高考总复习等差数列ppt课件

1、第二十八讲等差数列第二十八讲等差数列回归课本回归课本1.等差数列的定义及等差中项等差数列的定义及等差中项(1)假设一个数列从第假设一个数列从第2项起项起,每一项与前一项的差都等于同一每一项与前一项的差都等于同一个常数个常数,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数这个常数叫等差数列的公差列的公差,通常用字母通常用字母d表示表示.定义的表达式为定义的表达式为an+1-an=d(nN*). (2)对于正整数对于正整数m、n、p、q,假设假设m+n=p+q,那么等差数列中那么等差数列中am、an、ap、aq的关系为的关系为am+an=ap+aq;假设假设a,A,b成成等

2、差数列等差数列,那么那么A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项,其中其中.2Aab2.等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n项和公式项和公式等差数列的通项公式为等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d;前前n项和公式为项和公式为Sn= 或或1()2nn aa(1).2n nd3.等差数列的性质等差数列的性质(1)等差数列的通项是关于自然数等差数列的通项是关于自然数n的一次函数的一次函数(d0).(n,an)是是直线上的一群孤立的点直线上的一群孤立的点,an=an+b(a、b是常数是常数)是是an成等成等差数列的充要条件差数列的充要条件.(2)等差数列等差数列an的首项是的首项是a1

3、,公差为公差为d.假设其前假设其前n项之和可以项之和可以写成写成Sn=An2+Bn,那么那么 当当d0时它时它表示二次函数表示二次函数,数列数列an的前的前n项和项和Sn=An2+Bn是是an成成等差数列的充要条件等差数列的充要条件.1,22ddABa (3)等差数列的增减性等差数列的增减性,d0时为递增数列时为递增数列,且当且当a10时前时前n项项和和Sn有最小值有最小值.d0时前时前n项和项和Sn有最大值有最大值.4.与等差数列有关的结论与等差数列有关的结论(1)假设数列假设数列an和和bn是等差数列是等差数列,那么那么man+kbn仍为等仍为等差数列差数列,其中其中m,k为常数为常数.(

4、2)等差数列中依次等差数列中依次k项和成等差数列项和成等差数列,即即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列成等差数列,且公差为且公差为k2d(d是原数列公差是原数列公差).(3)项数为偶数项数为偶数2n的等差数列的等差数列an,有有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an与与an+1为中间的两项为中间的两项);S偶偶-S奇奇=nd;1.nnSaSa奇偶 (4)项数为奇数项数为奇数2n-1的等差数列的等差数列an,有有S2n-1=(2n-1)an(an为中间项为中间项);S奇奇-S偶偶=an; S奇奇 S偶分别为数列中一切奇数项的和与一切偶数项的和偶分别为数列中一切奇数项的

5、和与一切偶数项的和.1SnSn奇偶5.与等差数列有关的规律与等差数列有关的规律(1)等差数列等差数列an中中,假设假设an=m,am=n(mn),那么那么am+n=0.(2)等差数列等差数列an中中,假设假设Sn=m,Sm=n(mn),那么那么Sm+n=-(m+n).(3)等差数列等差数列an中中,假设假设Sn=Sm(mn),那么那么Sm+n=0.(4)假设假设an与与bn均为等差数列均为等差数列,且前且前n项和分别为项和分别为Sn与与Sn,那么那么2121.mmmmaSbS6.等差数列的断定方法等差数列的断定方法(1)定义法定义法:an+1-an=d(常数常数)an是等差数列是等差数列.(2

6、)中项公式法中项公式法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列是等差数列.(3)通项公式法通项公式法:an=pn+q(p,q为常数为常数)an是等差数列是等差数列.(4)前前n项和公式法项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数为常数)an是等差数是等差数列列.考点陪练考点陪练1.设设an是等差数列是等差数列,假设假设a2=3,a7=13,那么数列那么数列an前前8项的项的和为和为()A.128 B.80C.64D.5611118:a1,d3,613,8 72,S864.2aadadd解析 由解得答案答案:C2.(2021山东烟台高三诊断山东烟台高三诊断)在等差数列在等差数列an

7、中中,假设前假设前5项和项和S5=20,那么那么a3等于等于()A.4B.-4C.2D.-2解析解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.a3=4.答案答案:A3.(2021辽宁大连高三一模辽宁大连高三一模)在等差数列在等差数列an中中,假设假设a4+a6+a8+a10+a12=120,那么那么a9- a11的值为的值为()A.14B.15C.16D.17134681012889111118:aaaaa120.5a120.a24.aaa8da1011223333da7da16.解析答案答案:C4.在数列在数列an中中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),那么那

