初中数学思想的例题浅谈

1、淮南市2009年数学学科参评论文初中数学思想的例题浅谈作者宫明星单位淮南十一中电摘要】教学中教会学生建立数学思想，掌握思想方法，可以使学生在解题时，寻求出已知和未知的联系，提 高学生分析问题的能力，从而使学习的思维品质和能力有所提高。数学思想方法的渗透、展现是借助于数学知识、 技能这些载体的，离开了具体内容，是无法向学生渗透、传授数学思想方法的。f关键词】数学思想；分析能力；指导作用数学课的教学，是使学生获得基础知识和技能，从而形成解决问题的能力的过程。而在此过程 中，数学思想的培养，直接影响了学生后续学习的质量和水准。初中数学的教学就是要使学生获得 知识技能和一些数

2、学学习的基木思想，从而为接受更高教育的学习做好准木备。初中学生的理解和 接受能力是比较冇限的，所以教学屮所涉及到的数学思想也是普遍和易懂的。在数学思想的培养过 程中，儿乎没有哪位数学教师单纯为了教授数学思想而刻意单独作文字阐述，而基本上是在一些特 定的情境或者以例题、习题为载体，通过解决问题或者解答题口逐步渗透数学思想。从而通过较长 一段时间的该方式的教学，使学生能够形成以一定的思想为指导解决问题的方法。教学中教会学生 建立数学思想，掌握思想方法，可以使学生在解题时，寻求出已知和未知的联系，提高学生分析问 题的能力，从而使学习的思维品质和能力冇所捉高。或许直到初三毕业，好多学生也不能叙述到底

3、有哪些数学思想，也说不出某某数学思想到底是什么含义，但是他们能够对很多例题或者习题的内 容加以分析，进而利用长期锻炼出来的数学思想来解决，这就是培养数学思想最朴素的口的。下面，笔者对初中所涉及的几种基本数学思想举例说明。符号思想2 ?例 2、已知：2 + = 22 x ,3+r32xr4 + = 42 x 15155x24例1、根据下表屮的规律，从左到右的空格屮应依次填写的数字是（） 000110010111001101a. 100, 011 b. 011, 100 c 011, 101 d. 101, 110解析:从表格中图形与相应代表的数之间关系可以发现代表0、1的图形，选b.10 + -

4、 = 102x-符合前面式子的规律，则q + b =.解析：观察已知的四个等式我们发现：等式的左边是一个整数与分数的和，且整数与分数的分子相 同，分数的分母等于整数的平方减1,等式的右边是左边的整数的平方与左边的分数的积，从上述规律可以得到式子 10 + - = 102 x-中"10, 6/ = 102 -1 = 99,所以d + b = 109.aa评注：这种题形式多样，学生感到熟悉又易于理解，具冇较强的探索性，求解过程反映了课程 标准所倡导的数学活动方式观察、实验、猜测、推理等因此既耍重视基础知识的学习，又要加强此种题型的训练和研究，切实捉高分析问题、解决问题的能力.二整体思想整

5、体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式了或图形看成一个整体，把握已知和所求z间 的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法利用整体思想往往能够避免局部思考带來的困惑.z r2002x+2003y二2001 例3解方社组2003x+2002y二2004分析：如果选用代入法解答，比如由得,2001- 2003y2002，再代入，得2003 x2001- 2003y 、(2002')+2002尸2004解答起来十分麻烦.如果选用加减法,比如，x2003-x2002，可以消去x,得2003x2003y-2002x2002y=2001x2003- 2004x2002 形式也很复杂，不

6、易求解.4005x + 4005y = 4005-x + y = - 3x-y二3注意到两个方程的系数止好对调这一特征，先将两方程相加，+，得化简，得x+y二1再将两方程相减，-，得即由、组成方程组，得解这个方程组得x = 2 y 二 _例4如图，矩形abcd被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和为86cm, 一条对角线长是13cm,那么矩形的面积是多少？分析 本题要求矩形的而积，根据而积公式s=ab bc,只需求岀ab bc即可。解根据题意，右ab+bc+cd+da=86-2 (ac+bd)=86-4x13=34.ab+bc=17.两边平方，得ab2 +2ab bc+bc2

7、 =289,又 ab2+bc2=ac 2=169,两式相减,得2ab bc=120,a ab bc=60 (cm2).整体思想在数学解题小的应用，不仅仅局限于上述的类型，述涉及到其他的齐种题型，只有通 过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整休思想的本质和规律，从而使问题迎刃而解。三数形结合思想数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过 形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽彖性加深对图形位置 关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化。例5已知正比例函数y = kx的图象与反比例函数y二上兰(r为常数，rho )

