高二几何练习一(附参考答案)

1、高二几何精选练习（附参考答案）1.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形abcd 为正方形， e，f 分别是 pa，pd 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：be 与 cf 异面； be 与 af 异面；ef平面 pbc；平面 bce平面 pad.其中正确结论的个数是()a1b2 c3 d42如图， 在正方形abcd 中，e，f 分别是 bc，cd 的中点， g 是 ef 的中点， 现在沿 ae，af 及 ef 把这个正方形折成一个空间图形，使b，c，d 三点重合，重合后的点记为h，那么，在这个空间图形中必有()aag平面 efhb.ah平面 efhchf 平面 aefdhg平面 aef

2、3.如图所示，在正三棱锥s-abc 中， bsc40 ，sb2，则一动点从点 b出发， 沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点b的最短路线的长为()a2b.3c23d3 34.如图，正方体 abcd -a1b1c1d1的棱长为 4， 点 p， q 分别在底面abcd、棱 aa1上运动，且pq 4，点 m 为线段 pq 的中点，则线段c1m 的长度的最小值为()a2b.432c6d4 35.一只蚂蚁从正方体abcd-a1b1c1d1的顶点 a 出发， 经正方体的表面， 按最短路线爬行到顶点c1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()ab.cd6已知圆锥的侧面展开图是半径为3

3、的扇形，则该圆锥体积的最大值为_7如图所示，在四边形abcd 中，abadcd1，bd2，bdcd，将四边形abcd沿对角线bd 折成四面体abcd ，使平面abd平面bcd ，则下列结论正确的是_(填序号 )acbd； bac90 ；四面体abcd 的体积为16.7、8、8 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 xy 的最大值为 _9已知 a，b，c 是球 o 的球面上三点， 且 abac3，bc33，d 为该球面上的动点，球心 o 到平面 abc 的距离为球半径的一半，则三棱锥d -abc 体积的最大值为_10.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱

4、锥p-a1b1c1d1，下部的形状是正四棱柱abcd-a1b1c1d1(如图所示 )，并要求正四棱柱的高o1o 是正四棱锥的高po1的 4 倍(1)若 ab 6 m，po1 2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当 po1为多少时，仓库的容积最大？11.(2019凉山模拟 )如图，在四棱锥p-abcd 中，侧面pad底面 abcd ，底面 abcd 是平行四边形， abc 45 ，adap2，abdp22，e 为 cd 的中点，点f 在线段pb上 (1)求证： adpc；(2)试确定点f 的位置，使得直线ef 与平面 pdc 所成的角和直线ef 与平面 abcd 所成

5、的角相等12 (2018 肇庆二模 )如图 1，在高为2 的梯形 abcd 中， abcd，ab2，cd5，过 a，b 分别作 aecd，bfcd，垂足分别为e， f.已知 de1，将梯形abcd 沿 ae，bf 同侧折起，得空间几何体ade-bcf，如图 2.(1)若 af bd，证明： debe；(2)若 decf，cd3，在线段ab 上是否存在点p，使得 cp 与平面 acd 所成角的正弦值为3535？并说明理由13.(2019太原模拟 )如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中， bac90 ，abac2，点 m 为a1c1的中点，点n 为 ab1上一动点(1)是否存在一点n，使得线段m

6、n平面 bb1c1c？若存在，指出点n 的位置；若不存在，请说明理由；(2)若点 n 为 ab1的中点且cmmn，求二面角m-cn-a 的正弦值练习答案1、解析： 选 b画出该几何体，如图因为e，f 分别是 p a，pd 的中点，所以ef ad，所以 efbc，be 与 cf 是共面直线，故不正确；be 与 af 满足异面直线的定义，故正确；由e，f 分别是pa，pd 的中点，可知efad，所以efbc，因为 ef?平面 pbc，bc? 平面 pbc，所以 ef平面 pbc，故正确；因为 be与 pa的关系不能确定， 所以不能判定平面bce平面 pad， 故不正确 故选 b.2、解析： 选 b

7、根据折叠前、后ahhe，ahhf 不变，且hehfh， ah平面efh ，b 正确； 过 a 只有一条直线与平面efh 垂直， a 不正确； agef，efgh，agghg， ef平面 hag，又 ef? 平面 aef，平面hag 平面 aef，过点 h 作直线垂直于平面aef， 垂线一定在平面hag 内， c 不正确；由条件证不出hg平面 aef，d 不正确故选b.3、解析： 选 c沿 sb，ab，bc 将棱锥侧面剪开并展开成一个平面图形sbacb1，如图所示， 则动点的最短路线为线段bb1.在 sbb1中，sbsb12， bsb1120 ， 所以 bb123.故选 c.4、解析： 选 b连

8、接 ap，ac1，am.由正方体的结构特征可得，qa平面 abcd ，所以 qaap.因为 pq 4，点 m 为线段 pq 的中点，所以am12pq2，故点 m 在以 a 为球心，半径r2 的球面上，易知ac14 3，所以 c1m 的最小值为ac1r432.5、解析： 选 d由点 a 经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点c1的位置，共有6 种路线(对应 6 种不同的展开方式)若把平面abb1a1和平面bcc1b1展到同一个平面内，连接ac1， 则 ac1是最短路线，且 ac1会经过 bb1的中点，此时对应的正视图为；若把平面abcd和平面 cdd1c1展到同一个平面内，连接ac1，则 ac1

