初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介

1、新课标人教版中学数学八年级上册第十五章整式的乘除与因式分解简介人教版 义务训练课程标准试验教科书.数学 第十五章是 “整式的乘除与因式分解”；本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解；本章内容建立在已经学习了的 有理数运算、列简洁的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等学问的基础上；整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步学问，这些学问是以后学习分式和根式运算、函数等学问的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时， 这些学问也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不行缺少的数学基础学问.本章共支配了4 个小节，教学时间约需13 课时（供参考）：15.1 整式的乘法4 课时

2、15.2 乘法公式2 课时15.3 整式的除法2 课时15.4 因式分解3 课时数学活动小结2 课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章学问结构框图（二）教科书内容本章共包括4 节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四就运算的重要组成部分；本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在同学把握了有理数运算、整式加减运算等学问的基础上学习的；其中，幂的运算性质， 即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次支配在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、 底数等概念， 特殊要弄清正整数指数幂的意义；在同学把握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小

3、节支配一般整式乘法的教学内容；第一是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是娴熟地进行单项式与单项式相乘，因此， 对于单项式与单项式相乘的教学 应当予以充分重视；在同学把握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用安排律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进；15.2 乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式；乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法学问的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开头第一指出了这 一点； 接着， 在第

4、一小节支配了平方差公式的教学，教科书第一支配了下一个“探究” 栏目，支配了 3 个题目，让同学通过运算，总结三个题目结果的共同点，发觉其中的规律；接着，教科书推证了平方差公式，并进一步借助于几何图形对公式作了直观说明，让同学能更好地懂得此公式； 最终， 举例说明运用平方差公式进行有关的运算；其次小节教科书设计了与第一小节类似的教学过程，引进了乘法的完全平方公式；为了满意整式运算的需要，在本小节引进了添括号法就，这也是很重要的整式运算知识；15.3 整式的除法整式的除法也是整式四就运算的重要组成部分；本节也分为两个小节；同底数幂的除法是学习整式除法的基础和关键，因此教科书在第一小节中第一介绍同底

5、数幂除法的性质；对于同底数幂除法， 这里只先争论所得商仍是整式的情形，对于所得商是分式的情形将在后续 内容引入负整数指数幂的概念以后再争论；能娴熟地进行单项式除以单项式的除法是进行多项式除以单项式等一般的整式除法的前提；在其次小节，教科书依据乘、除互为逆运算的关系，并以安排律、同底数幂的除法为依据， 由运算详细的实例得到单项式除以单项式的除法法就；同样地， 对于单项式除以单项式的除法，争论的问题也都在被除式中字母的指数大于或等于除式中字母的指数的限制条件范畴内；对于多项式除以单项式，教科书是从运算来导出运算法就的，依据是乘除法互为逆运算以及安排律；可以看出， 法就的基本点是把多项式除以单项式转

6、化为单项式的除法，而单项式除法是已经学习并把握了的；在本章中，不争论多项式除以多项式等一般性的问题；15.4 因式分解因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学争论中也具有广泛应用，是重要的数学基础学问；因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等；本教科书支配了多项式因式分解比较基本的学问和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区分与联系， 因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法；两种方法分别支配在第1 和第 2 小节；（三）课程学习目标通过本章教学要求达到以下的教学目标：1. 使同

7、学把握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们娴熟地进行运算；使同学把握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法就，并运用它们进行运算；2. 使同学会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），明白公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 使同学把握整式的加、减、乘、除、乘方的较简洁的混合运算，并能敏捷地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 使同学懂得因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，把握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，明白因式分解的一般步骤；能够娴熟地运用这些方

8、法进行多项式的因式分解；二、本章编写特点（一）强调重要数学思想方法的渗透依据数与式之间的联系，教材通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表达了数学学问间详细与抽象的内在联系和数学的内在统一性；对于整式乘法法就的教学，教科书留意渗透“转化”的思想方法；例如，多项式与多项式相乘的法就， 第一步是转化为多项式与单项式相乘，其次步就是转化为单项式与单项式相乘，而单项式与单项式相乘就转化为有理数的乘法与同底数幂的乘法；在整式除法的教学中教科书也留意渗透“转化” 的思想方法， 多项式与单项式相除第一步是转化为单项式与单项式相除，其次步是转化为有理数的除法与同底数幂的除法；由上可知， 整式的乘、除