8、么a1000等于等于()A.5B.-5C.1D.-1解析解析:解法一解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*)可得该数列可得该数列为为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,由此可得由此可得a1000=-1.解法二解法二:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(nN*),两式相两式相加可得加可得an+3=-an,an+6=an,a1000=a1666+4=a4=-a1=-1.答案答案:D *npqp q1365.apqN ,aaa,1,93734.9aa(9.4.)9ABCD已知数列对于任意 、有若则 pqp qn1n 1n 1n1n361,9:aaaaa

9、a,aa111354,999aa,aC.解析 由得即故数列是公差为 的等差数列故选答案答案:C类型一类型一等差数列的判别与证明等差数列的判别与证明解题预备解题预备:证明一个数列证明一个数列an为等差数列的根本方法有两种为等差数列的根本方法有两种:(1)利用等差数列的定义证明利用等差数列的定义证明,即证明即证明an+1-an=d(nN*);(2)利用等差中项证明利用等差中项证明,即证明即证明an+2+an=2an+1(nN*).留意留意:在选择方法时在选择方法时,要根据标题的特点要根据标题的特点,假设可以求出数列的假设可以求出数列的通项公式通项公式,那么可以利用定义法那么可以利用定义法,否那么否

10、那么,可以利用等差中项可以利用等差中项法法.【典例【典例1】知数列】知数列an的通项公式的通项公式an=pn2+qn(p、qR,且且p、q为常数为常数).(1)当当p和和q满足什么条件时满足什么条件时,数列数列an是等差数列是等差数列;(2)求证求证:对恣意实数对恣意实数p和和q,数列数列an+1-an是等差数列是等差数列.解解(1)an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要要使使an是等差数列是等差数列,那么那么2pn+p+q应是一个与应是一个与n无关的常数无关的常数,所以只需所以只需2p=0,即即p=0.故当故当p=0时时,数列数列an是等差数列是等

11、差数列. (2)证明证明:an+1-an=2pn+p+q,an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,而而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数为一个常数.an+1-an是等差数列是等差数列.类型二类型二等差数列的根本量运算等差数列的根本量运算解题预备解题预备:等差数列等差数列an中中,a1和和d是两个根本量是两个根本量,用它们可用它们可以表示数列中的任何一项以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前利用等差数列的通项公式与前n项和公式项和公式,列方程组解列方程组解a1和和d,是处理等差数列问题的常用是处理等差数列问题的常用方法方法;由由a1,d,n,an,Sn这五

12、个量中的三个量可求出其他两个量这五个量中的三个量可求出其他两个量,需需选用恰当的公式选用恰当的公式,利用方程组观念求解利用方程组观念求解.【典例【典例2】知等差数列】知等差数列an中中,a2=8,前前10项和项和S10=185.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式an;(2)假设从数列假设从数列an中依次取出第中依次取出第2,4,8,2n,项项,按原来的按原来的顺序排成一个新的数列顺序排成一个新的数列,试求新数列的前试求新数列的前n项和项和An. 11n210n1 1ad,a8,S1858,10 910185,25,3.a3n2.adadad解设数列的公差为 由得(2)An=a2+a4+

13、a8+a2n=(32+2)+(34+2)+(38+2)+(32n+2)=3(2+4+8+2n)+2n=3 +2n=32n+1+2n-6.反思感悟反思感悟先求出数列的通项公式先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新然后用通项公式表示出新数列中的各项数列中的各项,再求和再求和. 2(1 2 )1 2n类型三类型三等差数列的性质及运用等差数列的性质及运用解题预备解题预备:假设假设m+n=p+q(m,n,p,qN*),那么那么am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的是公差为构成的是公差为k2d的等差数列的等差数列,从中我们可以领会运用性质处理问题的方从中我们可以领会运用性

14、质处理问题的方便与简捷便与简捷,应留意运用应留意运用.【典例【典例3】在等差数列中】在等差数列中,Sn表示表示an的前的前n项和项和,(1)a3+a17=10,求求S19的值的值;(2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,求求项数项数n;(3)S4=1,S8=4,求求a17+a18+a19+a20的值的值. 191234nn 1n 2n 31n119312n 13n 24n 3171n1nn 1 S 2 aaaaaaaaaa() 19() 1910 1995.22aaaaaa4 aa280aa70.S2102n6.()2naaaaaa n解

15、而 (3)S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列成等差数列,又又S4=1,S8-S4=3.新的数列前新的数列前5项分别为项分别为1,3,5,7,9.S20-S16=a17+a18+a19+a20=9.类型四类型四等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题解题预备解题预备:求等差数列前求等差数列前n项和项和Sn的最值问题的最值问题,主要有以下方主要有以下方法法:二次函数法二次函数法:将将Sn看作关于看作关于n的二次函数的二次函数,运用配方法运用配方法,借助函数的单调性及数形结合借助函数的单调性及数形结合,使问题得解使问题得解;通项公式法通项公式法:求使求

