高考数学一轮复习专题数列培优练习题

1、第 1 页，共 20 页高考一轮复习数列培优练习一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知数列 ?的通项公式是 ?=?-1?+1，那么这个数列是( )a. 递增数列b. 递减数列c. 常数列d. 摆动数列2.记?为等差数列 ?的前 n 项和若 ?4+ ?5= 24，?6= 48，则 ?的公差为()a. 1b. 2c. 4d. 83.已知等差数列 ?和等差数列 ?的前 n 项和分别为 ?，?且(?+ 1)?= (7?+23)?，则使?为整数的正整数n 的个数是 ()a. 2b. 3c. 4d. 54.在数列 ?中， ?1= 1，?+1-?= 2，则 ?50的值为 ()a. 99b. 98

2、c. 97d. 965.若两个等差数列?，?的前 n项和分别为 ?，?，且?=7?+45?+3(?)，则使得?为整数的正整数n 的个数是()a. 3b. 4c. 5d. 66.设等比数列 ?中，每项均为正数，且?3?8= 81，log3?1+ log3?2+ ? + log3?10等于 ()a. 5b. 10c. 20d. 407.已知数列 ?满足 ?1= 1，则其前 6 项之和为 ()a. 16b. 20c. 33d. 1208.若数列 ?为等比数列，且?1= 1，公比 ?= 2，则?=1?1?2+1?2?3+ ? +1?+1的结果为 ()a. 1 -14?b. 1 -12?c. 23(1

3、-14?)d. 23(1 -12?)第 ii 卷（非选择题）二、单空题（本大题共4 小题，共20.0 分）9.已知数列 ?满足 ?+12= ?2+ 4，且 ?1= 1，? 0，则 ?=10.设?是等差数列 ?的前 n 项和，若?5?3=59，则?9?5= _第 2 页，共 20 页11.已知等比数列 ?共有 2n 项，其和为 -240 ，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 ?=12.已知数列 ?的前 n 项和为 ?，?= 3?- 1，则数列 ?的通项公式为三、解答题（本大题共11小题，共132.0 分）13.已知数列 ?满足 ?1= 1，?+1= 2?+ 1(1) 证明数列 ?+ 1是等比

4、数列，并求数列?的通项公式 ;(2) 令?= 3?(?+ 1)，求数列 ?的前 n项和 ?14.已知数列 ?满足： ?1= 2，?+1= 2?+ 1(1) 证明：数列 ?+ 1为等比数列；(2) 求数列 ?的通项公式。15.已知数列 ?的前 n 项和 ?= 2?+1-2，数列 ?是首项为 ?1，公差为 ?(? 0)的等差数列，且 ?1，?3，?11成等比数列(1) 求数列 ?与?的通项公式；第 3 页，共 20 页(2) 设?=?，求数列?的前 n 项和 ?16.已知数列 ?是等差数列，数列?是等比数列，且?2= 3，?3= 9，?1= ?1，?14= ?4(1) 求数列 ?的通项公式 ;(2

5、) 设?= ?+ ?，求数列 ?的前 n 项和17.已知正项等比数列?满足 ?3- ?1= 24 ，?1?2?3?9= 345(1) 求数列 ?的通项公式 ;(2) 若数列 ?的公比为正整数，令?= (?+ 1)?，求数列 ?的前 n 项和 ?，并求满足 4?2017 的最小正整数n第 4 页，共 20 页18.已知数列?的前 n 项和为 ?，且 ?= 2?2+ ? ，?，数列?满足 ?=4log2?+ 3，?() 求?、?；() 求数列 ?的前 n 项和 ?19.已知等差数列 ?是递增数列，且?1?5= 9，?2+ ?4= 10(1) 求数列 ?的通项公式；(2) 若?=1?+1(?)，求数

6、列 ?的前 n 项和 ?20.已知数列 ?中， ?1= 1，? 0，前 n 项和为 ?， ?= ?+ ?-1(?，且?2).(1) 求数列 ?的通项公式；(2) 记?=3-?2?+1，求数列 ?的前 n 项和 ?第 5 页，共 20 页21.已知数列 ?的前 n 项和为 ?，且满足 2?- ?= 1(?) () 求数列 ?的通项公式；() 设?= log2(1 + ?)，求数列1?+1的前 n项和 ?22.已知 ?是等比数列，?是等差数列，且?1= 1，?1= 3，?2+ ?2= 7，?3+?3= 11 (1) 求数列 ?和?的通项公式；(2) 设?=?，?，求数列 ?的前 n 项和 ?23.

