高二数学选修2-1(B版)_《距离(选学)》拔高练习

1、1 / 15a a1 d c bb1 c1 图3.2.5 距离（选学）一、选择题1在正三棱柱 abca1b1c1中，若 ab2bb1，则 ab1与 c1b 所成的角的大小为（）a60b90c105d752如图， abcda1b1c1d1是正方体， b1e1d1f1411ba，则 be1与 df1所成角的余弦值是（）a1715b21c178d233如图，a1b1c1abc 是直三棱柱， bca=90 ，点 d1、f1分别是 a1b1、a1c1的中点， 若 bc=ca=cc1， 则 bd1与 af1所成角的余弦值是（）a1030b21c1530d10154正四棱锥sabcd的高2so，底边长2ab

2、，则异面直线bd和sc之间的距离（）a515b55c 552d1055 已知111abca bc是各条棱长均等于a的正三棱柱，d是侧棱1cc的中点点1c到平面1ab d的距离（）aa42ba82图图2 / 15ca423da226在棱长为1的正方体1111abcda bc d中，则平面1abc与平面11ac d间的距离（）a63b33c 332d237在三棱锥 pabc 中，abbc，abbc21p a，点 o、d 分别是 ac、pc的中点， op底面 abc，则直线 od 与平面 pbc所成角的正弦值（）a621b338c60210d302108在直三棱柱111cbaabc中，底面是等腰直角

3、三角形，90acb，侧棱21aa， d， e 分别是1cc与ba1的中点， 点 e在平面 abd 上的射影是abd的重心 g则ba1与平面 abd 所成角的余弦值（）a32b37c23d739正三棱柱111cbaabc的底面边长为 3，侧棱3231aa，d 是 cb 延长线上一点，且bcbd，则二面角badb1的大小（）a3b6c 65d3210正四棱柱1111dcbaabcd中，底面边长为22，侧棱长为 4，e，f 分别为棱 ab，cd 的中点，gbdef则三棱锥11efdb的体积 v（）a66b3316c 316d16二、填空题11在正方体1111abcdabc d中，e为11ab的中点，

4、则异面直线1d e和1bc间的距离12 在棱长为1的正方体1111abcda bc d中，e、f分别是11ab、cd的中点，求3 / 15点b到截面1aec f的距离13已知棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1d1中，e、f 分别是 b1c1和 c1d1的中点，点 a1到平面 dbef 的距离14已知棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1d1中，e 是 a1b1的中点，求直线 ae与平面 abc1d1所成角的正弦值三、解答题15（12 分）已知棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1d1，求平面 a1bc1与平面abcd 所成的二面角的大小16 （12 分）已知棱长为 1 的正方体

5、 abcda1b1c1d1中，e、f、m 分别是 a1c1、a1d 和 b1a 上任一点，求证：平面a1ef平面 b1mc17 （12分）在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 是一直角梯形， bad=90 ，adbc，ab=bc=a，ad=2a，且 pa底面 abcd，pd 与底面成 30 角（1）若 aepd，e 为垂足，求证： bepd；（2）求异面直线 ae 与 cd 所成角的余弦值18 （12分）已知棱长为1 的正方体 ac1，e、f 分别是 b1c1、c1d 的中点（1）求证： e、f、d、b 共面；（2）求点 a1到平面的 bdef 的距离；（3）求直线 a1d 与平面 bde

6、f 所成的角19 （14分）已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为 2，点 e 为棱 ab 的中点，求：（） d1e 与平面 bc1d 所成角的大小；4 / 15（）二面角 dbc1c 的大小；（）异面直线 b1d1与 bc1之间的距离20 （14分）如图 5：正方体 abcd-a1b1c1d1，过线段 bd1上一点p（p平面acb1）作垂直于 d1b的平面分别交过 d1的三条棱于 e、f、g(1)求证：平面 efg平面 a cb1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为 a，求 efg 的最大面积，并求此时ef 与 b1c 的距离yxzcbaa1db1d1gec1o1fhp图 55 /

7、15a bc d o s xyz图参考答案一、1b；2a；3a；4c；分析：建立如图所示的直角坐标系，则22(,0)22a，22(,0)22b，22(,0)22c，22(,0)22d，(0,0,2)s(2,2,0)db，22(,2)22cs令向量( , ,1)nx y，且,ndb ncs，则00n dbn cs，( , ,1) (2,2,0)022( , ,1) (, 2)022x yx y，0220 xyxy，22xy，(2,2,1)n异面直线bd和sc之间的距离为：oc ndn22(,0) (2,2,1)22(2,2,1)222110255(2)(2)15a；分析：11abb a为正方形，

