初二数学--勾股定理讲义

1、学习必备欢迎下载【学问点归纳】初二数学勾股定理1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用 勾股定理勾股定理的逆定理2、判定三角形的外形3、求最大、最小角的问题勾股定理的应用1、面积问题2、求长度问题3、最短距离问题4、航海问题5、网格问题6、图形问题考点一：勾股定理（ 1）对于任意的直角三角形，假如它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么肯定有a 2b 2c 2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（ 2）结论：有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半；有一个角是45

2、°的直角三角形是等腰直角三角形；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（ 3）勾股定理的验证学习必备欢迎下载baabcacbbcbbcaaabaab例题：例 1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边；（ 1） 在 rtabc 中， c=90°如 a=5， b=12，就 c= ；如 a=15， c=25，就 b= ；如 c=61， b=60，就 a= ；如 ab=3 4，c=10 就 rt abc 的面积是 = ；（ 2） 假如直角三角形的两直角边长分别为n 21 ， 2n（ n>1），那么它的斜边长是（）a 、2nb 、n+1c、n2 1d、 n 21（ 3） 在

3、 rtabc 中， a,b,c 为三边长，就以下关系中正确选项（）a. a 2b2c2b.a2c2b2c. c2b2a 2d. 以上都有可能（ 4） 已知一个直角三角形的两边长分别为3 和 4，就第三边长的平方是（）a 、25b 、14c、7d 、7 或 25例 2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题；（ 1） 直角三角形两直角边长分别为5 和 12，就它斜边上的高为 ；22（ 2）已知 rt abc 中， c=90 °，如 a+b=14cm，c=10cm ，就 rtabc 的面积是（）2a 、24 cmb、36cm2c、48 cmd、60 cm（

4、3） 已知 x、y 为正数，且 x 2-4 +（ y2-3）2=0，假如以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）a 、5b 、25c、7d 、15例 3：探究勾股定理的证明学习必备欢迎下载有四个斜边为c、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如下列图的五边形，利用这个图形证明勾股定理；eafgdbmhc考点二：勾股定理的逆定理（ 1）勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a,b,c 有关系， a 2b 2c2 ，那么这个三角形是直角三角形；（ 2）常见的勾股数：（ 3n,4n,5n ）,5n,12n,13n ，8n,15n,17n ，7n,2

5、4n,25n ，9n,40n,41n.（n 为正整数）（ 3）直角三角形的判定方法：假如三角形的三边长a,b,c 有关系， a 2b 2c2 ，那么这个三角形是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；两内角互余的三角形是直角三角形；假如一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；例题：例 1：勾股数的应用（ 1） 以下各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）a. 4， 5， 6b. 2， 3， 4c. 11，12， 13d. 8 ， 15， 17（ 2） 如线段 a， b， c 组成直角三角形，就它们的比为（）a 、2 3 4b 、3 4 6c、5

6、12 13d、46 7例 2：利用勾股定理逆定理判定三角形的外形（1） 下面的三角形中： abc中， c= a b；学习必备欢迎下载 abc中， a： b： c=1： 2：3； abc中， a： b： c=3 ：4： 5； abc中，三边长分别为8， 15，17其中是直角三角形的个数有（）a 1 个b 2 个c 3 个d4 个（ 2） 如三角形的三边之比为2 :1 :1 ，就这个三角形肯定是（）22a. 等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.不等边三角形（ 3） 已知 a，b， c 为 abc 三边，且满意 a2 b2a2+b2 c2 0，就它的外形为（）a. 直角三角形b.等腰三角形

7、c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角三角形（4） 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是 a 钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.等腰三角形（5） 如 abc的三边长a,b,c 满意 a2b2c220012a16b20c ，试判定 abc的外形；（ 6） abc 的两边分别为5,12，另一边为奇数， 且 a+b+c 是 3 的倍数，就 c 应为，此三角形为；例 3：求最大、最小角的问题（ 1） 如三角形三条边的长分别是7,24,25，就这个三角形的最大内角是度；（ 2） 已知三角形三边的比为1：3 ： 2，就其最小角为；考点三：勾股定理的应用例题：例 1：面积问题（ 1

8、） 下图是一株漂亮的勾股树，其中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形， 如正方形 a 、b 、c、d 的边长分别是3、5、2、3，就最大正方形e 的面积是 （）a. 13b. 26c. 47d. 94学习必备欢迎下载bbascs1s2d3s1cases32（图 1）（图 2）（图 3）（ 3） 如图， abc 为直角三角形，分别以ab ， bc ， ac 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）a. s 1+ s2> s3b. s1+ s2= s3c. s2+s3< s1d.以上都不是（ 2）如下列图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面

