初二数学因式分解知识点及基础练习题

1、名师总结优秀学问点整式乘除与因式分解概述定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式；意义： 它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多数学问题的有力工具；因式分解方法敏捷，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是把握因式分解内容所必需的，而且对于培育同学的解题技能，进展同学的思维才能，都有着非常特殊的作用；学习它，既可以复习的整式四就运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培育同学的观看、留意、运算才能，又可以提高同学综合分析和解决问题的才能；分解因式与整式乘法互为逆变形；因式分解的方法因式分解没有普遍的方法

2、，中学数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法；而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等；留意三原就1分解要完全2最终结果只有小括号3最终结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x3x-1）基本方法提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式；假如一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法；详细方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而

3、且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项 式的次数取最低的；假如多项式的第哪一项负的，一般要提出“- ”号，使括号内的第一项的系数成为正数； 提出 “-”号时，多项式的各项都要变号；例如： -am+bm+cm=-ma-b-c；ax-y+by-x=ax-y-bx-y=x-ya-b；留意：把2a2+1/2变成2a2+1/4不叫提公因式公式法假如把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式： a 2-b 2 =a+ba-b；完全平方公式： a 2 ±2ab b2 a ±b 2 ；留意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必需是三项式，其中有两项

4、能写成两个数 或式 的平方和的形式，另哪一项这两个数或式 的积的2 倍；立方和公式： a 3+b 3 =a+ba2 -ab+b 2 ；名师总结优秀学问点立方差公式： a 3-b 3 =a-ba2 +ab+b 2 ；完全立方公式 ： a 3 ±3a 2 b 3ab 2±b 3=a ±b 3 公式： a 3 +b 3 +c 3 =a+b+ca 2 +b 2+c 2-ab-bc-ca 例如： a 2 +4ab+4b 2 =a+2b 2；（ 3 ）分解因式技巧1. 分解因式与整式乘法是互为逆变形；2. 分解因式技巧把握：等式左边必需是多项式；分解因式的结果必需是以乘积的形

5、式表示；每个因式必需是整式，且每个因式的次数都必需低于原先多项式的次数；分解因式必需分解到每个多项式因式都不能再分解为止；注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑；3. 提公因式法基本步骤：（ 1 ）找出公因式；（ 2 ）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可依据确定公因式的方法先确定系数在确定字母；其次步提公因式并确定另一个因式，留意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同；一、学问点总结：1、单项式的概念：由

6、数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数；如：2a 2 bc 的 系数为2 ，次数为4，单独的一个非零数的次数是0；2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式；多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数；如： a 22 abx1 ，项有a 2 、2ab 、 x 、1，二次项为a 2 、2ab ，一次项为x ，常数项为 1，各项次数分别为2，2， 1， 0，系数分别为1， -2，1， 1，叫二次四项式；3、整式： 单项式和多项式统称整式；留意：凡分母含有字母代数式都不是整式；也不是单项式和多

7、项式；4、多项式按字母的升（降）幂排列：如： x32 x2 y 2xy2 y 31按 x 的升幂排列：12 y 3xy2 x2 y 2x3按 x 的降幂排列：x32 x 2 y 2xy2 y 313按 y 的升幂排列：1 x 3xy2 x 2 y 22 y3按 y 的降幂排列：2 y32 x2 y 2xyx1名师总结优秀学问点5、同底数幂的乘法法就：am ana m n （ m, n 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；留意底数可以是多项式或单项式；如： ab2 ab 3ab 56、幂的乘方法就： a m na mn （ m, n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘；如：35

8、2310幂的乘方法就可以逆用：即a mna m n a n m如： 4 64 2 34 3 27、积的乘方法就：nabnnna b（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积；如：（32552 xyz= 23 5 x 255 yz1510532 xyz8、同底数幂的除法法就：a ma na m n （ a0,m, n 都是正整数，且mn同底数幂相除，底数不变，指数相减；如： ab 4abab3a 3b 39、零指数和负指数；a 01 ，即任何不等于零的数的零次方等于1；p1a p （ aa倒数；0, p 是正整数） ，即一个不等于零的数的p 次方等于这个数的p 次方的如： 2 3 1 312810