8、11abab，又平面1ab d平面11abb a，1ab面1abd，1a b是平面1ab d的一个法向量，设点c到平面1abd的距离为d，则11aca bda b=1()2aca aaba=1)2aca aacaba=00cos60242aaaa6 / 156b；分析：建立如图所示的直角坐标系，设平面11ac d的一个法向量( , ,1)nx y，则1100n dan dc，即( , ,1) (1,0,1)0( , ,1) (0,1,1)0 x yx y11xy，( 1, 1,1)n，平面1abc与平面11ac d间的距离ad ndn222(_1,0,0)( 1, 1,1)3.3( 1)( 1

9、)17d；.222,0,0 ,0,0 ,0,0 .2220,0,.212,0,422opabcoaocabbcoaoboaopobopoopzoxyzabaaabacaophphdpcodahpaa平面，以为原点，射线为非负 轴，建立空间直角坐标系如图 ，设，则设，则为的中点，又,0,1.2hodpaodpaodpab，平面2 ,7,2214,0,4411,1,7210cos,.30210sincos,30210arcsin.30paahaodaapbcnod nod nodnodpbcod nodpbc可求得平面的法向量设与平面所成的角为，则与平面所成的角为8b；解以 c 为坐标原点， ca

10、 所在直线为x轴，cb 所在直线为 y轴，1cc所xa bc d a1 b1 c1 d1 yze 图zyxpodcba7 / 15在直线为z轴，建立直角坐标系，设acbca，则）（0, 0,aa，）（0,0 ab，）（2,0 ,1aa，）（1 ,0 ,0d）（1 ,2,2aae，）（31,3,3aag，）（32,6,6aage，）（1 ,0abd， 点 e 在平面 abd 上的射影是abd 的重心 g，ge平面 abd，0bdge，解得2a）（32,31,31ge，）（2,2,21ba，ge平面 abd， ge为平面 abd 的一个法向量由32323634|,cos111bagebagebag

11、eba1与平面 abd 所成的角的余弦值为37评析因规定直线与平面所成角20 ，两向量所成角0 ，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|9a；取 bc 的中点 o，连 ao由题意平面 abc平面11bbcc，bcao， ao平面11bbcc，以 o 为原点，建立如图6 所示空间直角坐标系，则）（323,0, 0a，）（0, 0,23b，）（0 ,0 ,29d，）（0,323,231b，）（323,0 ,29ad，）（0,323, 31db，）（0,323, 01bb，由题意1bb平面 abd， ）（0,323, 01bb为平面 abd 的法向量设 平面dab1的法向量为),(2zyxn，aa1

12、b1cbc1dzyxeg8 / 15则dbnadn122，00122dbnadn，03233032329yxzx，即xzyx3323 不妨设)23, 1 ,23(2n，由212323323|,cos212121nbbnbbnbb，得60,21nbb 故所求二面角badb1的大小为60评析： （1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“ 找证求” 直接简化成了一步曲： “ 计算” ，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力， 但实质不然， 向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的

13、具体大小问题，如本题中若取)23, 1,23(2n时，会算得21,cos21nbb，从而所求二面角为120，但依题意只为60因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取 “ 相等角 ”或取“ 补角” 10c；解以 d 为坐标原点，建立如图10 所示的直角坐标系，则)4,22,22(1b，)4,0 ,0(1d，)0,2,22(e，)0,22 ,2(f，)4,2,22(1ed，)4,22,2(1fd，)0 ,22,22(11bd，图 10 1312262624|,cos111111fdedfdedfded，badcd1a1b1c1

14、zyxefg9 / 15a e a1 d c bb1 c1 d1 fxyz图135,sin11fded，所以5135262621,sin|211dfdedfdesefd，设 平面efd1的方程为：0dczbyx，将点fed,1代入得0222022204dbdbdc，232431dcb， 平面efd1的方程为：023243zyx，其法向量为)243, 1 ,1 (n， 点1b到平面efd1的距离516|11nnbdd，31651653131111dsvefdefdb即为所求评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式222000|cbadczbyaxd计算得到（2） 法向

15、量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外， 还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等二、112 63分析：设正方体棱长为2，以1d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)d e，1(2,0, 2)c b，设1d e和1bc公垂线段上的向量为(1, ,)n，则1100n d en c b，即20220，21，(1, 2,1)n，又11(0,2,0)d c，1142 636d cnn，所以异面直线1d e和1bc间的距离为2 631236分析：以d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则11(1,0,0),(0,0),(1,1)22afe10 / 15

16、1(0,1)2ae，1( 1,0)2af；设面1aec f的法向量为(1, ,)n，则有：0,0naen af，102211102，(1,2,1)n，又(0,1,0)ab，所以点b到截面1aec f的距离为ab nabn=26316131；解：如图建立空间直角坐标系，db（1，1，0） ，df（0，21，1） ，1da （1，0，1）设平面 dbef的法向量为n（x，y，z） ，则有：n0db即xy0 n0df21yz0 令 x1, y=1, z=21, 取n （1， 1，21） ， 则 a1到平面 dbef的距离11ndanh14510解：如图建立空间直角坐标系，ab（0，1，0） ，1ad