9、积分别是s1、s2、s3， 就它们之间的关系是（）a. s 1- s2= s3b. s 1+ s2 = s3c. s2+s3< s1d. s2- s3=s1例 2：求长度问题（ 1） 小明想知道学校旗杆的高，他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面仍多1 米，当他把绳子的下端拉开5 米后，发觉下端刚好接触地面，求旗杆的高度；（ 2） 在一棵树10m 高的 b 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘a 处； .另外一只爬到树顶d 处后直接跃到a 外，距离以直线运算，假如两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？d bca例 3：最短路程问题（ 1）如图 1，已知圆柱体底面圆的半径为2 ，

10、高为 2，ab ，cd 分别是两底面的直径，ad ，bc 是母线，如一只小虫从a 点动身，从侧面爬行到c 点，就小虫爬行的最短路线的长度是；（结果保留根式）（ 2） 如图 2，有一个长、宽、高为3 米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点a 要爬到顶学习必备欢迎下载点 b ，那么这只昆虫爬行的最短距离为；adcabb（图 1）（图 2）例 4：航海问题（ 1） 一轮船以16 海里 /时的速度从a 港向东北方向航行，另一艘船同时以12 海里 /时的速度从 a 港向西北方向航行，经过1.5 小时后，它们相距 海里（ 2）（深圳）如图1，某货船以24 海里时的速度将一批重要物资从a 处运往正东方向的m

11、处，在点a 处测得某岛c 在北偏东60°的方向上；该货船航行30 分钟到达b 处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在c 岛四周 9 海里的区域内有暗礁，如连续向正 东方向航行，该货船有无暗礁危急？试说明理由；北cacd6030东abdmb（图 1）（图 2）（ 3）如图 2，某沿海开放城市a 接到台风警报， 在该市正南方向260km 的 b 处有一台风中心，沿 bc 方向以 15km/h 的速度向d 移动，已知城市a 到 bc 的距离 ad=100km ，那么台风中心经过多长时间从b 点移到d 点？假如在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危急，

12、 正在 d 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危急？例 5：网格问题（ 1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，就网格上的三角形abc 中，边长为无理数的边数是（）学习必备欢迎下载a 0b 1c 2d 3（ 2） 如图，正方形网格中的abc ，如小方格边长为1，就 abc 是 （）a. 直角三角形b.锐角三角形c.钝角三角形d.以上答案都不对（ 3） 如图，小方格都是边长为1 的正方形 ,就四边形abcd 的面积是 a 25b. 12.5c. 9d. 8.5dabacccbab（图 1）（图 2）（图 3）例 6：图形问题（ 1） 如图 1，求该四边形的面积（ 2）（

13、2021 四川宜宾） 如图 2，已知， 在 abc 中， a= 45°， ac=2， ab=3+1，就边 bc 的长为c123bd413a（图 1）（图 2）（ 3） 某公司的大门如下列图,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆, 其中 =2.3， =2 ,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5 ,宽为 1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门.并说明你的理由.学习必备欢迎下载（ 4）（太原） 将一根长24 的筷子置于地面直径为5 ， 高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ，就 h 的取值范畴；【中考链接】1.（ 2021 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角

14、边ac 6 cm 、bc 8 cm，现将 abc 折叠，使点b 与点 a 重合，折痕为de，就 be 的长为（ a ） 4 cm（ b ） 5 cm（ c） 6 cm（ d） 10 cmbadc2（ 2021 山东荷泽）（ 此题满分 8 分）如下列图，在rt abc 中， c 90°， a 30°，bd 是 abc 的平分线， cd 5 ，求 ab 的长3. 如图， 正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按以下要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、8 、5 （在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）甲

15、乙4（ 2021 广东湛江） 以下四组线段中，可以构成直角三角形的是（）a.1 ， 2， 3b.2， 3， 4c.3， 4， 5d.4 ， 5， 65（ 2021 四川泸州） 在abc中， ab=6 ， ac=8 ， bc=10 ，就该三角形为（）a 锐角三角形b 直角三角形学习必备欢迎下载c钝角三角形d 等腰直角三角形6. （ 2021 辽宁丹东市）已知 abc是边长为 1 的等腰直角三角形，以rt abc的斜边 ac为直角边，画其次个等腰rt acd，再以 rt acd的斜边 ad为直角边，画第三个等腰rtade，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是efdcagb7.（ 2021 广西南宁） 如图，每个小正方形的边长为1，abc 的三边 a,b, c 的大小关系式：（ a） acb（ b） abc（ c） cab（ d） cba8（ 2021 湖北孝感） （此题满分10 分） 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理，它有许多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，闻名数学家华罗庚曾提出把“数形关系 ”（勾股定理）带到其他