高等数学(下册)试题及答案(精讲版)

1、高等数学（下册）试题及详细答案（精讲版）一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）1向量 a=1,1,2 与 y 轴的夹角为（）a6b4c3d2【答案】 c 【解析】本题考查了向量与坐标轴的夹角。22211co s2211，所以2。【提醒】本题还可以转化为求两向量a=1,1,2与0, 1, 0之间的夹角。【点评】本题涉及内容是空间解析几何中的重点，考试热度：；大部分出现在选择题或填空题中。2函数 f (x, y)=22yx在点（ 0，0）处（）a连续b间断c可微d偏导数存在【答案】 a. 【解析】本题考查了二元函数的连续、偏导数与可微等概念。点（0，0）在初等函数f (x,

2、 y)=22yx的定义域内，故它在点（0，0）处连续。由于000, 00, 00, 0limlimxxxxfxffxx不存在，所以函数在（0,0）处偏导数不存在，从而在该点一定不可微。故本题选a。【提醒】记住以下结论：（1）二元初等函数在其定义域内的每一点都连续。（2）可微必定连续且偏导数存在，连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续，连续未必可微，偏导数存在也未必可微，偏导不存在一定不可微，偏导数连续是可微的充分不必要条件。【点评】本题涉及内容是多元函数微分学中的难点，考试热度：；大部分出现在选择题中。3设函数 p（x, y） ，q（x, y）具有连续的偏导数，且p (x，y)dx+q（x,

3、 y）dy 是某函数 u（x, y）的全微分，则（）axqypbxpyqcxqypdxpyq【答案】 a. 【解析】 本题考查了二元函数的全微分求积定理：设开区域g 是一单连通域， 函数 p （x, y） ，q（x, y）在 g内具有一阶连续偏导数，则p (x，y)dx+q（x, y）dy 是某函数 u（x, y）的全微分的充要条件是xqyp在 g 内恒成立。故本题选a。【提醒】若p（x，y）dx+q（x,y）dy=du(x,y) ，则称 p（x，y）dx+q (x,y)dy=0为全微分方程。显然，这时该方程通解为u(x,y)=c (c 是任意常数 )。【点评】本题涉及内容是求解全微分方程的基

4、础，大部分出现在选择、填空题中。考试热度：；【历年考题链接】（2007， 7） 3 设函数),(yxf具有连续的偏导数，且xdyyxfydxyxf),(),(是某个函数),(yxu的全微分，则),(yxf满足（）a0yfxxfyb0yfxfc0yfyxfxd0yfyxfx答案： c。4下列方程中，是一阶线性非齐次微分方程的是（）aydy=(x+y)dxbxdy=(x2+y)dxc9cos yxdxdyd32xydxdy【答案】 b。【 解 析 】 本 题 考 查 了 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 的 概 念 。 所 有 能 化 为()()()dypxyqxqxdx不恒为零）的方程

5、就是一阶线性非齐次微分方程。本题中的四个方程，只有选项b 中的方程能化为1d yyxd xx，故选 b。【提醒】若方程中出现了,yy的非线性函数（如本题选项c，d 中出现的2co s,yy），则此方程就不是线性方程。另外，一定要掌握此类方程的求解方法。【点评】本题涉及内容是微分方程中的重要概念，需牢记。一般以选择题的形式考查，考试热度：；【历年考题链接】 （2009， 10）4. 微分方程xy+y=x+3 是（）a. 可分离变量的微分方程b. 齐次微分方程c. 一阶线性齐次微分方程d. 一阶线性非齐次微分方程答案： d。5下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（）a15312nnnb11)1(1nn

