高考数学三轮冲刺专题23分类讨论、转化与化归思想专项讲解与训练

1、1 专题 23. 分类讨论、转化与化归思想一分类讨论思想思想解读应用角度分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终集合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想1. 由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、 不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等2. 由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等3

2、. 由性质、 定理、 公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等4. 由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等5. 由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等分类讨论的原则：(1) 不重不漏； (2) 标准要统一，层次要分明；(3) 能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论已知a，b0，且a1，b1. 若 logab1，则 ( ) a(a1)(b1)0 c(b1)(ba)0 【答案】d 【解析】根据题意， logab1? logablogaa0?

3、 logaba0?0a10ba1ba1，即0a10b1ba. 当0a10ba时，0ba1，所以b10，ba1ba时，ba1，所以b10，ba0. 所以 (b1)(ba)0，故选 d. 应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1 进行讨论，这是由它的性质决定的在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一【对点训练】2 1(2019 太原模拟 ) 已知函数f(x)2x12，x1，log2（x1），x1，且f(a) 3，则f(6 a) ( ) a74b54c34d14【答案】 a. 【解析】当a1 时不符合题意，所以a1

4、，即 log2(a1) 3，解得a7，所以f(6 a) f( 1) 2 2274. 设f1，f2是椭圆x29y24 1 的两个焦点，p为椭圆上一点已知p，f1，f2是一个直角三角形的三个顶点，且 |pf1|pf2| ，则|pf1|pf2|的值为 _【答案】72或 2 【解析】若pf2f190，则|pf1|2 |pf2|2 |f1f2|2，又由题意可知|pf1| |pf2| 6，|f1f2| 25，解得 |pf1| 143，|pf2| 43，所以|pf1|pf2|72. 若f1pf290，则|f1f2|2|pf1|2|pf2|2，所以 |pf1|2(6 |pf1|)2 20，解得 |pf1| 4

5、 或 2，又|pf1|pf2| ，所以 |pf1| 4，|pf2| 2，所以|pf1|pf2|2. 综上知，|pf1|pf2|的值为72或 2. 3 (1) 本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论(2) 涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论【对点训练】2(2019 合肥第一次质检) 设圆x2y22x2y 20 的圆心为c，直线l过(0，3) 与圆c交于a，b两点，若|ab| 23，则直线l的方程为 ( ) a3x4y 120 或 4x3y9 0 b3x4y 120 或x0 c4x3y 90 或x0 d3x4y 1

6、20 或 4x3y9 0 【答案】 b. 【解析】当直线l的斜率不存在时，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k2|k2 11，解得k34，综上，直线l的方程为x0 或 3x4y12 0，选 b. (2016高考全国卷 ) 已知函数f(x) (x 1)ln xa(x1) (1) 当a4 时，求曲线yf(x) 在(1 ，f(1) 处的切线方程；(2) 若当x(1， ) 时，f(x) 0，求a的取值范围当a2，x(1， ) 时，x22(1 a)x1x22x10，故g(x) 0，g(x) 在(1 ， ) 上单

7、调递增，因此g(x) 0；当a2时，令g(x) 0 得x1a1（a 1）21，x2a1（a1）21. 由x21 和x1x21 得x11，故当x(1，x2) 时，g(x) 0，g(x)在(1 ，x2) 上单调递减，此时g(x) g(1) 0. 综上，a的取值范围是 ( ， 2 4 含有参数的问题，主要包括：(1) 含有参数的不等式的求解；(2) 含有参数的方程的求解；(3) 函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4) 二元二次方程表示曲线类型的判定等求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理、要不重不漏、要符合最简原则【对点训练】3已知函数f(x) sin