9、、单项式的乘法法就：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，就连同它的指数作为积的一个因式；留意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再运算肯定值；相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法就；只在一个单项式里含有的字母，就连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法就对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式；如：2x 2 y3 z3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 mab cmambmc m, a,b,c 都是单项式 留意：名师总结优秀学问点积是一个多项式，其项数与多项式的项数相

10、同；运算时要留意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时，要留意运算次序，结果有同类项的要合并同类项；如： 2 x 2x3 y3 y xy12、多项式与多项式相乘的法就；多项式与多项式相乘， 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加；3a如：2b a3bx5 x613、平方差公式： ab aba 2b 2 留意平方差公式绽开只有两项公式特点： 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；如： xyz xyz14、完全平方公式：2ab 22a2 abb公式特点： 左边是一个二项式的完全平方，右边

11、有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另哪一项左边二项式中两项乘积的留意：2 倍；a 2b 2ab 22abab 22ab2 ab2 ab4 abab 2ab 2ab 2ab 2ab 2ab 2完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2 倍；15、三项式的完全平方公式：abc 2a 2b 2c 22 ab2ac2bc16、单项式的除法法就：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，就连同它的指数作为商的一个因式；留意：第一确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，假如只在被除式里含有的字母，就连同它的指数作为商的一个因式如：7a

12、2 b4 m49a 2 b17、多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加；即： ambmcmmammbmmcmmabc18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法名师总结优秀学问点三、学问点分析：1.同底数幂、幂的运算：·am an=am+n m， n 都是正整数 .amn=amn m， n 都是正整数 .例题 1. 如 2 a 264 ，就 a=；如 273 n38 ，就 n=例题 2. 如 5 2 x 1125 ，求 x22021x 的值；例题 3.运算xnm322 y2 yx练习1.如a 2 n3，就a

13、 6n =.2.设 4x =8y-1 ,且 9y=27 x-1 ,就 x-y 等于；2.积的乘方abn =anbnn 为正整数 . 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.3p例题 1.运算：nm3. 乘法公式4pmnnm平方差公式：ababa 2b 2完全平方和公式：完全平方差公式：22abaab 2a 222abb2abb 2例题 1. 利用平方差公式运算：2021×2007 20212例题 2.利用平方差公式运算：200722007202120063.（ a 2b 3cd）（ a 2b 3c d）5. 因式分解：1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式；例

14、 1 把 2ax10ay5bybx 分解因式分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列， 然后从两组分别提出公因式2a 与b ，这时另一个因式正好都是x5y ，这样可以连续提取公因式解： 2ax10 ay5bybx2a x5 yb x5 yx5 y2 ab说明： 用分组分解法， 肯定要想想分组后能否连续完成因式分解，由此合理挑选分组的方法此题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试名师总结优秀学问点例 2 把 abc2d 2 a 2b 2 cd 分解因式分析： 依据原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解： abc2d

15、 2 a 2b 2 cdabc 2abd 2a 2 cdb 2 cd2abc222a cd b cdabdacbcad bd bcad bcad acbd 说明： 由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了安排律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2. 公式法： 依据平方差和完全平方公式例题 1 分解因式9 x225 y23.配方法：例 1 分解因式x26 x16解： x26x16x22x3323216 x3252 x35 x35 x8 x2说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两

16、个平方式，然后用平方差公式分解当然，此题仍有其它方法，请大家试验4.十字相乘法：（ 1）x2 pq xpq 型的因式分解这类式子在很多问题中常常显现，其特点是：(1) 二次项系数是1；2 常数项是两个数之积；3 一次项系数是常数项的两个因数之和x2 pq xpqx2pxqxpqx xpq xp xp xq 因此，x2 pq xpq xp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式例 1 把以下各式因式分解：1x27x6(2)x213x36解： 1616,167x27 x6x1 x 6 xx 1 6 名师总结优秀学问点23649,4913x21 3x3 6x4x 9 说明