16、使an0(或或an0)成立的最大成立的最大n值即可得值即可得Sn的最大的最大(或最小或最小)值值;不等式法不等式法:借助借助Sn最大时最大时,有有 解此不解此不等式组确定等式组确定n的范围的范围,进而确定进而确定n的值和对应的值和对应Sn的值的值(即即Sn的的最值最值).11,nnnnSSSS【典例【典例4】知数列】知数列an满足满足2an+1=an+an+2(nN*),它的前它的前n项和为项和为Sn,且且a3=10,S6=72.假设假设bn= an-30,求数列求数列bn的前的前n项和的最小值项和的最小值.分析分析先判别先判别an是等差数列是等差数列,求求an,再求再求bn,由由bn的通项研

17、的通项研讨数列讨数列bn的前的前n项和的最值项和的最值.12 解解2an+1=an+an+2,an是等差数列是等差数列,设设an的首项为的首项为a1,公差为公差为d,由由a3=10,S6=72,得得 11210,61572adad1na4n2,42.adnn*n15115ba302n31.,nN ,n15.b15,S12231 02931.2(1)31 02215( 292 1531)15 ( 6030)22,b29,d25.22,Snnn 则解得 前项为负值最小 可知 反思感悟反思感悟除上面方法外除上面方法外,还可将还可将an的前的前n项和的最值问题项和的最值问题看作看作Sn关于关于n的二次

18、函数问题的二次函数问题,利用二次函数的图象或配方利用二次函数的图象或配方法求解法求解.错源一错源一忽略数列项数忽略数列项数【典例【典例1】知数列】知数列an的前的前n项和项和Sn=10n-n2(nN+),求数列求数列|an|的前的前n项和项和Tn.错解错解当当n=1时时,a1=S1=9;当当n2时时,an=Sn-Sn-1=11-2n.由于由于n=1时时,a1=9也满足也满足an=11-2n,因此因此an=11-2n.由由11-2n0,得得11.2n 即从第即从第6项开场数列各项为负项开场数列各项为负,那么那么Tn=|a1|+|a2|+|an|=-(a1+a2+an)+2(a1+a2+a5)=-

19、Sn+2S5=n2-10n+2(105-52)=n2-10n+50.分析分析错解中忽视了错解中忽视了“项数项数,默许了默许了n5,现实上现实上,n完全可以完全可以小于或等于小于或等于5.显然显然,当当n5时时,结论就是错的结论就是错的. 正解正解对对n进展分类进展分类:(1)由上述可知由上述可知an=11-2n.当当n5时时,同上述错解同上述错解,得得Tn=n2-10n+50;(2)当当n5时时,Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=10n-n2. n2210(5),1050 (1 2T5).nnnnnn综合得错源二错源二忽略为零的项忽略为零的项【典例【典例2】在等差数列】在等

20、差数列an中中,知知a1=10,前前n项和为项和为Sn,且且S10=S15,求求n取何值时取何值时,Sn有最大值有最大值,并求出最大值并求出最大值.1011151n110 915 1415.22d,SS ,10aa10,5.daan1 d10n165.6dad错解 设公差为 由得将代入 得那么nn121a0,10n1,n13.n12,S,50612 1112 11512 1065.226S12ad由即得因此当时有最大值 其值为 分析分析这是一个首项为正的递减的等差数列这是一个首项为正的递减的等差数列,零是这个数列的零是这个数列的项吗项吗?由于由于a1=10,d= ,得得10+(13-1) 也也

21、就是说零是这个数列的第就是说零是这个数列的第13项项,于是答案就出错了于是答案就出错了.5650,6 正解正解由于由于a1=100,d= 即数列即数列an是一个首项为正是一个首项为正的递减的等差数列的递减的等差数列,又由于又由于a13=0,由上述解法可知由上述解法可知,该数列该数列的前的前12或或13项的和最大项的和最大,其值为其值为65.50,6错源三错源三对数列的有关概念了解有误对数列的有关概念了解有误【典例【典例3】知数列】知数列an是递增数列是递增数列,且对于恣意的且对于恣意的nN+,an=n2+n恒成立恒成立,那么实数那么实数的取值范围是的取值范围是_. 错解错解由于由于an=n2+n是关于是关于n的二次函数的二次函数,且且n1,所以所以 1,解解得得-2.分析分析数列是以正整数数列是以正整数N+(或它的有限子集或它的有限子集1,2,)为定义为定义域的函数域的函数,因此它的图象只是一些孤立的点因此它的图象只是一些孤立的点,满足条件的此满足条件的此数列的点分布如图数列的点分布如图.2 正解正解解法一解法一:由图分析得由图分析得, ,所以所以-3.解法二解法二:由由an是递增数列是递增数列,得得anan+1对对nN+恒成立恒成立,即即n2+n-(2n+1).而而-(2n+1)-3,所以所以-3.答案答案