7、已知数列 ?的前 n 项和 ?= ?2- ? 第 6 页，共 20 页(1) 求数列 ?的通项公式；(2) 若数列 ?满足 ?+ log3?= log3?，求数列 ?的前 n 项和第 7 页，共 20 页答案和解析1.【答案】 a 【解析】【分析】本题考查了数列的单调性，属于基础题由 ?=?-1?+1=?+1-2?+1= 1 -2?+1即可得出【解答】解：由 ?=?-1?+1=?+1-2?+1= 1 -2?+1， 数列 2?+1是关于 n的单调递减数列， 数列 ?是关于 n 的递增数列，故选 a2.【答案】 c 【解析】【分析】本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和公式，属于简单题利用等差

8、数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出?的公差【解答】解： ?为等差数列 ?的前 n 项和，设公差为d，?4+ ?5= 24，?6= 48，?1+ 3?+ ?1+ 4?= 246?1+6 52?= 48,解得 ?1= -2 ，?= 4，?的公差为4故选 c3.【答案】 c 第 8 页，共 20 页【解析】【分析】本题考查等差数列的求和公式的应用，属中档题推出?=2?2?=?(?1+?2?-1)2?(?1+?2?-1)2=?2?-1?2?-1=14?+162?=7?+8?= 7 +8?，从而?为整数的正整数n 的可能取值为1，2，4，8，共 4 个【解答】解：由题意，

9、可得?=7?+23?+1，则?=2?2?=?(?1+?2?-1)2?(?1+?2?-1)2=?2?-1?2?-1=14?+162?=7?+8?= 7 +8?，经验证，知当?= 1，2，4，8时，?为整数，即使?为整数的正整数n 的个数是4故选 c4.【答案】 a 【解析】【分析】本题考查等差数列的判断以及通项公式，属于基础题?+1-?= 2， ?1= 1，得到数列 ?是等差数列，首项为1，公差为2，运用等差数列的通项，即可得到所求【解答】解： ?+1-?= 2，?1= 1， 数列 ?是等差数列，首项为1，公差为 2，则 ?= 1 + 2(?- 1) = 2?- 1，则 ?50= 2 50 -

10、1 = 99故选 a5.【答案】 c 【解析】【分析】本题考查等差数列的性质和前n项和公式及性质的应用，属于基础题由等差数列的性质和求和公式，将通项之比转化为前n 项和之比，验证可得【解答】第 9 页，共 20 页解：由等差数列的性质和求和公式可得：?=2?2?=?1+ ?2?-1?1+ ?2?-1=(2?-1)(?1+ ?2?-1)2(2?- 1)(?1+ ?2?-1)2=?2?-1?2?-1=7(2?-1) + 45(2?-1) + 3= 7 +12?+1，验证知，当 ?= 1，2，3， 5，11 时，?为整数故选 c6.【答案】c 【解析】 解： 等比数列 ?中，每项均为正数，且?3?8

11、= 81，log3?1+ log3?2+ ? + log3?10= ?3(?1?2?10) = ?3(?3?8)5= 5?3( ?3?8) = 5?381 = 20，故选： c利用等比数列的定义和性质，以及对数的运算性质，把要求的式子化为5?3(?3?8)，再把已知的条件代入运算求得结果本题主要考查等比数列的性质，对数的运算性质的应用，属于基础题7.【答案】 c 【解析】【分析】本题考查数列的前n 项和，属于基础题由递推关系分别求出该数列的前6 项，即可解得其前6 项之和【解答】由 ?1= 1，?2= 2?1= 2，?3= ?2+ 1 = 3，?4= 2?3= 6，?5= ?4+ 1 = 7，

12、?6= 2?5= 14，第 10 页，共 20 页 前 6 项和 ?6= 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 = 33故选 c8.【答案】 c 【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的求和，属于中档题利用等比数列的通项公式得?+1= 22?-1，再利用等比数列的求和计算得结论【解答】解： 等比数列 ?中，因为 ?1= 1，?= 2，?+1= 2?-1 2?= 22?-1，?=1?1?2+1?2?3+ ? +1?+1=12+123+125+ ? +122?-1?=121 - (14)?1 -14=23(1 -14?)故选 c9.【答案】 4?- 3【解析】【分析】本题考