8、 x，g(x) mxx36(m为实数 ) (1) 求曲线yf(x) 在点p4，f4处的切线方程；(2) 求函数g(x) 的单调递减区间【解析】：(1) 由题意得所求切线的斜率kf4cos 422. 切点p4，22，则切线方程为y2222x4，即x2y140. (2)g(x)m12x2. 当m0时，g (x) 0，则g(x) 的单调递减区间是( ， ) ；当m0 时，令g(x)0，解得x2m，则g(x) 的单调递减区间是( ，2m) ，(2m， ) 综上所述，m0时，g(x) 的单调递减区间是( ， ) ；m0 时，g(x) 的单调递减区间是( ， 2m) ，(2m， ) 二转 化与化归思想思想

9、解读应用角度5 转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化， 进而解决问题的一种方法 其应用包括以下三个方面：(1) 将复杂的问题通过变换转化为简单的问题；(2) 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；(3) 将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题1. 在三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用 ， 主要的方法有公式的“三用”( 顺用、 逆用、变形用 )、角度的转化、函数的转化等2. 将一些复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式问题求解3. 在解决平

10、面向量与三角函数、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、解析几何语言进行转化4. 在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解5. 在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值( 最值) 、切线问题， 转化为其导函数f(x) 构成的方程、 不等式问题求解6. 在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化转化与化归的原则：(1) 熟悉化原则；(2) 简单化原则；(3) 直观化原则；(4) 正难则反原则关于x的不等式x4x1a22a0 对x(0， ) 恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】( 1， 3) 【解析】设f(x) x4x(x0)，则f(x)

11、 x4x2x4x4. 因为关于x的不等式x4x1a22a0对x(0， ) 恒成立，所以a22a14 恒成立，解得1a3，所以实数a的取值范围为( 1，3) (1) 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值( 值域 ) 问题，从而求出参变量的范围(2) 求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数法，先转化为f(a) g(x)( 或f(a) g(x) 对 ?xd恒成立，再转化为f(a) g(x)max( 或f(

12、a) g(x)min) ；第二关是求最值关，即求函数g(x) 在区间d上的最大值 ( 或最小值 ) 问题【对点训练】4(2019 福州模拟 ) 由命题“存在x0 r，使 e|x01|m0”是假命题，得m的取值范围是( ，a)，则实数a的取值是 ( ) 6 a( ， 1) b( ， 2) c1 d2 【答案】 c. 【解析】命题“存在x0r，使 e| x01|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意x r，使 e| x1|m0”是真命题，可得m的取值范围是 ( ， 1) ，而 ( ，a) 与( ， 1) 为同一区间，故a1. 已知函数f(x) x33ax1，g(x)f(x) ax5，其中f(x)

13、是f(x) 的导函数 对满足 1a1的一切a的值，都有g(x)4xp 3 成立的x的取值范围是 _答案： ( ， 1)(3，)解析：设f(p) (x1)px24x3，则当x1时，f(p)0. 所以x1.f(p) 在 0p4 上恒为正，等价于f（0） 0，f（4） 0，即（x3）（x1）0，x210，解得x3或x1. 课时作业1(2019. 长沙模拟 ) “(m1)(a 1) 0”是“ logam0”的 ( ) a充分不必要条件7 b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【答案】 b. 【解析】 (m1)(a1) 0 等价于m1，a 1，或m 1，a 1，而 logam 0 等价于m1，

14、a1或0m1，0a1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m0，a0 时，不能得出logam0. 2(2019 福州模拟 ) 若m是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线x2y2m1 的离心率是 ( ) a.32b5 c.32或52d.32或5 【答案】 d. 【解析】由题意知，m228 16，所以m4.当m 4 时，圆锥曲线y24x21 是椭圆，其离心率eca32，当m 4 时，圆锥曲线为双曲线，其离心率eca515，综上知，选d. 3(2019 江西五市第二次联考) 设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x) 在点p(x0，f(x0) 处的切线方程为xy0，则点p的坐标为 ( ) a(0