9、法教学要循序渐进，打好各项学问的基础，并运用好转化的思想方法，就能够很好地完成后面的教学内容，取得较好的教学成效；此外，本章教材留意了代数与几何之间的联系，表达了数形结合的重要数学思想和方法， 如在整式乘法和乘法公式部分，借助于几何图形对运算法就及公式作了直观说明，表达了代数与几何之间的内在联系和统一，能让同学更好地懂得有关学问；（二）充分表达从详细到抽象再到详细的认知过程从详细的实际问题动身，归纳出相关的数学概念，或抽象出隐含在详细问题中的数学思想和规律， 这是本章的一个突出特点；亲密联系实际，表达学问的形成和应用过程，这是本章编写中很重视的一个问题；以第 15.1 节为例，无论同底数幂相乘

10、、幂的乘方仍是积的乘方，都是从详细、简洁题目的运算动身， 最终归纳出运算性质，然后再用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题； 而整式的乘、 除法也是从详细的问题动身，归纳出运算法就，再进一步用于解决实际问题； 这种从详细到抽象，再由抽象到详细的编排方式，可以循序渐进地向同学出现教学内容，有助于同学的懂得和把握，符合现阶段同学的认知水平；（三）依据数学学问的规律关系循序渐进支配教学内容本章所涉及的数学教学内容之间不仅具有亲密的联系，且具有很强的规律关系；整式的乘法与除法是互为逆运算，乘法公式是具有特殊形式的整式乘法问题，整式的乘法与因式分解是方向相反的恒等变形，在涉及的这些内容中，整式的乘

11、法是引入后续内容教学的基础，学好一般整式乘法的学问是进一步学习本章其他学问的前提；本章依据学问之间的这种规律关系， 把教学重点放在整式乘法的教学上，符合规律、 循序渐进地支配了单项式与单项式相乘、多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘、乘法公式的教学内容；再如，依据数与式之间的联系， 教科书通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律；引入乘法公式时，指出争论的是某些特殊形式的多项式相乘问题；依据整式乘法与整式除法的关系导出整式除 法法就； 在本章的教学中也应当留意本章学问之间的这种规律关系，使同学能从整体上把握本章学问；三、本章教学中几个值得关注的问题1. 重视运算性质和公式的发生和归纳过

12、程的教学本章整式乘法运算性质、除法运算性质、 乘法公式的得出过程，教科书是从某些详细的 数与式运算， 归纳得到一般的式的运算法就，是一个由特殊到一般，从详细到抽象的归纳过 程；在性质和公式的教学中，要重视上述归纳过程的教学，使同学在这个过程中懂得和把握 性质和公式， 并能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，运用它们娴熟地进行运算；应使同学在懂得的基础上加以记忆，在运用、练习的过程中进一步加以巩固，并加深懂得；另外，教科书在得到某些运算法就的过程中在规律上看也并不具备严密性，在教学中就应当考虑同学思维才能进展的年龄特点，把握好规律的适度严密性；2重视发挥同学的主观能动性充分信任同学，努力发挥他

13、们的主观能动性，让他们通过观看、摸索、探究、争论、归纳，主动地进行学习；勤于摸索，善于摸索，是学好数学的先决条件；在本章中，教材支配了大量的“探究”和“摸索”栏目；通过“探究”栏目让同学体验 争论问题，解决问题，最终得出一般结论的过程，加深同学对问题的懂得，使其既知其然， 又知其所以然； 本章共支配了9 个“探究”栏目，很多重要结论或概念都是通过这个栏目归纳和总结出来的；在教学过程中应当充分发挥“探究”栏目的作用；通过这个栏目，同学一 方面可以体验获得结论的过程，另一方面可以获得胜利的欢乐；课程改革的目的之一是促进学习方式的转变，加强学习的主动性和探究性，培育同学的创新精神和自学意识，而“摸索