6、nc151nnd11)1(nnn【答案】 d。【解析】本题考查了常见的数项级数的敛散性。由于212lim0353nnn，所以15312nnn发散；由于11nn发散，交错级数11(1)nnn收敛，所以11)1(1nnn发散。151nn为 p=5的 p 级数，发散。故选d。【提醒】（ 1）不论什么级数1nnu，若lim0nnu，则它一定发散。（2）p 级数11pnn，当1p收敛， 当1p发散。（3）交错级数11(1)nnnu的敛散性一般用莱布尼兹判别法：nu单调递减且趋于0，则收敛。【点评】本题涉及内容是考试的重点热点，常出现在选择题中。考试热度：；【历年考题链接】 （2010， 1）5.下列无穷

7、级数中发散的无穷级数是（）a.1n221n3nb. 1nn1n)1(c. 3n1nnln)1(d. 1n1nn32答案： a。二、填空题（本大题共5 小题，每小题2 分，共 10 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6在空间直角坐标系中，直线320zyxzyx的方向向量为 _. 【答案】1, 3,2。【解析】本题考查了如何从直线的一般式方程中得到直线的方向向量。直线320zyxzyx的方向向量为：11111111132.121211112ijkijkijk故本题答案可以是32ijk或者1, 3,2。后者是前者的简写形式。【提醒】要熟悉直线的点向式方程（对称式方程）、一般式方程

8、、参数式方程及它们之间的转换。【点评】本题涉及内容是考试的重点，常出现在各类题型中。考试热度：；【历年考题链接】 （2010，4）11.求过点 p(3,-1,0)并且与直线0321zyx垂直的平面方程。答案：250.xy7函数 f (x, y)=)1(ln122yx的定义域为 _. 【答案】22(,) 01xyxy。【解析】本题考查了二元函数的定义域求法。要是此函数有意义，则需满足：2222ln10 ,10 ,xyxy解得：2201xy，因此定义域为：22(,) 01xyxy【提醒】二元函数的定义域是平面的一部分，称为区域，一定要用平面点集的形式写出。如本题若填写2201xy，就是错误的。【点

9、评】本题涉及的内容是多元函数微分学的基本内容，常出现在选择和填空题中。考试热度：；8设积分区域d ： x2+y2 4，则二重积分ddxdyyxf)(22在极坐标中的二次积分为_. 【答案】22200()dfrr d r。【解析】本题考查了极坐标系下二重积分的计算。本题中，积分区域d 为以原点为圆心、半径为 2 的圆域，故d 可用不等式d=(,) 02 , 02rr来表示，应用公式(,)(co s,sin)ddfxy dxd yfrrrd rd得：ddxdyyxf)(22=22200()dfrr dr。【提醒】当被积函数中含有22xy，且积分区域为圆域，用极坐标计算较为方便。【点评】本题涉及内容

10、是考试的重点，常出现在填空题和计算题中。考试热度：。【历年考题链接】 （2009，10）15. 计算二重积分dyxdxdye22，其中积分区域d：x2+y22。答案：21e。9微分方程122yyyy的一个特解*y_. 【答案】12。【解析】本题考查了微分方程特解的概念。本题中的方程不是线性的，不是一个常见的方程，求特解没有固定的公式可以用。根据观察，12y满足微分方程122yyyy，故为它的一个特解。【提醒】注意微分方程通解、特解的定义，以及二阶常系数线性非齐次方程特解的求法。【点评】本题涉及内容是考试的难点，常出现在填空题和计算题中。考试热度：。10设函数f (x)是周期为2的函数， f(x

11、) 的傅里叶级数为112)sin)1()12cos()12(2(2nnnxnxnn则傅里叶系数a2=_. 【答案】0。【解析】本题考查了傅里叶系数和傅里叶级数的概念。若周期为2的函数 f(x) 的傅里叶级数为01(co ssin)2nnnaanxbn x，则由01()1() cos(1, 2 ,)1() sin(1, 2,)nnafx d xafxn xd x nbfxnxd x n定出的系数011,aab叫做函数f(x) 的傅里叶系数。由定义知，2a为式中co s 2 x的系数。由已知，f(x) 的傅里叶级数为112)sin)1()12co s()12(2(2nnnxnxnn，其中不含co

