抛物线的简单几何性质典型例题.

1、典型例题 例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,通过点 P 和抛物 线顶点的直线交准线于点 M，如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴？ 解：思 路一：求出M、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等，则 MQ/X 轴，为此，将方程 联立，解出 直线0P 的方程为 即令，得 M 点纵坐标 得证.由此可见，按这一思 路去证，运算较为繁琐. 思路二：利用命题 如果过抛物线 线相交，两上交点的纵 坐标为、，那么的焦点的一条直线和这条抛物”来证.设去 x,得到、，则 有结论，并从，即及.中消又直线 0P 的方程为，得因为在抛物线上， 所以.从而这一证法运算较小.思路三： 直线 MQ 的方程为的

2、充要条件是.将直线 M0 的方程和直线 QF 的方程 联立，它的解 x ,y）（就是点 P 的坐标，消去的充要条件是点 P 在抛物 线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时（即斜率不存在），容易证 明成立.选 题角度：熟悉抛物线的焦点、准线几何性质的运用；例 2 已知过抛物线 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、 B 两点， 点 R 是含抛物线顶点 0 的弧 AB 上一 点， 求 RAB的最大面积.分析：求 RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为 1 的 弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可.解：设

3、AB 所在的直线方程为将其代入抛物线方程.，消去 x 得当过 R 的直线 I 平行于 AB 且与 抛物线相切时， RAB 的面积有最大值.设直线 I 方程为.代入抛物线方程得 由 得，这时.它到AB 的距离为 RAB 的最大面积为.选题角度：利用过抛物 线焦点的、斜率为 1 的弦长为定值求三角形面积的最 大值；例 3 如图所示：直线 I 过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于 A、B 两点， 求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦 CD，直线 I 不是 CD 的垂直 平分线.分 析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程 得矛盾结论；别一方面也可以根据 I 上任一点到 C、D

4、 距离相等来得矛盾结论. 证法一： 假设直线 I 是抛物线的弦 CD 的垂直平方线，因为直线 I 与抛物线交于 A、B 两 点，所以直线 I的斜率存在，且不为零；直线 CD 的斜率存在，且不为 0.设 C、 D 的坐标分别为与.贝U I 的方程为直线 I 平分弦 CD CD 的中点在直线 I 上，即，化简得：由知 CD 的垂直平分线.得到矛盾，所以直线 I 不可能是抛 物线的弦 证法二：假设直线 I 是弦 CD 的垂直平分线焦点 F 在直线 I 上，由 抛物线定义，到抛物线的准线 的距离相等.，与直线 I 和抛物线有两上交点矛盾，下略. CD 的垂直平分线 I:选题 角度：利用反证法证明抛物线

5、过焦点的弦的性质 例 4 设过抛物线 的顶点 0 的两弦 0A、0B 互相垂直，求抛物线顶点 0 在 AB 上射影 N 的轨迹方程.分析：求与 抛物线有关的轨迹方程，可先把 N 看成定点的关系后再用动点坐标 换，简化运 算.解法一：设；待求得 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替 贝：， 即，把 N 点看作定点，AB 所在的直线方程为： 则显然代入化简整理 得：，由、得：用 x、y 分别表示 得：，化简得解法二：点 N 在以 0A、0B 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设 ， 则以0A 为直径的圆方程为： 设，0A 丄 0B，则 在求以 0B 为直径的圆方程时 以由+得：代，可得 选题角

6、度：抛物线顶点在特殊弦上的射影轨迹。 习 题精选一、选择题 1 .过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，则，为（D. 120只有一个公共点的直线有（D. 4 条上两点，为坐标原点，若 的方程 是）.两点，若）.，在抛物线准线上的射影分别是 A . 45。2.过已知点A.1 条 3.已知，且（）.B. 2 条，B . 60 C. 90且与抛物线 C. 3 条是抛 物线的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线 A . 4.若抛物线弦B.（ C. D.（），则）的弦 PQ 中点为的斜率为（）A. 5.已知 足 B.是抛物线，贝 U 直线 C . D.的焦点弦，其坐标，满的 斜率是（）A. B. C.（，则 D

7、.）的焦点弦 的两端点坐标分别为）6.已知 抛物线，A. 4 B . - 4的值一定等于（D . C . 7.已知。线相切，则。 A . C .的圆心在抛物线 的方程是（）B .D .上，且。与轴及 的准 8.当 A . 0 个 9 .将直线时，关于 B . 1 个的方程 D . 3 个的实根的个数是（）C. 2 个左移 1 个单位，再下移 2 个单位后，它与抛物线的值等于（D . 9 ）的焦半径 为直径的圆与轴位置）仅有一个公共点，则实数 A. - 1 10.以抛物线关系为（）A相交 11 过抛物线如果，那么 B 相离 B. 1 （ C. 7 C相切 D不确 定，两点，的焦点作直线交抛物线于

8、 长是（）A.10 12.过抛物线 抛物线顶点，则 A.小于 13.抛物线 A .（0, 0） B. 8（大小（B.等于 C. 6 D. 4 ）的焦点且垂直于轴的弦为，为）C.大于D.不能确定 对称的曲线的顶点坐标是（C.（ 2, 2） D.（2, 0），它到焦点 的距）关于直线 B. （- 2, 2） 14.已知抛物线（）上有一点 离为 5,则的 面积（为原点）为（）A. 1 B. C. 2 D.15.记定点 此抛物线准线 的距离为与抛物线，则当上的点之间的距离为，到）取最小值时 点的坐标为（A. （0, 0） 16.方程 A.椭圆 B. C.（ 2, 2）表示（D. ） D.圆 B.双 曲