15、 ，0) b(1 ， 1) c( 1，1) d(1 ， 1) 或( 1，1) 【答案】 d. 【解析】 由题易知，f(x) 3x2 2ax，所以曲线yf(x) 在点p(x0，f(x0) 处的切线的斜率为f(x0) 3x202ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且3x202ax0 1x0 x30ax20 0，解得a2，x0a2. 所以当x01a 2时，点p的坐标为 (1， 1) ；当x0 1a2时，点p的坐标为 ( 1，1)，故选 d. 4(2019 湖北七市 ( 州) 联考 ) 已知f(x) 是定义在r 上的偶函数，且在区间( ， 0 上单调递增，若实数a满足f(2log3a) f( 2)

16、，则a的取值范围是 ( ) a( ，3) b(0 ，3) 8 c(3， ) d (1 ，3) 【答案】 b. 【解析】因为f(x) 是定义在r上的偶函数，且在区间( ， 0 上单调递增，所以f(x)在区间 0 ，) 上单调递减 根据函数的对称性，可得f( 2) f(2) ， 所以f(2log3a) f(2) 因为 2 log3a0，f(x)在区间 0 ， ) 上单调递减，所以 02 log3a2? log3a12? 0a3，故选 b. 5(2019 枣庄模拟 ) 函数y |tan x| |1tan x| 的最小正周期是( ) a.4b2cd.32【答案】 b. 【解析】注意tan x和1tan

17、 x同号，所以有y|tan x| 1tan xtan x1tan xsin xcos xcos xsin xsin2x cos2xsin xcos x1sin xcos x2|sin 2x|. 从而原函数的最小正周期t2. 6若关于x的不等式mexx6 4x在(0， ) 上恒成立，则实数m的取值范围为 ( ) a( ， 2e12) b( ， 2e12 c(2e12， ) d2e12，)【答案】 d. 7已知某三棱柱的底面为正三角形，且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6 和 4 的矩形，则它的体积为 _9 答案： 43或833解析：当矩形长、宽分别为6 和 4 时，体积v23124 43

18、；当长、宽分别为4 和 6 时，体积v43233126833. 8设函数f(x) 3xb，x1，2x，x 1.若f(f(56) 4，则b_答案：12解析：f(56) 356b52b，若52b32，则 3(52b) b152 4b4，解得b78，不符合题意，舍去；若52b1，即b32，则 252b 4，解得b12. 9(2019 太原模拟 ) 已知变量x，y满足的不等式组x0，y 2x，kxy1 0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k_答案： 0 或12解析： 不等式组x0，y 2x，kxy10表示的可行域如图( 阴影部分 ) 所示，由图可知， 若要使不等式组x0，y2x，kxy10表

19、示的平面区域是直角三角形，只有当直线ykx1 与直线x0 或y2x垂直时才满足结合图形可知斜率k的值为 0 或12. 10 (2019福州模拟 ) 已知函数f(x) aln xx2(a6)x在( 0，3) 上不是单调函数，则实数a的取值范围是 _答案： (0 ，2) 解析：f(x) ax2x(a6) 2x2（a6）xax，设g(x)2x2(a6)xa，因为函数f(x)在(0 ，3)上不是单调函数， 所以函数g(x) 2x2(a6)xa在(0，3) 上不会恒大于零或恒小于零又g(0) a，g(3)4a，10 所以g（0）a00a643（a6）28a0，解得 0a2，所以实数a的取值范围为(0，2

20、) 11 (2019太原模拟 ( 一) 已知a，b，c分别是abc的内角a，b，c所对的边，a2bcos b，bc. (1) 证明：a2b；(2) 若a2c2b2 2acsin c，求a. 【解析】：(1) 证明：因为a2bcos b，且asin absin b，所以 sin a2sin bcos bsin 2b，因为 0a ，0b，所以 sin asin 2b 0，所以 02b，所以a2b或a2b ，若a 2b ，则bc，bc这与“bc”矛盾，a2b，所以a2b. (2) 因为a2c2b22acsin c，所以a2c2b22acsin c，由余弦定理得cos b sin c，因为 0b ，0c，所以c2b或c2b，当c2b时，a2，bc4，这与“bc”矛盾，a2；当c2b时，由 (1) 得a2b，所以abca2b