高考数学中求轨迹方程的常见方法

1、1 / 3 高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法 . 例 1 已知点)0,2(a、).0, 3(b动点),(yxp满足2xpbpa， 则点p的轨迹为（）a圆b椭圆c双曲线d抛物线解：),3(),2(yxpbyxpa，2)3)(2(yxxpbpa226yxx. 由条件，2226xyxx，整理得62xy，此即点p的轨迹方程，所以p的轨迹为抛物线，选d. 二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲

2、线的相关参量，从而得到轨迹方程. 例 2 已知abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，若bca,依次构成等差数列，且bca，2ab，求顶点c的轨迹方程 . 解：如右图，以直线ab为x轴，线段ab的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，bca,构成等差数列，bac2，即4|2|abcbca，又cacb，c的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2 ca，3b，故c的轨迹方程为)2,0( 13422xxyx. 三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点p的坐标yx,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点p的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法. 例

3、 3 如图，从双曲线1:22yxc上一点q引直线2:yxl的垂线，垂足为n，求线段qn的中点p的轨迹方程 . 解：设),(),(11yx，qyxp，则)2 ,2(11yyxxn.n在直线l上，.22211yyxx 又lpn得, 111xxyy即011xyyx.c b y x o a y q o x n p 2 / 3 联解得22322311xyyyxx.又点q在双曲线c上，1)223()223(22xyyx，化简整理得：01222222yxyx，此即动点p的轨迹方程 . 四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程. 例

4、4 已知点)2,3(a、)4, 1(b，过a、b作两条互相垂直的直线1l和2l，求1l和2l的交点m的轨迹方程 . 解：由平面几何知识可知，当abm为直角三角形时，点m的轨迹是以ab为直径的 圆 . 此 圆 的 圆 心 即 为ab的 中 点)1,1(， 半 径 为25221ab， 方 程 为13) 1()1(22yx. 故m的轨迹方程为13) 1()1(22yx. 五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标yx,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到yx,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程. 例 5 过抛物线pxy22（0p） 的顶点o作两条互相垂直的弦oa

5、、ob， 求弦ab的中点m的轨迹方程 . 解：设),(yxm，直线oa的斜率为)0(kk，则直线ob的斜率为k1.直线 oa的方程为kxy，由pxykxy22解得kpykpx222，即)2,2(2kpkpa，同理可得)2,2(2pkpkb. 由中点坐标公式，得pkkpypkkpx22，消去k，得)2(2pxpy，此即点m的轨迹方程 . 六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法. 例 6 如右图，垂直于x轴的直线交双曲线12222byax于m、n两点，21,aa为双曲线的左、右顶点，求直线ma1与na2的交点p的轨迹方程，并指出轨迹的形状. x a1 a2 o y n m p 3 / 3 解：设),(yxp及),(),(1111yxnyxm，又)0,(),0,(21aaaa，可得直线ma1的方程为)(11axaxyy；直线na2的方程为)(11axaxyy. 得)(22221212axaxyy. 又, 1221221byax)(2122221x