初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法

1、中学数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判定它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式， 而必需详细问题详细分析；这里常常要用到一些整除性质；一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、 难度大是这类问题的特点；但其解法仍旧是有章可循的；一、巧用求根公式法例 1、试确定m为何值时，方程m2-1x 2-63m-1x72 0 有两个不相等的正整数根；22解：第一， m-1 0，就 m± 1又 =36m-3 0，所以 m 3用求根公式可得x1612, x2m1m1 x 1， x2 是正整数，m-1=1 ， 2， 3， 6；且 m+1=

2、1， 2， 3， 4， 6， 12；解得 m=2这时 x1=6， x2=4；评析： 一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较简单求解问题，这是最自然、最常规的解法；二、巧用因式分解法例 2、已知方程a2x 2 - 3a2- 8a x + 2a 2-13a +15 = 0 （其中 a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值； .分析：观看此题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax2a+3=0 和 ax a + 5 =0 ，然后利用整除的学问，求出非负整数a 的值；解：原方程可化为：a2x 2 3a28ax 2a 3a 5 0方程左边分

3、解因式, 得ax 2a 3ax a 5 03x12a5x21a 原方程至少有一个整数根， a 的值为 3，或 5，或 1；例 3、当 k 为何整数时，关于x 的二次方程x2 3kx+2k2 6=0 两根都为整数；分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的学问，求出整数k的值 .解：由 x2 3kx+2k2 6=0 ，得 x-2kx-k = 6 x、k 为整数， 原方程化为x2k2或xk3x2k3或xk2x2k1或xk6x2k6xk1 由于 x 2k 与 x k 同号，故得八个不定方程组，解得k = 1，1， 5，5；评析： 利用因式分解可以把原方程进行完全分解或部分分解，转

4、化成几个不定方程，然后利用整数的性质可以来解决；三、巧用判别式来解决例 4、设 m是不为零的整数，关于x 的二次方程mx2-m-1x 1 0 有有理根，试求m的值解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式肯定是完全平方数22令=m-1-4m n ，其中 n 是非负整数，22于是可得m -6m+1=n ， m-32-n 2=8，即 m-3 nm-3-n 8由于 m-3 nm-3-n ，并且 m-3 n+m-3-n=2m-3是偶数， m-3 n 与 m-3-n 同奇偶，m3n4或m3n2m3n4m3n2m 6m或n 1n0（舍去）1所以当 m6 时，这是方程的两根为1 和 1 ；23评析

5、：一个整系数的一元二次方程假如有整数根或有理根，那么它的判别式肯定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决四、巧用求根公式与判别式的结合来解决2例 5、试求全部这样的正整数a，使得方程ax -22a-1x+4a-3=0至少有一个整数解；2解：第一要使=-22a-1-4a4a-3=32a+4是一个完全平方数2 32a+4=2 8a+1 ， 8a+1 必需是完全平方数； 8a+1 是奇数，设 8a+1=2k-12 ,k 是整数就 a2 a>0 ， k>1 或 k<0 ，此时 =4k-2kk1 2 方 程 ax2-22a-1x+4a-3=0的根是x22a1

6、4k2a2 2x122kk2 ， x2 2k3k1222k24如 x 1 是整数，就设b ， b 是整数，就kkb2 k只能等于± 4，± 2，±1 但 k=1 与 k>1 或 k<0 不符，舍去 k=±4，± 2， -1 对应的 a=6,10,1,3,1；22 k3c64如 x2 是整数，就设c ， c 是整数，就k1k1c2c2 k- 1=±4，± 2，±1 但 k-1=-1与 k>1 或 k<0 不符，舍去 k=5,3,2,-3,-1 对应的 a=10,3,1,6,1；2 当 a=1,

7、3,6,10时，方程ax -22a-1x+4a-3=0至少有一个整数解；例 6、关于 x 的方程 axa 的值2+2a-3x+a-2=0至少有一个整数解，且a 是整数，求解：当 a=0 时，原方程变成-6x-2=0 ，无整数解当 a 0 时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，2说明判别式 4a-3-4aa-2 49-4a为完全平方数，从而 9-4a 是完全平方数2令 9-4a=n ，就 n 是正奇数，且n 3 （否就 a = 0 ）a9n 24又由求根公式可得x42a32n2 a413n a143n9nx113nx213n要使 x 1 为整数，而n 为正奇数，只能n=1，从而 a=2要使