13、查等差数列的通项公式由题得 ?2是等差数列，求出其通项公式，进而开根号可求得?【解答】解：由 ?+12= ?2+ 4，得 ?+12- ?2= 4， 数列 ?2是首项为1，公差为4 的等差数列，?2= 1 + (?-1) 4 = 4?- 3第 11 页，共 20 页? 0，?= 4?- 3故答案为： 4? -310.【答案】 1 【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题由?9?5=9( ?1+?9)25( ?1+?5)2=9?55?3可得答案【解答】解：在等差数列?中，由?5?3=59，得?9?5=9(?1+?9)25(?1+?5)2=9?55?3= 1故答案

14、为111.【答案】 2 【解析】【分析】本题主要考查等比数列的性质，属于中档题根据题意列出关于奇数项的和与偶数项的和的方程组，再由?=?偶?奇求出答案【解答】解：设数列奇数项的和、偶数项的和分别为?奇，?偶由题意得?奇+ ?偶= -240,?奇- ?偶= 80,?奇= -80 ，?偶= -160 ，?=?偶?奇=-160-80= 2第 12 页，共 20 页12.【答案】 ?= 2 ?3?-1【解析】【分析】本题考查数列的递推关系和通项公式，直接利用公式?= ?1,?= 1?- ?-1,? 2可求出数列 ?的通项公式，注意验证当?= 1时是否满足【解答】解：数列 ?的前 n项和为 ?，?= 3

15、?-1，当 ?= 1时， ?1= ?1= 3 -1 = 2;当 ?2时， ?= ?- ?-1= 3?-1 - 3?-1+ 1 = 2 ?3?-1，检验，当 ?= 1时， ?1= 2适合上式所以 ?= 2 ?3?-113.【答案】 解： (1) 由 ?+1= 2?+ 1可得 ?+1+ 1 = 2(?+ 1) ?1+ 1 = 2 0，?+ 1是首项为2，公比为2 的等比数列?+ 1 = 2 2?-1= 2?，?= 2?- 1(2) 由(1) 知?= 3? ?2?，?= 3 21+ 6 22+ 9 23+ ? + 3(?- 1) ?2?-1+ 3?2?，2?= 3 22+ 6 23+ 9 24+ ?

16、 + 3(?- 1) ?2?+ 3?2?+1，-?= 3 (21+ 22+ 23+ ? + 2?) - 3?2?+1?= (3?- 3) ?2?+1+ 6第 13 页，共 20 页【解析】 本题考查了等比数列的判定与证明，等比数列的通项公式，数列的求和方法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题(1) 先将 ?+1= 2?+ 1进行变形可得 ?+1+ 1 = 2(?+ 1)，结合 ?1+ 1 = 2 0，从而证明数列?+ 1是等比数列，并利用等比数列的通项公式求出数列?的通项公式 ;(2) 因为数列 ?的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式的乘积得到，所以可运用错位相减法求解数列?的前 n项和

17、 ?14.【答案】 解： (1) 证明： 数列 ?满足 ?1= 2，?+1= 2?+ 1，?+1+ 1 = 2(?+ 1) ， 数列 ?+ 1是等比数列，首项为3，公比为 2；(2) 由(1) 可得： ?+ 1 = 3 2?-1，可得 ?= 3 2?-1- 1【解析】 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题(1) 数列 ?满足 ?1= 1，?+1= 2?+ 1，变形为 ?+1+ 1 = 2(?+ 1)，即可证明；(2) 由(1) 可得： ?+ 1 = 3 2?-1，可得 ?= 3 2?-1- 115.【答案】 解： (1) 当 ?2时， ?= ?- ?

