高考数学三轮冲刺大题提分函数与导数：存在恒成立与最值问题理

1、1 大题精做 12 函数与导数：存在、恒成立与最值问题已知函数elnxfxxaxx （1）若ea，求 fx 的单调区间；（2）当0a时，记fx 的最小值为m，求证1m【答案】（1）函数fx 的单调递减区间为0,1 ，单调递增区间为1,； （2）见解析【解析】（1）当ea时，ee lnxfxxxx ， fx 的定义域是0,，111 ee1eexxxfxxxxx，当 01x时，0fx；当1x时，0fx所以函数fx 的单调递减区间为0,1 ，单调递增区间为1,（2）证明：由（ 1）得 fx 的定义域是0,，1exxfxxax，令exg xxa ，则1 e0 xgxx， g x 在0,上单调递增，因为

2、0a，所以00ga，e0agaaaaa，故存在00,xa ，使得000e0 xg xxa当00,xx时，0g x，1e0 xxfxxax， fx 单调递减；当0,xx时，0g x，1e0 xxfxxax， fx 单调递增；故0 xx时， fx 取得最小值，即00000elnxmfxxaxx，由00e0 xxa，得0000enlnelxxmxaxaaa ，令0 xa，lnh xxxx ，则11lnlnhxxx ，当0,1x时，ln0hxx，lnh xxxx 单调递增，当1,x时，ln0hxx，lnh xxxx 单调递减，故1x，即1a时，lnh xxxx 取最大值1，1m1已知函数e1xfxax

3、2 （1）讨论函数fx 的单调性；（2）当 fx 有最小值，且最小值不小于221aa时，求a的取值范围2设函数1exfxxm， mr （1） 当1m时，求fx 的单调区间；（2）求证：当0,x时，1len2xxx3 3已知函数lnxfxbx，函数22g xxfxx （1）求函 数 fx 的单调区间；（2）设1x，212xxx是函数 g x 的两个极值点，若13 33b，求12g xg x的最小值1 【答案】（1）见解析；（2） 0,1 【解析】（1）exfxa，4 当0a时，e0 xfxa，所以函数fx 在r上单调递增；当0a时，令0fx，解得lnxa ，当,lnxa 时，0fx，故函数fx

4、在,ln a 上单调递减；当ln,xa时，0fx，故函数fx 在 ln,a上单调递增（2）由（ 1）知，当0a时，函数fx 在r上单调递增，没有最小值，故0a2minlnln121fxfaaaaaa，整理得2ln220aaaa，即 ln220aa令ln22(0)g aaaa，易知 g a 在0,上单调递增，且10g；所以 ln220aa的解集为0,1 ，所以0,1a2 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）当1m时，1exfxx，1exfx，令1e0 xfx，则0 x当0 x时，0fx；当0 x时，0fx，函数fx 的单调递增区间是,0 ；单调递减区间是0,（2）由（ 1）知，当1m

5、时，max00fxf，当0,x时，1e0 xx，即 e1xx，当0,x时，要证1len2xxx，只需证2ee1xxx，令2ee1e1exxxxfxxx，22eln1e12eeeeee2xxxxxxxxxfxx，由 e1xx，可得2e12xx，则0,x时，0fx恒成立，即f x 在 0,上单调递增，00fxf即2ee1xxx，1len2xxx3 【答案】（1）函数 fx 的增区间为0,e ； fx 的减区间为e,； （2）143ln1224【解析】（1）由题意知，fx 的定义域为0,21lnxfxx，当0fx时，解得ex；当0fx时， 0ex5 所以函数fx 的增区间为0,e ； fx 的减区间

6、为e,（2）因为222ln2g xxfxxxxbx ，从而21414xbxgxxbxx，令0gx，得2410 xbx，由于2169161603 b，设方程两根分别为1x，2x，由韦达定理可知，124bxx，1214x x，2212111222ln2ln2g xg xxxbxxxbx22112122ln2xxxb xxx2211212122ln24xxxxxxxx2211211221222111lnln22xxxxxxxx xxxx，设12xtx，则1211ln2g xg xh tttt，因为120 xx，所以120,1xtx，又13 33b，所以1213 3412bxx，所以221212121116924448xxxxtx xt，整理得212145120tt，解得