17、： 此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同例 2 把以下各式因式分解：1x25x242x22 x15解： 12438,385x25 x2 4x3 x 8 xx 3 8 21553,532x22 x1 5x5 x 3 xx5 3 说明： 此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中肯定值较大的因数与一次项系数的符号相同例 3 把以下各式因式分解：(1) x2xy6 y2(2)x2x 28 x2x12分析： 1 把 x2xy6 y2 看成 x 的二次三项式，这常常数项是6 y2 ，一次项系数是y ，把6 y2 分解成 3 y 与2 y 的

18、积，而 3 y2 yy ，正好是一次项系数2由换元思想，只要把x2x 整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式a 28a12 解： 1x2xy6 y2x2yx6 2 x3 y x2 y2 x2x28 x2x12 x2x6 x2x2 x3x2 x2 x1（ 2）一般二次三项式ax2bxc 型的因式分解大家知道， a xc a xc a a x2a ca c xc c 1122121 22 11 2反过来，就得到：a a x2a ca c xc ca xc a xc 1 21 22 11 21122我们发觉， 二次项系数a 分解成a1a2 ，常数项 c 分解成c1c2 ，把 a1a,

19、 2 c,1,c2写成 a1a2c1 ，c2名师总结优秀学问点这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2 c1 ，假如它正好等于ax2bxc 的一次项系数 b ，那么ax2bxc 就可以分解成a xc a xc ，其中 a ,c 位于上一行， a , c11221122位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必需留意， 分解因数及十字相乘都有多种可能情形，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 4 把以下各式因式分解：112x25x225x2解： 112x25x23 x24 x16xy8 y2324112y2225

20、 x6 xy8 yx2 y5 x4 y54 y说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要 当二次项系数不是 1 时较困难， 详细分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，如原常数为负数，用减法 ”凑”，看是否符合一次项系数，否就用加法 ”凑”，先 ”凑”肯定值，然后调整，添加正、负号金云梯训练基础练习题一、填空题：2 a 33 2a= 3 a3 2a ；名师总结优秀学问点12如 m2 3m 2=m am b ，就 a= ， b= ；15、当 m= 时， x2 2m 3x 25 是完全平方式16、分解因式：4a 21= ;2、分解因式：x29 = 17、分解因式：x236 ；4、因式分解

21、：x34 x2 y = ；18、分解因式：x45 x 24 ； 6、分解因式：6 x27 x5 = .19、分解因式：5x5x3.8、分解因式3x3 12x2y 12xy 222220 、 分 解 因 式 ： ax +ay -2axy-ab=； 10 、 因 式 分 解 ：x32x2x= 21、分解因式：2x3 y8 x2 y 28 xy3 = 22、分解因式：m2n 22mnp 2 23、如 6427 a3a 43a，就 a= ；24、在实数范畴内分解因式：2 x 24x1 二、判定题（1） x2 xyy2yxxyx2y 2 .（）2（2） xx1是完全平方式；（）4（3） 2a 211a5

22、2a1a5 .（）名师总结优秀学问点（4） 5xy93x15yx3 5y3 .（）三、挑选题1以下各式的因式分解结果中，正确选项22a a b 7abb ba 7ab 3x2y 3xy 6y=3yx 2x 12c 8xyz 6x2y 2xyz4 3xyd 2a22 4ab 6ac 2aa 2b 3c 2多项式mn 2 m2 n 分解因式等于a n 2m m2b n 2m m2c mn2m 1d mn2m 1 3在以下等式中，属于因式分解的是a ax y bm n ax bm ay bn222b a 2ab b 1=a b 1c 4a22 9b2 2a 3b2a 3b d x 7x 8=xx 7

