2020版高中数学第三章概率331几何概型2课件新人教A版必修3

1、3.3.1 几何概型几何概型 1.理解几何概型的定义及特点(重点) 课标 2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地解读 把实际问题转化为几何概型问题(难点) 3.与长度、角度有关的几何概型问题(易混点) 知识 几何概型 【问题导思】 我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置 1本试验的结果有多少个？ 【提示】 无数个 2每个试验结果出现的可能性均等吗？ 【提示】 均等 3它与古典概型有何区别？ 【提示】 古典概型中的结果是有限的， 而本试验的结果是无限的 1 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积 体积( 或 )成 比例 ，则称这样的概率

2、模型为几何概率模型，简称为几何概型 2几何概型的特点：(1) 无限性 ；(2)等可能性 3几何概型的计算公式为： 构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A) 试验全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 类型1 与长度有关的几何概型 例1 公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过， 乘客到达汽车 站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min的概率 【思路探究】 (1)本题满足几何概型的条件吗？(2)若用几何概型求概率，事件 A应是什么？试验所有结果呢？ 解 设A“ 候车时间不超过3 min” x表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x， 假定乘客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为

3、t， 据题意， 乘客必然在(t5，t内来到车站，故x|t5 xt，欲使乘客候车时间不超过3 min，必有t3 xt，所以Ax|t3 xt， A的度量3所以P(A)50.6. 的度量答：乘客候车时间不超过3 min的概率为0.6. 规律方法 1本题时间是连续型的、无限的，而乘客到站的任一时刻是等可能性的，故满足几何概型的条件 2求解与长度有关的几何概型时，首先找到总的长度区域，再找到A事件发生对应的区域长度，整个过程中，确定边界点是关键，但边界点是否能取到不影响事件A的概率 变式训练 把一根木棍随机地折断，计算较短部分长度不到较长部分长度一半的概率 解 设事件A为“ 较短部分长度不到较长部分长度

4、一半” 如图所示， 2折断位置在线段AC或线段BD处满足题意，所以P(A)3. 类型2 与面积有关的几何概型 例2 如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板， 上面画了小、中、 大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm.某人站在3 m远处向此板投镖， 设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问： (1)投中大圆内的概率是多少？ (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ 【思路探究】 分析题目特点几何概型与面积有关计算得结论 解 记事件A飞镖投中大圆内，事件B投中小圆与中圆形成的圆环，S36(cm )，S型公式得： 2中圆正方形16256(cm )，S2小圆22

5、大圆62416(cm )，S24(cm )，由几何概2S大圆36 9(1) P(A)25664. S正方形S中圆S小圆164 3(2) P(B)25664. S正方形9所以，投中大圆的概率是64，投中小圆与中圆形成的圆3环的概率是64. 规律方法 1 投中正方形木板上任一点都是一个基本事件且有均等机会，投中某一部分的概率只与这一部分的面积有关，因此可以将事件的概率转化为面积的比值 2解决此类问题的关键： (1)确认是不是与面积有关的几何概型问题 (2)利用图形的几何特征计算出随机事件对应的图形面积 变式训练 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达甲、乙两船停靠泊位的时间分别

6、为4 h与2 h， 求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率 解 以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间等价于2 xy4， 在如图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件“ 有一艘船停靠泊位时需等待一段时间” 的可能结果由阴影部分表示 由几何概型公式得： 11222422222067P. 224288267则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是288. 类型3 与体积有关的几何概型 例3 如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为a，1AEa且面EFGH平行于底面，在正方体内随机取一点P，3求： a(1

7、)点P与面ABCD的距离大于 的概率P1； 3a(2)点P与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于3的概率P2. 【思路探究】 (1)本题是几何概型问题吗？(2)可以转化为什么区域度量来解决？ 解 (1)由题意知， 正方体体积Va， 而“ 点P与面ABCDa的距离大于3” 可转化为“ 所取点P在如图所示的平面EFGH上a方” ， 其中AEBFCGDH3， 而长方体EFGHA1B1C1D1223a的体积V1aa aa ，点P与面ABCD的距离大于 的33323aV132概率为P13. Va33(2)由题意并参照(1)中的过程，知其概率为 1313a 3a 3a1P2. 3a33规律方法 1解

8、决此类题的关键是将“ 距离” 转化为“ 体积” 并准确计算 2 与体积有关的几何概型的求解步骤为：(1)确定几何度量为体积(2)准确计算几何体积(3)求出概率 变式训练 在1 L高产小麦种子里混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 设事件A：“ 取出的10 mL麦种含有带麦锈病的种A10子” ，A10 (mL)，1 000(mL)，P(A)1 0000.01. 易错易误辨析 混淆长度与角度致误 典例 在等腰直角三角形ABC中， 在斜边AB上任取一点M，求AM AC的概率 【错解】 在AB上截取ACAC， 18045则ACC67.5， 2要使AM AC

9、，只需ACM ACC67.5， 67.5 3P(AM AC)904. 【错因分析】 本题的基本事件是“ 在AB上取一点M，使AM AC” ，它与AM的长度有关，错解中认为与角度有关 【防范措施】 长度问题与角度问题叙述貌似相同，但实质不同，主要表现为随机事件的形成过程不同，导致基本事件的性质不同，遇到此类问题要细细体味，以免出错 【正解】 在AB上截取ACAC. AC2P(AM AC)P(AM AC)AB2. 课堂小结 1古典概型与几何概型的异同 (1)相同点： 基本事件都是等可能发生的； 求概率的公式都是比例型的，属于比例解法 (2)不同点： 古典概型中，基本事件数有限，几何概型中基本事件数

10、无限； 判断是否为几何概型，尤其是判断等可能性比古典概型更难 2几何概型的计算步骤： (1)判断是否为几何概型，尤其是判断等可能性； (2)计算基本事件空间与事件 A所含的基本事件对应 的区域的几何度量； (3)利用概率公式计算. 当堂检测 1下面关于几何概型的说法错误的是( ) A几何概型也是古典概型的一种 B几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关 C几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个 D几何概型中每个结果的发生具有等可能性 【解析】 几何概型基本事件的个数是无限的，它不是古典概型的一种，A错误，B、C、D均正确 【答案】 A 12在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形2ABCD，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为( ) 1111A. B. C. D. 2442 1【解析】 如图，半圆的面积为 ，正方形的面积为 ，24S正方形1所求概率为P2，故选D. S半圆【答案】 D 3在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为 ( ) A0.008 C0.002 B0