初中数学分类讨论教学研究

1、初中数学分类讨论教学研究南汇区澧溪中学张炜内容提要：初中数学中的分类讨论问题是近年来中考的热点内容之一。它是教学的难点，怎样在教学中实施分类 讨论问题的教学？这是许多教师都在研究的课题。本文从抓住分类讨论的动因与讨论的方法入手，讲述了 怎样在初中数学教学中实施分类讨论问题的教学。冇关初中数学中分类讨论的动因木文归纳了以下几个方 面：由于问题涉及到分类讨论思想的冇关概念而需要对其进行分类讨论；由于问题的题设和结论冇多种可 能情况而需要对其进行分类讨论；由丁问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需耍対其进行分 类讨论；由于问题中儿何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。知道了分类讨论的动因，可

2、以得岀分类 讨论的方法。其中由于问题涉及到分类讨论思想的概念而需要对其进行分类讨论是戢重要的分类讨论思想。在数学屮，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答, 就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种 解题方法叫做分类讨论法。它是i种比较重要的解题方法，也是近年来小考命题的热点内容 之一。要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全 面考查学牛的数学能力乂能考查学牛的思维能力。分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是 逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很人 帮助，

3、它既有利于培养学生的创新粕神与探索粕神，乂有利于培养学纶严谨、求实的科学态 度。然而，初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，学生碰到此 类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题 时得分率偏低，原因人多数是没有掌握好初屮数学屮的分类讨论思想。那么，怎样才能使学牛掌握好初中数学中的分类讨论思想呢？明确分类讨论的动因与讨论的方法，分类吋耍条理分明，做到分类讨论既不重复也无 遗漏。这是解答初屮数学中分类讨论问题的基木方法。在解题时，要抓住分类讨论的动因， 明确分类讨论的方法。运用分类讨论方法解题的关键就是思辨清楚讨论的动因与讨论的方 法，就是

4、为什么耍讨论？怎样讨论？思路清了，解题的框架确定了，解题就严密完整、叙述 就条理分明。在初小数学屮，有关涉及到分类讨论思想的问题很多，题目也比较繁杂。这类问题有 没有一种共性？解此类题目有没有一种切实可行的方法？实际上，初屮数学中涉及到分类讨 论的问题大多是以卜四种情形的分类讨论，掌握好以下四种情形的分类讨论，学牛就能知道 分类讨论问题并不怎么神秘，当碰到问题时基本上能够抓住分类讨论的动因从容应答了。（说 hj：本文为叔述方便，把一些分情况讨论的问题也作为分类讨论问题。）一、由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。在教学中，要让学生对涉及到分类讨论思想的概念有正确的认知、理

5、解和牢固的掌握。首先，教师应对初中数学中的概念冇全面、系统、完整的认识，尤其是涉及到分类讨 论思想的概念。在初中数学中的一些概念中，有许多概念涉及到分类讨论思想，作为一名初 屮数学教师更应对这些概念有正确、深入、透彻的理解，在讲授这些概念时要准确、科学, 不能含糊不清或图一时的省力而随意篡改这些概念。曾听说过这样一个事例：某教师在讲授绝对值这一概念吋，图一吋的省力，教学生求 一个数的绝对值只要把绝对值里面的负号去掉就可以了，如：131=3； 1-0.51=0.5；o结果出现了象丨a i 这样的错解。究其原因，该教师没讲清绝对值这一概念，让学生对这一 概念的有了一个错谋的认识：求绝对值只要去掉绝

6、对值里面的负号。把学生引入歧途，害人 不浅。实际上，绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的儿何 意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。学牛自然而然 的会得出绝对值的三种分类讨论情况，也就是：r a （a>0）lai = j 0 （ a = 0 ）i -a （ a<0 ）该教师讲授的绝对值的概念非但错谋，而且也抹杀了学主的创新精神和探索精神。所 以，教师对概念的讲解必须准确、科学，特别是涉及到有关分类讨论思想的概念，要让学生 对这样的概念有正确的认识、理解。其次，使学生牢固掌握初中数学中有关涉及到分类讨论思想的概念。耍达到这一目的

7、 可以采用讨论式归纳出概念、教师加以归纳梢炼和增加变式训练的教学方法。例如，初屮数学中两圆的五种位迸关系是一个分类讨论思想的概念，在讲授两圆位置 关系这一课时，教师可让于生准备人小不等的两个圆，让学生自己动手操作、归纳出两圆（半 径不等吋）有哪儿种位置关系，教师再加以归纳总结，得出两圆（半径不等吋）的五种位置关系: 相离（外离、内含）、和切（外切、内切）、相交。这样既培养了学生的探索精神，又有助于 学生牢固掌握两圆的五种位置关系。两圆的五种位置关系屮归纳出的两圆的半径门、2与两 圆的圆心距dz间的关系，比较繁琐，学生不容易记忆，为了帮助学生牢固掌握，可以精炼 成这样一个图形：内含相交外离0i

8、rrr2 ir 1+1*2d= i rrr2 i 两圆内切；d= ri+r2 *-两圆外切。这样学牛就能形象、直观、牛动和牢固的掌握这一知识点，在碰到问题吋也就能迎刃 而解了。例如：如果oor的半径分别为4、5,那么下列傲述中，正确的是（）(a)(b)(c)(d)当oq2=1时,当oq2=5时,当oq2>6时,当 0|。2>1 吋,ooi与002内切；ooi与（do?有两个公共点；（do】与（do?必冇公共点；0oj与oo2至少有两条公切线。（上海市2001年中考18题）运川以上捉到的记忆两闘位置关系的方法就能迅速、准确的判断出四个选项中两闘的 位置关系：（a）内切；（b）相交；（