12、s 2n x，即co s 2 x的系数为零，因此2a=0。【提醒】谨记周期为2的函数的傅里叶系数的求法。（见解析）【点评】本题涉及内容是考试的重难点，常出现在填空题和计算题中。考试热度：。【历年考题链接】（2010，4） 22.设函数xxxxf0,0,0的傅里叶级数展开式为10sincos2nnnnxbnxaa,求系数 b7. 答案：17。三、计算题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）11已知直线l 过点 p(2,-1,-1),并且与平面: x-y+z=0 垂直，求直线l 的方程 . 【答案】211111xyz。【解析】本题考查了空间解析几何中直线方程的求法。一般是先找到一个已知

13、点，然后去寻求直线的方向向量，最后写出直线的对称式（点向式）方程。由题意，已知平面的法向量可作为直线的方向向量，即1,1,1s，所以直线的方程为：211111xyz。【提醒】只要与直线平行的任何非零向量都可以取成直线的方向向量；只要是与平面垂直的任何非零向量都可以取成平面的法向量。【点评】本题涉及内容是考试的重点，平面和直线的方程的建立是几乎每年必考的，常出现在填空题和计算题中。考试热度：。【历年考题链接】（2010,4） 11.求过点 p(3,-1,0)并且与直线0321zyx垂直的平面方程。答案：250 xy。12设函数z=x2+arctanxy,求xz和.2yxz【答案】22222222

14、2,zyzyxxxxyxyxy。【解析】本题考查了多元函数的偏导数的求法。222221122211xzyyyxxxxxxxyyyxx，2222222222222220zzzzyxyyyyxxxyyxyxyxyxy。【提醒】对于具体的多元函数，求偏导数和求一元函数的导数一样，对哪个变量求偏导，计算时就将其余的变量视为常数，直接将函数对此变量求导数即可。对于抽象的多元函数，求偏导数的时候要引入中间变量，画出结构图，再根据链式法则求偏导数。【点评】本题涉及内容是考试的重点，几乎是每年必考的，常出现在填空题和计算题中。考试热度：。【历年考题链接】 （2010,4）6.设函数yxyzcossin,则xz

15、. 答案：sinsinyxzy。13设函数z=xy+1，求全微分dz. 【答案】222222222,zyzyxxxxyxyxy。【解析】本题考查了二元函数的全微分。若二元函数(,)zfxy是可微的，则它的全微分为：(,)ffd zd fxydxdyxy。本题中， z=xy+1 ，因为11,lnyyzzyxxxxy，故它的全微分是：11lnyydzyxdxxxd y。【提醒】只要记住全微分的公式(,)ffdzd fxyd xd yxy，这类题其实是求两个偏导数。【点评】本题涉及内容是高等数学中的基本知识，必须掌握。这类题常出现在填空题和计算题中。考试热度：。【历年考题链接】 （2009,10）7

16、. 设函数 z=2x2+y2，则全微分dz=_. 答案：42d zxd xyd y。14设函数z=f (x, sin(2x+y), 其中 f (u, v)具有连续偏导数，求xz和yz. 【答案】2co s(2).co s( 2).uvvzzffxyfxyxy【解析】 本题考查了抽象的二元复合函数的偏导数的求法。先引入中间变量,u v：设,uxsin ( 2)vxy，则此函数是由(,),sin (2)zfu vux vxy复合而成。 根据链式法则（68 页）可得，1co s( 2)22co s(2)uvuvzzuzvffxyffxyxuxvx，0co s(2)1co s( 2)uvvzzuzvf

17、fxyfxyyuyvy。【提醒】求解这类题首先要引入中间变量，搞清函数的结构，然后按照链式法则展开即可。【点评】本题涉及内容是考试的热点，重在考查二元复合函数的结构和偏导数的计算。常出现在填空和计算题中。热度：。【历年考题链接】 （2010,1）12设函数 z=)x,xy(f，其中 f 是可微函数，求yz,xz. 答案：21,.uvuzyzfffxxyx15设函数f (x, y)=522yx，求 grad f (2，1). 【答案】255( 2 ,1),55fgr a d。【解析】 本题考查了多元函数梯度的求法。根据梯度的定义，函数(,)zfxy在点00(,)xy处的梯度为0000000000