8、的图象有一个交点 的横坐标是2.求两个函数图象的交点坐标；若点y,), b(兀2,旳)是反比例函数图象上的两点，k%)<,试l儉%, ”的大小.5_k分析与解答：(1)由由交点横坐标的含义可得方程组5_k消去字母y,得2k=,解得2k=i.所以正比例函数的表达式为y = x,反比例函数的表达式为y =-.要求两个函数图象的交 点坐标，只须在得出的函数解析式基础上画出图象(反比例函数y =-的图象分别在第一、三象限 内的双曲线，正比例函数的图象是经过原点的一条直线)由题知交点的横坐标是2即可求出 纵坐标也是2即为(2, 2),由图象的关于原点成中心对称可得另一交点为(-2,-2).所以两函

9、数 图象交点的坐标为(2, 2), (-2,-2).(2)利用上问中所画图形得反比例函数)y纟的图象的y的值随兀值的增大而减小，所以当 x_44%! << 0 时，升 > 儿当 0 v 西 v 时，x > 旳当西 < 0 v 时，因为)i = 一 < 0 , y2 = 一0 ,xx2所以x <力借助“形”的儿何直观來阐明“数” z间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、不 等式联系起来.四化归思想所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件和关系, 采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进

10、行解答。例6如图，“冋”字形的道路宽为1米，整个“冋”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点 a沿着道路小央走到终点b,他共走了.思路和解答假设拖把的宽度是1米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推，那人走遍小路相当于把 整块场地拖完了，而拖1 nf的场地和当于那人向前走了 1米，整块场地面积是7x8=56 (m2),所 以那人从a走到b共走了 56米，这样我们就把求线段长度问题化归成求面积问题了。下面是一个化几何问题为代数问题的例题例7如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设屮间最小 一个止方形边长为1,则这个矩形色块图的面积为.思路和解答设次小正方形边长为x,则

11、其余正方形的边长依次为l+x,2+x,3+x,根据题意得:(2+x+3+x) (3+x+x)-【(3+x) 2 + (2+x) 2 + (1+x) 2 +2x2 =1,解得x=4.所以矩形色块图的面积为13x11=143注：如杲对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展, 这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求出次小正方形的边长，进而求得解。这里 乂包含了整体思想、方程思想.五换元思想例 8 分解因式(x-3x+2) (x-3x-4) -72分析：注意题目的形式特征，把某一部分(比如x2-3x+2)看作一个整体，运用整体换元，把 原方程化为形如疋

12、+px+q的二次三项式，进一步用| 字相乘法，最后注意分解要彻底。设 x2-3x+2=t 则(x-3x+2) (x2-3x-4) -72=t (t-6) -72=t2-6t-72二(t+6) (t-12)二(x-3x+2+6) (x?-3x+2-12)=(x2-3x+8) (x2-3x10)二(x2-3x+8) (x-5) (x+2).如果把(xsx+2)与(x2-3x-4)相乘，将得到一个四次多项式，这吋再分解就怵 1难了。例 9解方程 3x-6x-27x2 -2x + 4 +4二0分析：如果先移项，两边平方，方程变形为一个四次方程，题目就难解了注意到厶彳_2兀+ 4 , 3 (x2-2x)

13、,设-2兀+ 4为y,原方程变形为3y2-2y-8=0,再从屮解得y回代得x。六分类思想分类思想是根据所研究的对象相同点和不同点区分不同类型的数学思想方法.例10甲、乙两人分别从相距30km的a、b两地同时相向而行,经过3h后相距3km,再经过 2h,甲到b地所剩的路程是乙到a地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。解：(1)当3h后甲、乙两人未相遇吋，设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h,则j3x + 3y = 30 3 30-5x = 2(30-5y)解得甲的速度为4km/h,乙的速度为5km/ho(2)当3h后甲、乙两人已相遇时，设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h,则3兀+ 3y = 30 + 330-5x = 2(30-5y)16t17t甲的速度为16/3km/h,乙的速度为17/3km/ho答：甲的速度为4km/h,乙的速度为5km/h或甲的速度为16/3km/h,乙的速度为17/3km/ho这是一个比较简单的分类讨论的题目，在分类中做到细心缜密，考虑周全，才能够不遗漏两外 一种情况。以上是笔者简单列举初中数学所涉儿个基木思想，教学中积极引导学生思考问题的方法，尽 量能够讣学生在多次的训练中找到相同的思想，事实上，这也是一种数学学习的思想，