9、线 C.抛物线,它到 17.在上有一点小,则 的坐标为（）A.（ 2, 8）18.设数为（）A . 0 19.设过焦点的（）A.充分不必要 为的距离与它到焦点 的距离之和最 B. （ 2, 8） C . （ 2, 8） D . （ 2, 8）过焦点的弦，则以 为直径的圆与准线交点的个 B . 1 , C . 2 为抛物线 D . 0 或 1 或 2 上两点，则 是 B.必要不充分 C .充要 D .不充分不必要20 .抛物线垂点为（1, 1），准线为，则顶点为（）A . 21 .与 B.关于C . D .对称的抛物线是（）A.二、填空题 B . C . D . 1顶点在原点，焦点在 轴上且通径

10、（过焦点和对称轴垂直的弦）长为 6 的抛物线方程是 _ . 2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角 形面积为 4, 则此抛物线方程为 _. 3.过点（0, 4）且与直线 4 .抛物线 5 .已知抛物线 方程是_.被点的弦相切的圆的圆心的轨迹方程是 _ .所平分的弦的直线方程为 _ .过定点（一 2, 0）,则弦 中点的轨迹 6 .顶点在原点、焦点在轴上、截直线抛物线方程为_ . 7.已知直线中点坐标是8 . 一条直线两点，过，9 .中点、与抛物线_ .经过抛物线（交于、 所得弦长为的两点，那么线段的）的焦点、与抛物线交于、点分别向准线 引垂线，为的中点，则，垂足为=_

11、.,，如果是抛物线的一条焦点弦，若抛物线 到直线 的距离为_.上到直线，则的 10 .抛物线_.的距离最近的点的坐标是11.抛物线 _: 12.已知圆=_ .（上到直线 距离最短的点的坐标为 与抛物线（）的准线相切，则 13.过=_ . 14.抛物线_.）的焦点的弦为,为坐标原点，则上一点到焦点的距离为 3,则 点的纵坐标为 15.已知抛物线 上，则 16.过抛物线 的范围是_ .（的值为_.的焦点作一条倾斜角为），它的顶点在直线 的弦，若弦长不超过8,则 17.已知抛物线 与椭圆则该圆的方程为 _ . 18.抛物线 作于的焦点为，则梯形，准线交有四个交点，这四个交点共圆，轴于，过抛物线上一

12、点的面积为_. 19.探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线 的焦点处，如果 到灯口平面的距离恰好等于灯口的 半径，已知灯口的半径为 30cm,那么灯深为_.三、解答题 1.知抛物线上求一点，使 2.若截直线的面积为 39 所得的弦长，试在轴的焦点弦长为 5,求焦点弦所在直线方程 （）的内 3.已知 是以原点为直角顶点的抛物线 接直 角三角形，求面积的最小值.4.若，为抛物线的焦点，的坐标.为抛物线上任意一点，求 的最小值及取 得最小值时的 5.抛物线拱桥跨度为 52 米，拱顶离水面 6.5 米，一竹排上一宽 4 米，高 6 米的大木箱，问能否安全通过.6.抛物线以 轴

13、为准线，且过点，（） 求证不论点 位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值.7.已知抛物线（）的焦点为，以为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不 同的两点 线段、的中点.求 的值；是否存在这样的 的为圆心，、，为， 使、成等差数列，若存在，求出 和圆中，一条边的值；若不存在，说明理 由.上最近两点之间的距离.8.求抛物线 9.正方形 在抛物线 在直线 上，另外 两顶点、上，求正方形的面积. 的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分， 10.已知抛物线求证.宽 11. 一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面、高的货 箱，问能否安全通过.12.已知抛物线，求当 13.是抛物线，求动点上两

14、点，（点距轴最近时，.江中一竹排装有 且在第二象限），的面积.与，以为原 点，方形上的动点，连接原点 的轨迹方程.为边作正 参考答案：一、1. C;2. C; 3. D; 4. B; 5.C; 6. B; 7. B; 8.D; 9. C 10. C; 11. B; 12. C;13. C; 14. C; 15. C;16. C; 17. B; 18.B;19.C; 20. A; 21. D二、1. 5. 7.或；2. ; 6. ; 3. ; 4.（在已知抛物线内的部分）;8.（ 4, 2）; 9. 10. ; 11. ; 12. 2; 13. 4 14. 2; 15. 0, 17.三、1.先

15、求得 2. ，;16. ; 18. 3. 14; 19. 36.2cm，再求得 或 3.设，则由 得，于是当，即，时，4.抛物线由抛物线定义得、从而、的准线方程 为，过作垂直准线于，要使点，最小，点，三点必共线，即的最小值为垂 直于准线，此时与抛物线交点为 点坐标为（2, 2）.5.建立坐标系，设抛物线方程为 上，时，则有 6.设抛物线的焦点为 设 顶点为，则，则点（26， 6.5）在抛物线抛物线方程为，当，所以木箱能安全 通过.，由抛物线定义得，所以，即，为椭圆，离心率 7.设、为定 值.、，则在抛物线的准线上射影分别为 由抛物线定义得，又圆的方程为， 将代入得假设存在这样的，使得，由定义知点 矛盾，所以这样的 不存在 8.设最小，则、必在抛物线上，这与点 是弦的中点 分别是抛物线和圆上的点， 圆心，半径为 1，若也最小，因此 求一点，使它到点、共线，问题转化为在 抛物线上，则的最小值是的距离最小.为此设，9.设得所在直线方程为，消去又直线 与间距离为 或从而边长为 10.焦点 为直于轴，则在直线方程为这时，于是或，面积，