18、-1= 2?+1- 2?= 2?，又 ?1= ?1= 21+1- 2 = 2 = 21，也满足上式，所以数列 ?的通项公式为?= 2?由 ?1，?3，?11成等比数列， ?1= ?1= 2，得 (2 + 2?)2= 2(2 + 10?)，解得 ?= 0(舍去 )或?= 3，所以数列 ?的通项公式为 ?= 2 + 3(?-1) = 3?- 1(2) 由(1) 可得?=?1?1+?2?2+?3?3+. +?=221+522+823+. +3?-12?，第 14 页，共 20 页则2?= 2 +521+822+. +3?-12?-1，两式相减得 ?= 2 +321+322+. +32?-1-3?-1

19、2?，即 ?= 2 +32(1-12?-1)1-12-3?-12?= 5 -3?+52?【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的性质，考查利用错位相减法进行数列求和，难度一般(1) 根据已知前n 项和求通项的方法求出数列?的通项公式，再根据等比数列的性质求出数列 ?的通项公式；(2) 利用错位相减法数列求和即可16.【答案】 解： (1) 等比数列 ?的公比 ?=?3?2=93= 3，所以?1=?2?= 1，?4= ?3?= 27，?= ?1?-1= 3?-1设等差数列 ?的公差为d因为 ?1= ?1= 1，?14= ?4= 27 ，所以 1 + 13?= 27，即 ?= 2所以

20、 ?= 2?- 1(2) 由(1) 知?= 2? -1，?= 3?-1因此 ?= ?+ ?= 2? -1 + 3?-1从而数列 ?的前 n项和 ?= 1 + 3 + 5 + ? + (2?- 1) + 1 + 3 + 9 + ? + 3?-1=?(1+2?-1)2+1-3?1-3= ?2+3?-12【解析】 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，化简运算能力，属于中档题第 15 页，共 20 页(1) 设等差数列 ?的公差为d，等比数列 ?的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比和首项，进而得到所求通项公式；(2) 求得 ?= ?+ ?= (2?- 1

21、) + 3?-1.运用等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和17.【答案】 解： (1) 设等比数列 ?的公比为q，由 ?1?2?3?9= 345，有 ?19?36= 345，可得 ?1?4= 35，由 ?3-?1= 24可得 ?1(?2- 1) = 24，两式相除可得8?4- 81?2+ 81 = 0，整理得 (8?2-9)(?2-9) = 0，由 ? 0，可得 ?= 3或3 24，当 ?= 3时?1= 3，此时数列 ?的通项公式为?= 3?，当?=3 24时?1= 192，此时数列 ?的通项公式为?= 192 (3 24)?-1(2) 由题知 ?= (?+ 1) 3?，则 ?= 2 3

22、+ 3 32+ 4 33+ ? + ? 3?-1+ (?+ 1) 3?，3?= 2 32+ 3 33+ 4 34+ ? + ? 3?+ (?+ 1) 3?+1，两式作差得 -2?= 6 + 32+ 33+ ? + 3?-(?+ 1) 3?+1，则 2?= (?+ 1) 3?+1-3 -3(1-3?)1-3=(2?+1)3?+1-32，故 ?=14(2?+ 1) 3?+1- 3 当 4?2017 时， (2?+ 1) 3?+1-3 2017 ，即 (2?+ 1) 3?+12020 ，令函数 ?(?) = (2?+ 1) 3?+1(?)，易知 ?(?) 为增函数，因为 ?(3)= 7 34= 56

23、7，?(4)= 9 35= 2187 ，所以满足4?2017 的最小正整数n 为 4【解析】 本题重点考查数列 等比数列 等比数列的通项公式，属于中档题。第 16 页，共 20 页(1) 设等比数列 ?的公比为q，由 ?1?2?3?9= 345，可得 ?1?4= 35，由 ?3- ?1=24 可得 ?1(?2- 1) = 24，整理得 (8?2-9)(?2- 9) = 0，由 ? 0，可得 ?= 3或324，当 ? = 3时?1= 3，此时数列 ?的通项公式为 ?= 3?，当?=324时?1= 192，此时数列 ?的通项公式为?= 192 (3 24)?-1(2) 由题知 ?= (?+ 1)

24、3?，则 ?= 2 3 + 3 32+ 4 33+ ? + ?3?-1+ (?+1) 3?，3?= 2 32+ 3 33+ 4 34+ ? + ?3?+ (?+ 1) 3?+1，两式作差得-2?= 6 + 32+ 33+ ? + 3?- (?+ 1) 3?+1，则 2?= (?+ 1) 3?+1-3 -3(1-3?)1-3=(2?+1)3?+1-32，故 ?=14(2?+ 1) 3?+1-3当 4?2017 时， (2?+ 1) 3?+1-3 2017 ，即 (2?+ 1) 3?+12020 ，令函数?(?) = (2?+ 1) 3?+1(?)，易知 ?(?) 为增函数，因为?(3)= 7 3

