二次函数，就m 的值为（）a 0 或 3b 0 或 3c 0d 32已知二次函数yk 21) x22kx4 与 x 轴的一个交点a（ 2， 0），就 k 值为（）a 2b 1c 2 或 1d任何实数3与 y2 x123 外形相同的抛物线解析式为（）2a y11 x2b y2 x12c y x12d y2x24

29、关于二次函数yax2b ，以下说法中正确选项（）a如 a0 ，就 y 随 x 增大而增大b x0 时， y 随 x 增大而增大；c x0 时， y 随 x 增大而增大d如 a0 ，就 y 有最小值5函数 y2x2x 3经过的象限是（）a第一、二、三象限b第一、二象限c第三、四象限d第一、二、四象限6已知抛物线y ax2bx ，当 a0，b0 时，它的图象经过（）a第一、二、三象限b 第一、二、四象限c 第一、三、四象限d第一、二、三、四象限7 yx21可由以下哪个函数的图象向右平移1 个单位，下平移2 个单位得到（）a 、 y x121 b y x121 c y x123 d y x1238对

30、 y72xx2的表达正确选项（）a当 x 1 时， y 最大值 22b当 x 1 时， y 最大值 8 c当 x 1 时， y 最大值 8d当 x 1 时， y 最大值 229依据以下条件求y 关于 x 的二次函数的解析式：（1）当 x 1 时， y 0； x 0 时， y 2； x 2 时， y 3（2）图象过点（ 0， 2）、（ 1， 2），且对称轴为直线x 3 2（3）图象经过（ 0， 1）、（ 1， 0）、（ 3， 0）（4）当 x 3 时， y 最小值 1，且图象过（0， 7）（5）抛物线顶点坐标为（1， 2），且过点（ 1， 10）10二次函数yax 2bxc 的图象过点（1， 0）、（ 0， 3），对称轴 x 1名师总结优秀学问点求函数解析式；图象与 x 轴交于 a、 b（a 在 b 左侧），与 y 轴交于 c，顶点为d，求四边形abcd的面积11 如二次函数yx22 k1x2kk 2 的图象经过原点，求：2二次函数的解析式；它的图象与x 轴交点 o、 a 及顶点 c 所组成的 oac面积12、抛物线 y12x3x32 与 yax的外形相同，而开口方向相反，就a =（）（ a）13（ b） 3（c）3（ d） 1313与抛物线y1 x223 x5 的外形大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）a y1 x 243 x522