9、是最短路线，且ac1会经过 cd 的中点，此时对应的正视图为.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现，故选d.6、解析： 由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为 h，则 h9 r2，所以圆锥的体积v13 r2h13 r29 r213 9r4r6.设 f(r)9r4r6(r0)，则 f(r)36r36r5，令 f(r)36r36r56r3(6r2)0，得 r6，所以当 0r6时， f(r)0，f(r)单调递增；当r6时， f(r )0，f(r)单调递减，所以f(r)maxf(6)108，所以 vmax13 1082 3.答案： 237、解析： bd cd，平面 abd平面 b

10、cd，平面 abd平面 bcdbd，cd? 平面bcd，cd平面 a bd，又 a d? 平面 abd， cd ad.abad cd1，bd2， ac2，bc3， ab2ac2bc2，abac， 即 bac90 ， 故正确； 四面体 a bcd 的体积 v131212116，故正确答案： 8、解析： 由三视图知三棱锥如图所示，底面abc 是直角三角形，abbc，pa平面 abc，bc2 7，pa2y2102，(27)2pa2x2，因此 xy x102x2272x128x2x2 128x2264，当且仅当x2 128x2，即 x8 时取等号，因此xy 的最大值是64.答案： 649、解析： 如图

11、，在 abc 中， ab ac3，bc 3 3，由余弦定理可得cos a32 32 3 3223 312，sin a32.设 abc 外接圆 o的半径为r，则3 3322r，得 r3.设球的半径为r，连接 oo，bo ，ob，则 r2r2232，解得 r2 3.由图可知，当点d 到平面 abc 的距离为32r 时，三棱锥d -abc 的体积最大，sabc1233329 34，三棱锥d -abc 体积的最大值为139 343 3274.答案：27410、解： (1)由 po12 知 o1o4po18.因为 a1b1 ab6，所以正四棱锥p-a1b1c1d1的体积 v锥13 a1b21 po113

12、62224(m3)；正四棱柱 abcd -a1b1c1d1的体积v柱ab2 o1o 62 8288(m3)所以仓库的容积vv锥v柱24288312(m3)(2)设 a1b1a m，po1h m，则 0h6，o1o4h.如图，连接o1b1.因为在 rtpo1b1中， o1b21po21pb21，所以2a22h236，即 a22(36h2)于是仓库的容积vv柱v锥a24 h13a2 h133a2h263(36hh3)，0 h6，从而 v263(363h2)26(12 h2)令 v 0，得 h 2 3或 h 2 3(舍)当 0h23时， v0，v 是单调增函数；当 2 3h 6 时， v 0，v 是

13、单调减函数故当 h 2 3时， v 取得极大值，也是最大值因此，当 po123 m 时，仓库的容积最大11、解： (1)证明：在平行四边形abcd 中，连接ac， ab22， bc2， abc45 ，由余弦定理得ac2842 2 22cos 45 4， ac2，ac2bc2ab2， bcac. 又 adbc， adac.adap 2，dp22， ad2ap2dp2， apad.又 apaca，ap? 平面 pac，ac? 平面 pac，ad平面 p ac.pc? 平面 pac， adpc.(2)侧面 pad底面 abcd， 侧面 pad底面 abcdad， paad，pa? 平面 pad， p

14、a底面 abcd .以 a 为坐标原点，以da，ac，ap 所在直线为x 轴， y 轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz，则 a(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,2,0)，b(2,2,0)，e(1,1,0)，p(0,0,2)， pc(0,2，2)，pd (2,0，2)，pb (2,2， 2)设pfpb ( 0,1 )，则 pf(2 ，2 ， 2 )，f(2 ，2 ， 2 2)， ef (2 1,2 1， 2 2)，平面 abcd 的一个法向量为m (0,0,1)设平面 pdc 的法向量为n (x， y，z)，则n pc0，n pd0，2y2z0，2x2z0，令 x1，得 n

15、(1， 1， 1)直线 ef 与平面 pdc 所成的角和此直线与平面abcd 所成的角相等， |cosef，m| |cosef ，n|，即22|ef|23|ef|， 22 23，解得 332，当pfpb332时，直线ef 与平面 pdc 所成的角和直线ef 与平面 abcd 所成的角相等12、解： (1)证明：由已知得四边形abfe 是正方形，且边长为2，afbe.afbd，bebdb， af平面 bde.又 de? 平面 bde， afde.aede，aeafa，de平面 abfe.又 be? 平面 abfe， debe.(2)当 p 为 ab 的中点时满足条件理由如下：aede， aeef

16、，deefe， ae平面 defc .如图，过 e 作 egef 交 dc 于点 g，可知 ge，ea，ef 两两垂直，以e 为坐标原点，以ea ， ef， eg分别为x 轴， y 轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系，则a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,1，3)，d0，12，32， ac(2,1，3)， ad 2，12，32.设平面 acd 的法向量为n(x，y，z)，则n ac0，n ad0，即2xy3z0，2x12y32z0，令 x1，得 n(1， 1，3)设 ap pb，则 p 2，21，0， (0， )，可得 cp 2， 11，3 .设 cp 与平面 acd 所成的角为 ，

17、则 sin |coscp，n|1 117 11253535，解得 1或 25(舍去 )， p 为 ab 的中点时，满足条件13、解： (1)存在点 n，且 n 为 ab1的中点时满足条件理由如下：如图1，连接 a1b，bc1.因为点 m，n 分别为 a1c1，a1b 的中点，所以 mn 为 a1bc1的中位线，从而mn bc1.又 mn?平面 bb1c1c，bc1? 平面 bb1c1c，所以 mn平面 bb1c1c.(2)设 aa1a，则 cm2a21，mn212bc12a284，cn2a245a2204.由 cm mn，得 cm2mn2cn2，解得 a2.以点 a 为坐标原点，ab 所在直线为x 轴， ac 所在直线为y