23、 84以下各式中，能用平方差公式分解因式的是a a222 b2b a2 b222c a bd a b5如 9x2 mxy 16y2 是一个完全平方式，那么m的值是 a 12b ± 24c 12d ± 1236把多项式an+4an+1 分解得 4a ana ab an-1a 1c an+1a 1a 2 a 1d an+1a 1a 2 a 1名师总结优秀学问点7如 a2a 1，就 a42a3 3a2 4a3 的值为 a 8b 7c 10d 12228已知 x y 2x 6y10=0，那么 x ， y 的值分别为 a x=1， y=3b x=1， y= 3c x=1， y=3d

24、x=1 ， y= 324229把 m 3m 8m 3m 16 分解因 a m1222224 m 2 2b m 1 2m 2 2m2 3m22c m4m1d m 1m 2m 3m210把 x2 7x 60 分解因式，得a x 10x 6b x 5x 12c x 3x 20d x 5x 1211把 3x2 2xy 8y2 分解因式，得 a 3x 4x 2b 3x 4x 2 c 3x 4yx 2yd 3x 4yx 2y12把 a2 8ab 33b2 分解因式，得 2a a 11a 3b a 11ba 3b c a 11ba 3bd a 11ba 3b413把 x 3x 2 分解因式，得a x2 2x

25、 2 1b x 2 2x 1x 1c x2 2x 2 1d x 2 2x 1x 1214多项式x ax bx ab 可分解因式为a x ax bb x ax bc x ax bdx ax b名师总结优秀学问点15一个关于x 的二次三项式，其x2 项的系数是1，常数项是 12，且能分解因式，这样的二次三项式是 a x222 11x 12 或 x2 11x 12 b x x 12 或 x x 12c x2 4x 12 或 x 2 4x 12d以上都可以316以下各式x x x 1， xy xy x， x 2x y1， x2 3x 2x 1中，不含222222有x 1 因式的有 a 1 个b 2 个

26、c 3 个d 4 个17把 9x2 12xy 36y 2 分解因式为 a x 6y 3x 6x 3b x 6y 3x 6y3 c x 6y 3x 6y3 d x 6y 3x 6y 318以下因式分解错误选项22a a bc ac ab=a ba c b ab5a 3b 15=b 5a 3 c x 3xy 2x 6y=x 3yx 2d x26xy 19y2=x 3y 1x 3y12219已知 a2x ± 2x b是完全平方式，且a，b 都不为零，就a 与 b 的关系为 a 互为倒数或互为负倒数b 互为相反数c相等的数d 任意有理数420对 x 4 进行因式分解，所得的正确结论是a 不能

27、分解因式b 有因式x2 2x2名师总结优秀学问点c xy 2xy 8d xy 2xy 842 242 221把 a 2a b b a b分解因式为 a a2 b2ab 2b a 2 b2 aba 2 b2ab2222222c a b aba b abd a b ab22 3x 1x 2y 是以下哪个多项式的分解结果a 3x2 6xy x 2yb 3x2 6xy x 2y22c x 2y 3x 6xyd x 2y 3x 6xy 23 64a8b2 因式分解为 4422a 64a ba bb 16a b4abc 8a4 b8a 4 bd 8a 2 b8a 4 b24 9x y2 12x 2 y2

28、4x y 2 因式分解为 22a 5x yb 5x y2c 3x 2y3x 2yd 5x 2y225 2y 3x 23x 2y 1 因式分解为 a 3x 2y 12b 3x 2y 1 2c 3x 2y 12222d 2y 3x 1 2226把 a b 4a b 4a b分解因式为 a 3a b2b 3b a 222c 3b ad 3a b27把 a2b c 2 2aba cb c b2a c 2 分解因式为 a ca b2b ca b2c c2a b2d c2a b28如 4xy 4x2 y2 k 有一个因式为 1 2x y ，就 k 的值为 a 0b 1名师总结优秀学问点c 1d 4222229分解因式3ax 4b y 3b x 4a y ，正确选项 a a2 b23x 4yb a ba b3x 4yc a2 b23x 4yd a ba b3x 4y30分解因式2a24ab 2b2 8c 2，正确选项 a 2a b 2cb 2a b ca bc c 2a b 4c2a b 4cd 2a b2ca b2c31、把多项式1x 1xx1