18、(,)(,)(,) =(,),(,).xyxyfxyfxyfxyfxyfxygra dij了解到这一点，本题就转化成了求函数在指定点处的偏导数了。因为2222,fxfyxyxyxy222222515( 2 , 1 ),( 2 , 1 )552121xyff，所以有255( 2,1),55fgr a d。【提醒】函数(,)ufxyz在点000(,)xyz处的梯度为：00000000000000000000(,)(,)(,)(,)=(,),(,),(,).xyyxyzfxyfxyzfxyzfxyzfxyzfxyzfxyzgr adij +k【点评】上面的12,13,14 题以及本题中出现的概念不同

19、，但都与偏导数的计算有关，只要概念清楚了，偏导数的计算没有问题，它就显得比较简单。本题考试热度：。【历年考题链接】 （2010,1）14求函数 f(x,y,z)=xyz-x2-y2+3z 在点（ -1，-1, 2）处的梯度 . 答案：(1,1, 2 )0, 0, 4fgra d。16计算二重积分ddxdyyx)(，其中积分区域d 是由直线x+y=2，y=x 及 y=0 所围成的区域. 【答案】43。【解析】本题考查了平面直角坐标系下二重积分的计算。先应该画出积分区域，如下图阴影部分。它是一个y 型区域，故这个二重积分可以先对x 积分后对y 积分：y x y=x x+y=2 o 2 1 1201

20、201222010120()() =()1 =|222(22)222234 =yydyyyyyyxy d xdyd yxy d xxyd x d yxyxdyyyyd yyd y.3【提醒】要求直角坐标系下以及极坐标系下的二重积分的计算要熟练掌握，因为这些是积分学中的基本技能。【点评】本题涉及内容是考试的热点，重在考查学员二重积分的计算能力。这类题一般出现可以出现在各类题型中，选择、填空可能考查交换积分的次序等较容易的问题，计算题中主要考查计算能力。本题考试热度：。【历年考题链接】 （2010,1）16计算二重积分i=ddxdy)y2x(，其中 d 是由坐标轴和直线 x+y=4 所围成的区域

21、. 答案： 32。17计算三重积分ydxdydz，其中积分区域是由平面2x+3y+z=2 及坐标面所围成的区域. 【答案】12 7. 【解析】本题考查了平面直角坐标系下三重积分的计算。先分析积分区域。积分区域是由平面2x+3y+z=2 及坐标面所围成的区域，它位于第一卦限，在xoy 坐标面上的投影为平面 区 域 ：22(,) | 01, 033xyxyx， 区 域 中 变 量z的 变 化 范 围 是 ：0223zxy。然后来计算积分：221223330002213300221223330022310 =223 =|222222 =333333xxyxxyd xdydzd xdyyd zd xy

22、xyd yyxyydxxxxxd x1304104 =12 741 =1|2 741 =.2 7xd xx【提醒】一般来说，计算直角坐标系下的三重积分时，先看积分区域在一个坐标面（通常选 xoy 平面） 上的投影区域是什么，确定是什么型区域，继而得到两个变量的取值范围，然后要从已知的式子或图形中找到第三个变量的取值范围，积分限确定好了，最后计算积分。积分限的确定方法不止一种，限于篇幅，这里不展开陈述，希望学员们多看例题，多总结。【点评】本题涉及内容是考试的热点，重在考查直角坐标系下三重积分的计算方法。多出现在计算题中。另外，极坐标系下三重积分的计算同样重要，不容忽视。热度：。【历年考题链接】