14、” 栏目的支配也是为实现上述的目标所做的设计之一；例如，在 15.2.1节，通过对面积的争论，可以发觉平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到几何与代数内在的统一性；又如，在15.3.2节，通过“摸索”栏目，让同学在摸索详细问题的基础上自己归纳出单项式相除的法就；总之，通过“摸索”栏目，同学们可以开动脑筋，加强发觉探究，培育探究精神；在本章的教学中，仍要有意识地勉励同学查找“富有挑战性”的学习材料，适当地进行数学活动和沟通，在探究、争论、摸索的过程中获得学问，培育才能；在本章的“数学活动”和“拓广探究” 栏目中都设计了一些探究性的问题，老师们应当适当地支配这些问题，勉励同学积极思维，努力探究

15、，提高数学思维水平；3留意把握教学要求依据课程标准，本章要求同学会进行简洁的整式乘法（其中的多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘） 运算和除法运算； 会推导平方差公式和完全平方公式， 并明白公式的几何背景， 能利用公式进行简洁的运算； 会用提公因式法和公式法进行因式分解 （指数是正整数）；应当看到，本章的内容都是重要的数学基础学问，应用极其广泛，对于后续学习影响很大； 所以， 一方面， 要重视本章学问的教学，把教学要求落到实处；另一方面也应当看到，本章的教学内容与传统的教学比较，在教学要求上有了一些降低，如对于整式乘除运算的教 学要求， 乘法公式的教学要求，对于因式分解的介绍等，都在

16、肯定程度上降低了内容的广度 和深度； 教学中， 老师们可能会受到教学传统习惯和思想的影响，不自觉地拓宽教学内容范 围、提高教学要求；老师们要仔细学习领悟课程标准的思想，贯彻教科书的编写意图，在教学中依据教科书的要求组织教学，努力克服教学传统观念的影响；例如，对于因式分解，教科书只要求同学会敏捷地运用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）两种分解方法， 对分组分解法和十字相乘法就不做要求；对于其他因式分解方法，教科书只在选学栏目中给出了一种，即型式子的因式分解（十字相乘法），供学有余力的同学参考；教学中就应当把握好这样的教学要求；4 抓住教学重点和关键，突破教学难点本章的教学重点之一是整

17、式的乘除，包括乘法公式；从整式乘除的位置和作用可知， 假如不把握好这部分内容，会给以后的学习带来极大的困难；因此要有针对性地加强练习，务必使同学对整式的乘除运算，包括其中运用乘法公式进行运算达到娴熟的程度；在整式的乘除中，单项式的乘除是关键；这是由于其他乘除都要转化为单项式的乘除； 实际上， 单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基石；乘法公式的结构特点以及公式中字母的广泛含义同学不易把握，运用时简洁混淆，因此乘法公式的敏捷运用是本部分的难点；在教学中要引导同学分析公式的结构特点，并在练习中与所运用公式的结构特点联系起来，对所发生的错误多做详细分析，以加深同学

18、对公式结构特点的懂得；添括号时，括号内符号的确定是本部分的另一个难点；把握添括号法就的关键是要把添上括号后括号内的多项式与括号前面的符号看成统一体，对于这一点同学不易懂得，要结合例题进行分析；同学在学习添括号时，感觉添括号比去括号要难，括号前是“”号比括号前是“ +”号要难；遇到括号前是“”号时，同学简洁漏掉括号内一部分项的变号，在讲解例题时要强调法就中“各项”的含义；因式分解始终是中学数学教学的一个难点，缘由在于分解因式的方法很多，变化技巧较高， 且没有一种一般有效的方法；教学中要留意把握教学要求，防止随便拓宽内容和加深 题目的难度； 教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中就应让同学坚固地把握；5 留意支配同学对