25、4= 567，?(4) = 9 35= 2187 ，所以满足 4?2017 的最小正整数n 为 418.【答案】 解： ( )因为 ?= 2?2+ ?, ?，当 ?= 1时， ?1= ?1= 3，当 ?2时， ?= ?- ?-1= 4?- 1，?1也符合上式，所以 ?= 4?- 1，?，由 4?- 1 = ?= 4log2?+ 3，得 ?= 2?-1，?；( )由 () 知?= (4?- 1)2?-1，?，所以 ?= 3 20+ 7 21+ ? + (4?- 1)2?-1，2?= 3 21+ 7 22+ ? + (4?-1)2?，第 17 页，共 20 页两式相减得：-?= 3 + 4 (21

26、+ 22+ ? + 2?-1) -(4?- 1) 2?= 3 +4 2(1-2?-1)1-2- (4?- 1) 2?，所以 ?= (4?- 5) 2?+ 5，?【解析】 本题考查了数列的求和公式，数列的通项公式，错位相减求数列的和，属于中档题( )先由 ?= ?1?,?= 1?-?-1?,? 2，求出 ?的通项公式，再由对数的运算即可求出 ?的通项公式；( )由 () 知?= (4?- 1)2?-1，?，利用错位相减法进行数列求和，即可得出 ?19.【答案】 解： (1) 由 ?1?5= 9，?2+ ?4= 10，则 ?1 ?5= 9?1+ ?5= ?2+ ?4= 10,解得： ?1= 9?5

27、= 1或?1= 1?5= 9,由于数列为递增数列，则： ?1= 1，?5= 9故： ?= 2，则： ?= 1 + 2(?-1) = 2?-1(2) 由于 ?= 2?- 1，则： ?=1?+1=1(2?-1)(2?+1)=12(12?-1-12?+1) 所以： ?= ?1+ ?2+ ? + ?=12(1 -13+13-15+ ? +12?- 1-12? + 1)=12(1 -12?+1) =?2?+1第 18 页，共 20 页【解析】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题(1) 根据等差数列性质求出?1与?5，进而可得公差，即可得通项公式(2)

28、 利用 (1) 的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和20.【答案】 解： (1) 在数列 ?中， ?= ?-?-1(? 2) ，?= ?+ ?-1 且? 0， 式 式得： ?- ?-1= 1(?2) ， 数列 ?是以 ?1=?1= 1为首项，公差为1 的等差数列， ?= 1 + (?-1) = ? ，?= ?2，当 ?2时， ?= ?- ?-1= ?2- (?- 1)2= 2? -1，当 ?= 1时， ?1= 1，也满足上式， 数列 ?的通项公式为 ?= 2?- 1;(2) 由(1) 知， ?= 2? - 1，?=2-?2?，则 ?=12+022+-123+ ? +2-?2?12?=122

29、+023+-124+ ? +3 - ?2?+2 -?2?+1两式相减得，12?=12+-122+-123+ ? +-12?-2-?2?+1，=12-(122+123+ ? +12?) -2-?2?+1，=12-122-12?121-12-2-?2?+1=?2?+1，?=?2?【解析】 本题考查由数列的递推关系求数列的通项公式，以及由错位相减法求和，属于中档题 .其中利用前n 项和与通项的关系式与已知式子作商得到?是等差数列是关键(1) 由?= ?- ?-1(? 2)，得数列 ?是以 ?1=?1= 1为首项，公差为1 的等差数列，应用等差数列的通项公式得前n 项和公式，进而得通项公式；第 19

30、页，共 20 页(2)?=2-?2?，则可利用错位相减法求得结果21.【答案】 解： ( ) 2?- ?= 1，令 ?= 1，解得 ?1= 1，?2，又 2?-1-?-1= 1，两式相减，得?= 2?-1，?是以 ?1= 1为首项， ?= 2为公比的等比数列，?= 2?-1；( ) 1 + ?= 2?，?= ?2(1 + ?) = ?22?= ? ，1?+1=1?(?+1)=1?-1?+1?=112+123+ ? +1?(?+1)= (1 -12) + (12-13) + ? + (1?-1?+1) = 1 -1?+1=?+1【解析】 ( )先求数列的首项，再研究数列?相邻项的关系，得出通项公式；( )先求 ?，再