17、（ 1，0，1） ，ae（0，21，1）设平面 abc1d1的法向量为n（x，y，z）, 由0abn可解得n（1，0，1）01adn设直线 ae 与平面 abc1d1所成的角为 ，则z x ba1 yf e b1 c1d1 d c a e z x d1 ya c1 b1 a1 bdc zyxd1 a1 d b1 c1 c ba 11 / 15510sinnaenae，三、15 解：如图建立空间直角坐标系，11ca（ 1，1，0） ，ba1（0，1，1）设1n 、2n 分别是平面 a1bc1与平面 abcd 的法向量，由011ban可解得1n（1，1，1）0111can易知2n （0，0，1）

18、，所以，212121,cosnnnnnn33所以平面 a1bc1与平面 abcd 所成的二面角大小为arccos33或arccos33注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小16证明：如图建立空间直角坐标系，则11ca（ 1，1，0） ，cb1（1，0，1）da1（1，0，1） ，ab1（0，1，1）设111caea，dafa11，abmb11（、r ，且均不为 0）设1n 、2n 分别是平面 a1ef 与平面 b1mc 的法向量，由011ean可得0111can即0111canfye

19、mxzd1 c1 b1 a1 c d ba 12 / 15011fan011dan011dan解得：1n（1，1，1）由012mbn可得012abn即012abn012cbn012cbn012cbn解得2n （ 1，1，1） ，所以1n 2n ，1n 2n ，所以平面 a1ef平面 b1mc注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n 2n021nn来证明17 （1）证明：pa平面 abcd，paab，又 abadab平面 pad又aepd，pd平面 abe，故 bepd（2）解：以 a 为原点， ab、ad、ap 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 c、d 的

20、坐标分别为（ a，a，0） ， （0，2a，0） p a平面 abcd，pda 是 pd 与底面 abcd 所成的角， pda=30 于是，在 rtaed 中，由 ad=2a，得 ae=a过 e 作 efad，垂足为 f，在rtafe 中，由 ae=a，eaf=60 ，得 af=2a，ef=23a，e（0，23,21aa）于是，cdaaae,23,21,0=a，a，0 设ae与cd的夹角为 ，则由cos =|cdaecdae420)()23()21(002321)(0222222aaaaaaaaae 与 cd 所成角的余弦值为42评述：第（ 2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，

21、求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段18解： （1）略13 / 15（2）如图，建立空间直角坐标系dxyz, 则知 b（1，1，0） ，).1 ,21,0(),1 , 1 ,21(fe设.),(的法向量是平面 bdefzyxn) 1 ,21,0(),0 ,1 ,1(,dfdbdfndbn由得0210zydfnyxdbn则.21yzyx令)21, 1 , 1(, 1ny得设点 a1在平面 bdfe 上的射影为 h，连结 a1d，知 a1d 是平面 bdfe 的斜线段.23)21)(1(10)1)(1(),1,0, 1(1nadda.1222,cos|.2223223|,cos,2

22、3)21(1)1(| ,2)1()1(|111111112222221hadadahandandahadanoda又即点 a1到平面 bdfe 的距离为 1（3）由（ 2）知， a1h=1，又 a1d=2，则 a1hd 为等腰直角三角形，4511hdadha.45,11111dhabdfedadhabdfedahdbdfeha所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面19解：建立坐标系如图，则2,0,0a、2,2,0b，0,2,0c，12,0,2a，12,2,2b，10,0,2d，2,1,0e，12,2,2ac，12,1, 2d e，0,2,0ab，10,0,2bb（）不难证明1ac为平面 b

23、c1d 的法向量，1111113cos,9ac d eac d eac d ed1e 与平面 bc1d 所成的角的大小为3arccos29（即3arcsin9） a1b1c1d1a b c d e x y z 14 / 15（）1ac、ab分别为平面 bc1d、bc1c 的法向量，1113cos,3ac abac abac ab，二面角 dbc1c 的大小为3arccos3（） b1d1平面 bc1d， b1d1与 bc1之间的距离为1112 33ac bbdac20(证明（ 1）用纯粹的几何方法要辗转证明efac，egb1c，fgab1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了) (1)分析：要证平面 efg平面acb1，由题设知只要证 bd1垂直平面 acb1即可证明：以d为坐标原点， 建立空间直角坐标系， 如图5，不妨设正方体棱长为 a，则a（a，0，0） ，b（a，a，0） ，c（0，a，0） ，d1（0，0，a） ，b1（a，a，a） ，e（xe，0，a） ，f（0，yf，a） ，g（0，0，zg） 1bd=（a，a，a） ，1ab=（0，a，a） ， ef （xe，yf，0） ，