高数--二重积分的基础理解教学资料

1、高 数 论 文 - - 二 重 积 分的 基 础 理 解精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 高 数 论 文题目：二重积分的基础理解姓名：陈锡专业班级：电子信息 07 学号： 1309090705 指导老师：严 国 义精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 1. 引言解析几何是代数与几何的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表达成为可能，从而为微积分搭建了舞台。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。二重积分是一种，不能说是最重要的一种，但是理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二

2、重积分的取值范围，是高数微积分学习中重要的一部分。2. 二重积分的定义设是有界闭区域上的有界函数。将闭区域任意分为小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点，作乘积，并作和，如果当小闭区域的直径中的最大者趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重职分，记作，即。其中：叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和，称为二重积分号精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4 3. 相关定理及性质二重积分的存在定理若 f(x,y)在有界闭区域 d 上连续，则 f(x,y)在 d 上的二重积分必存在 (即 f(x,

3、y)在 d 上必可积 ). 若有界函数 f(x,y)在有界闭区域 d 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则 f(x,y)在 d 可积. 二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 d 上都是可积的 . 性质 1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即( , )( , )d( , )d( , )d .dddf x yg x yf x yg x y性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即( , )d( , )d ().ddkf x ykf x yk为常数性质 3 若 d 可以分为两

4、个区域d1,d2，它们除边界外无公共点，则12( , )d( , )d( , )d .dddf x yf x yf x y性质 4 若在积分区域 d 上有 f(x,y)=1，且用 s(d)表示区域 d 的面积，则d().ds d性质 5 若在 d 上处处有 f(x,y)g(x,y)，则有( , )d( , )d .ddf x yg x y精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5 推论( , )d( , ) d .ddf x yf x y性质 6(估值定理 ) 若在 d 上处处有 m f(x,y)m ，且 s(d)为区域 d 的面积，则()(,)d().dmsdfx ymsd性质 7

5、(二重积分中值定理 ) 设 f(x,y) 在有界闭区域 d 上连续，则在 d 上存在一点( , ),使( , )d( , ) ().df x yfs d4. 二重积分的计算方法直角坐标系中二重积分计算当被积函数 f(x,y)0且在 d 上连续时 ,：若 d 为 x - 型区域12( )( ):xyxdaxb则21()( )( , )ddd( , )dbxdaxf x yxyxf x yy若 d 为 y 型区域12( )( ):yxydcyd, 则21( )()( , )d dd( , )ddydcyf x yx yyf x yx说明:若积分区域既是 x 型区域又是 y 型区域 , 则有: 22

6、11()()()( )( , )ddd( , )dd( , )dbxdydaxcyf x yxyxf x yyyf x yx利用极坐标系计算二重积分在极坐标系下 , 用同心圆 r=常数及射线 =常数, 分划区域 d 为(1,2, )kkn。则( , )d( cos , sin) d dddf x yf rrrr精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6 特别地若12( )( ):,rd则有21()( )( cos , sin) d dd( cos , sin ) ddf rrrrf rrrr若0( ):rd则有( )0( cos , sin) d dd( cos , sin) ddf

7、 rrrrf rrrr若0( ):02rd则有2()00( cos , sin )d dd( cos , sin) ddf rrrrf rrrr5. 二重积分的应用二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。(1) 空间立体的体积v 设空间立体由曲面1:( , )zf x y与2:( ,)zg x y所围成，在xoy面投影为平面区域d，并且( , )( , )f x yg x y.则( , )( , )ddvf x yg x y或vdv. (2)曲面面积 s 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7 设光滑曲面为:( ,)zz x y，则221dxdyxyxydszz，其中xyd为在xoy面上的投影区域。同理可得：设光滑曲面为:( , )xx y z，则221dydzyzyzdsxx，其中yzd为在yoz面上的投影区域。设光滑曲面为:( , )yy x z，则221dxdzxzxzdsyy，其中xzd为在xoz面上的投影区域。(3) 平面薄片的质量设平面薄片的面密度为( , )x y，物体所占区域为d，则它的质量为( , )dmx y d，其中( ,