23、（2010,1）17 计算三重积分i=dxdydz)zyx(222，其中积分区域：x2+y2+z2 1. 答案：45。18计算对弧长的曲线积分cyxdse2222，其中 c 是圆周 x2+y2=1. 【答案】22.e【解析】本题考查了对弧长的曲线积分的计算。曲线c 是圆周 x2+y2=1，它可用参数方程来表示：co s ,sin(02)xtytt。根据计算公式可得：2222222222 (c o s )2 (sin)02202cossin = =2.xyttcedsettd ted te【提醒】一般的，若曲线l 的方程为参数方程：( ),( )()xtytt，则22(,)( ),( )( )(

24、 ).lfxydsfttttdt【点评】对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分一样，几乎是每年必考的内容，需重点掌握。它们大都出现在计算题中。考试热度：。【历年考题链接】 （2008,4）18.计算对弧长的曲线积分l（2x-y+1）ds,其中 l 是直线 y=x-1上点（ 0， -1）到点（ 1，0）的直线段 . 答案：522。19验证对坐标的曲线积分cdyxyxdxyxy)4()32(324与路径无关，并计算)1,2()0,1(324)4()32(dyxyxdxyxyi【答案】 5。【解析】本题考查了平面上曲线积分与路径无关的条件以及对坐标的曲线积分的计算。曲线积分423( 23)(4)ccp

25、d xq d yxyyd xxxydy与路径无关的充要条件是：pqyx。 因 为3324,24pqxyxyyx， 所 以pqyx， 从 而 。 曲 线 积 分423(23)(4)ccp dxq d yxyyd xxxyd y与路径无关。由于积分与积分路径无关，为了方便计算， 可以取积分路径为：(1, 0 )(2 ,0 )( 2,1)，(1, 0 )(2 , 0 )时，12,0 xy；( 2, 0)(2 ,1)时，01,2yx，所以：)1,2()0,1(324)4()32(dyxyxdxyxyi=2123103( 242)3425dxyd y。【提醒】一般地，曲线积分cpd xq dy与路径无关

26、的充要条件是：pqyx。【点评】曲线积分无路径的无关性的考察大多出现在填空和计算题中，它和曲线积分的计算都是考察的重点，需熟练掌握。考试热度：。20求微分方程yedxdyx的通解 . 【解析】本题考查了一阶线性非齐次微分方程的通解的求法。先将此方程变为标准形式：xdyyedx，用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求通解：(1)(1 )22 =1 =21 =.2d xdxxxxxxxxyeeedxceedxceecec e【 提 醒 】 一 定 要 记 住 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程()()ypxyqx的 通 解 公 式 ：()()()pxdxpxd xyeqx ed xc。【点评

27、】本题设计内容是微分方程中的基本内容，这类题和二阶常系数线性微分方程的解法几乎是二者必考其一，需多加练习。考试热度：。21判断无穷级数1!nnnn的敛散性 . 【解析】本题考查了正项级数的敛散性的判断。当一个正项级数通项中含阶乘、乘方、指数函数等时，一般用比值审敛法来判断其敛散性。令!nnnun，由于11111limlim/limlim111 !nnnnnnnnnnnunneunnnn，所以无穷级数1!nnnn发散。22将函数4)(xxxf展开为 x1 的幂级数 . 【解析】本题考查了如何将一个函数展开为幂级数。这类题一般有两种方法求解：一种是直接法，一种是间接法。多考查利用间接法将一个函数展开为幂级数。需要学员们记住常见函数的幂级数展开式。本题，先将所给函数变形：4441()11114451515xfxxxxx，根据：01(1)(11)1nnnxxx，得00111(1)(11)15515(1) =1(46),5nnnnnnnxxxxx104441(1)()111141144515515nnnnxfxxxxxx， 其 中46x。【提醒】记住常见函数1,sin, cos, ln (1),(1)1xmxxxexx等的幂级数展开式。【点评】这类题是每年必考的，一般都是最后一道题。考试热度：。四、综合题（本大题共3 小题，每小题