8、 x 2 为整数，即n-3 4， n 可取 1， 5， 7，从而 a=2， -4 ， -10 综上所述， a 的值为 2， -4 ， -10 评析：此题是前面两种方法的“综合”既要用判别式是平方数，又要用直接求根有时候，往往是几种方法一同使用五、巧用韦达定理法2例 7、已知关于x 的方程 x a-6xa=0 的两根都是整数，求a 的值解：设两个根为x1，x2，不妨设x 1 x2，由韦达定理得x1x26a x1 x2a从上面两式中消去a 得： x 1x 2+x1+x 2 6，即 x 1 1x 2+1=7 ，x117或x211x111x217可解得x16x12或x20x28a = x 1x 2 =

9、 0或 162例 8、求全部有理数r ，使得方程rx +r+1xr-1=0的全部根是整数；分析：第一对r=0 和 r 0 进行争论当r=0 时，是关于x 的一次方程；当r 0时，是关于x 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效可用韦达定理，先把这个有理数r 消去解：当 r=0 时，原方程为x-1=0 ，就可得x=1当 r 0 时，原方程是关于x 的一元二次方程，1x1x21设它的两个整数根为x1， x2，且 x 1 x 2，就r 1x1x21r消去 r 得x1x 2-x 1-x 2 2， x1-1x2-1=3 x11x213x111或1x213

10、可解得x14x10或x22x21 r11x1 x21 或17综上所述，当r1 或1或0 时，方程的所以根都是整数；7评析： 利用韦达定理，结合整数的性质，确定因数，求得参数的值；或者把参数消去，得到的是关于x 1， x 2 的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是简单入手的六、巧用主元分析法2例 9、已知方程x m 1x 2m 10 的两个根都是整数，求m的整数值；分析：此题待定字母m是整数，且指数为一次，可把原方程整理成关于m的一次方程；通过对方程解的整数分析即可获得结论；2解：原方程可化为关于m的一次方程： x 2m x x-1 0m由于 x， m都是整数，所以x 21 或 1即 x 1

11、或x 3 代入求得相应的m=1 或 5故当 m=1 或 m=5 时，方程的两根均为整数；x11x2评析： 从解题过程中知，当关于x 的一元二次方程中，假如参数是一次的，可以先对这个参 数来求解； 对所求的解假如能分别整数部分，就先分别整数部分，再利用整数的性质解决；或者借助不等式（组）和整数的性质也可以求解；七、巧用方程之间关系法例 10、已知方程x 2bxc0与x2cxb0 各有两个整数根x ， x和 x , x , 且1212x1 x2 0 ， x1x2 0 ；1求证： x1 0,x 2 0,x | 1 0,x | 2 0；2 求证： b-1 c b 1；3 求 b， c 的全部可能的值解

12、： 1由 x 1x 2 0 知， x 1 与 x 2 同号如 x 1 0，就 x 2 0，这时bx1x20 ， b 0；与 bx1 x20 冲突，x10， x20 ；x1同理可证/ 0，x / 022由1 知， x 1 0， x2 0，所以 x1-1 ， x 2 -1 由韦达定理可得bc1x1 x2x1x21 x11 x210 c b-1 同理bc1x/ x/x /x/1x /1 x /10 c b+1，121212 b-1 c b+13由2 可知， b 与 c 的关系有如下三种情形： 当 c = b 1 时，由韦达定理知x1 x2 x1x2 1x11 x212x11x211x112,2x211解得x1x25, x1x26 ，b = 5， c = 6 当 c = b时，由韦达定理知x1 x2 x1x2 x11 x211x1x22 ，从而 b = 4 ， c = 4 当 c = b1 时，由韦达定理知x /x/ x/ x /1 x/1 x/12121212综上所述，共有三组解：b ， c=5 ， 6 ，4 ，