9、c）相交、外切或外离；（d）相交、外切或外离。这样问 题也就迎刃而解，得正确答案:（abd） o在讲授一元二次方程ax24-bx+c=0（a0）根的判别式时，我们都知道要适当增加一些变 式训练，及时反馈教学信息，以帮助学生牢固掌握一元二次方程根的判别式的三种分类情况:>0元二次方程有两个不相等的实数根;=0-元二次方程有两个相等的实数根；v（）-f元二次方程没有实数根。学生只冇对初中数学中涉及到分类讨论思想的概念冇了正确的认知、理解和牢固的掌 握，才能在解决有关问题吋有分类讨论的意识，有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密 性，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。二、由于问题的题设和结

10、论冇多种口j能悄况而需要对其进行分类讨论。例如：求函数y=(k-l)x2+kx+l与x轴的交点坐标。(外省市中考题)本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没冇说明。冇几种町能情况呢？ 两种：一次两数或二次两数。所以要分为二类：(1)当此两数为一次函数时，k=l,求得与x 轴交点为(1, 0)；当此函数为二次函数时，khl, a=(k-2)2 , ®a>(),即kh2时， 有两个交点(1, 0)、(l/(l-k) , 0)；a=0,即k=2时,有一个交点(1, 0) ； (3)a<0,即 (k-2)2<0,不存在k的取值。综合以上分类解题过程，得出本题的正确答

11、案为：k=l吋，lx 轴交点为(1, 0) ； khl且kh2时，与x轴交点为(1、0)、(l/(lk) , 0) ； k=2时，与x 轴交点为(1, 0) o又如：如图，如果四边形cdef旋转后能与正方形abcd重合，那么图形所在的平面上可以 作为旋转中心的点共有个。(上海市1999年中考填空题笫19题)bcfade本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边cd±,可以 这样分类：(1)绕点c旋转，有一解；(2)绕点d旋转，有一解；(3)绕cd上异于c、d 的点旋转，只能是cd的屮点。这样就得出了木题的正确答案：有3个。由以上两例，我们知道解此类问题的关键是审

12、清题意。审题是解题的重要一环，在教 学小应强调审题的重要性。教师在讲解例题时，应作出认真审题的示范并要求学生养成认真 审题的习惯。学牛解此类问题的错误往住是山于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结论 中的不定因素而急于解题所造成。只冇审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题 屮的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准 致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解。三、由于问题小含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。 例如：已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x (kho)(1) k满足什么条件时，这两个函数在同一宜角坐

13、标平面屮的图象有两个交点？(2) 设中的两个交点为m、n,试比较zmon与90°的大小。(外省市中考题)本题第(1)小题求得kvl6且kho；在解第(2)小题时，由于0<k<!6或kvo这两种取值 所得反比例函数的图像有两种情况，因此要根据参变最k的不同取值进行分类讨论。0<k<16 时，两个交点在第一象限，zmon<90° : kvo时，两个交点在二、四彖限，zmon>90°。数学本身的产生与发展充满了朴素的辩证唯物主义思想，揭示了唯物辩证法的许多基 木规律，如量变到质变等。木类分类讨论问题就是揭示了唯物辩证法中的量变到质变这

14、一基 木规律。在木类问题的教学中，要做到使学生能分析清楚问题中参变量在整个量变过程中会 造成哪些质的变化，即参变最的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，把它们一一罗列出 來，全面、系统的分类，并能正确求解。这是建立在有良好的知识结构和灵活、开阔的思维 基础上的，教学中耍注意培养学生一丝不苟的学习粹神、严谨的科学态度和辩证唯物主义的 观点，充分发挥学生的聪明才智。四、由于问题中儿何图形的不确定而盂要对其进行分类讨论。例如：已知一次函数y=- v3x/3+3 v3与x轴、y轴交点分别为a、b,试在x轴上找一点p,使apab为等腰三角形。(崇明县2002年中考模拟题)木题屮apab由于p点位置不确定

15、而没有确定，而且等腰三角形屮哪两条是腰也没有 确定。apab是等腰三角形有儿种可能呢？我们可以按腰的可能情况加以分类：(1)pa=pb； pa=ab；pb=abo先可以求出b点坐标(0, 3j3) , a点坐标(9, 0),设p点坐标为 (x, 0),利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出p点坐标有四解：(-9, 0)、(3, 0)、(9+6 v3, 0)、(923, 0)。(不合条件的答案已舍去)又如半径分别为10、17的两圆相交，公共弦长为16,求圆心距。(外省市中考题)木题极易漏解，原因是没冇想到本题要分类讨论。实际上本题的图形是不确定的，冇 两种可能：(1)两个圆心分别在

16、公共弦的两侧；(2)两个圆心在公共弦的同侧。分类画出图 形，利用勾股定理，可分别解得圆心距为21或9。正确解答此类问题耍分析清楚符合条件的图形的各种nj能位置，紧扣条件，分类出各种 符合条件的图形。画图能力和空间想象能力也是数学中的重要能力，是正确解答此类分类讨 论问题所需要的能力，教学中应注意对学生画图能力和空间想彖能力的培养，让学生多操作、 多思考，提高学生的数学能力。初中数学中的分类讨论问题主要是以上四种动因的分类讨论。抓住了分类讨论的动因, 把握住了分类的标准，就能做到分类吋条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗 漏，保证解题的准确率。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训 练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优 良的思维站质对学生的未来必将产牛深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方 法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程屮努力体现。根据初川学牛的特 点，教学屮要遵照循