北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析

1、七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （ 1）如图 7，点 o 是线段 ad 的中点，分别以ao 和 do 为边在线段ad 的同侧作等边三 角形 oab和等边三角形ocd，连结 ac 和 bd，相交于点e，连结 bc求 aeb 的大小；（ 2）如图 8， oab 固定不动，保持 ocd 的外形和大小不变，将 ocd 围着点 o 旋转（ oab 和 ocd不能重叠），求 aeb 的大小 .bcbceeadoao图 7d图 82. 已知 :点 c 为线段 ab 上一点， acm, cbn 都是等边三角形，且an、bm 相交于 o. 求证： an=bm 求 aob 的度数； 如 an、

2、mc 相交于点p， bm、nc 交于点 q，求证： pqab；（湘潭·中考题）nmopqacb同类变式 ： 如图 a， abc和 cef是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点c， 连接 af 和 be.(1) 线段 af 和 be有怎样的大小关系.请证明你的结论；(2) 将图 a 中的 cef 绕点 c 旋转肯定的角度，得到图 b，1 中的结论仍成立吗.作出判定并说明理由；(3) 如将图 a 中的 abc绕点 c 旋转肯定的角度，请你画出一个变换后的图形c 草图即可 ， 1 中的结论仍成立吗.作出判定不必说明理由.3. 如图 9，如 abc 和 ade为等边三角形，m , n

3、分别为图 ceb, cd 的中点，易证：cdbe ， amn 是等边三角形（ 1）当把 ade绕 a 点旋转到图10 的位置时， cdbe 是否仍旧成立？如成立, 请证明；如不成立，请说明理由；（ 2）当 ade绕 a 点旋转到图11 的位置时，amn 是否仍是等边三角形？如是，请给出证明，如不是，请说明理由图 9图 10图 11同 类 变 式 ： 已 知 ， 如 图 所 示 ， 在 abc和 ade中 ， abac ， adae，bacdae ，且点 b， a， d在一条直线上， 连接 be， cd， m ， n分别为 be， cd的中点（ 1）求证：becd ； aman ；（ 2）在图的

4、基础上，将 ade绕点 a 按顺时针方向旋转180 ，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍旧成立.ccnebndambdmae图图4. 如图，四边形abcd和四边形aefg均为正方形，连接bg与 de相交于点h（ 1）证明： abg ade；（ 2）试猜想bhd的度数，并说明理由；（ 3）将图中正方形abcd绕点 a 逆时针旋转（ 0°bae 180°），设 abe的面积为 s1 ， adg的面积为s2 ，判定s1 与 s2 的大小关系，并赐予证明dagchfeb5.已知：如图， abc 是等边三角形，过ab 边上的点 d 作 dg bc ，交

5、ac 于点 g ，在 gd 的延长线上取点e ，使 dedb ，连接 ae， cd （1）求证： age dac ；（2）过点 e 作 ef dc，交 bc 于点 f ，请你连接af ，并判定 aef是怎样的三角形，试证明你的结论aedgbfc二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等1. 如图， abc 中， acb 90°，acbc ，ae 是 bc 边上的中线，过c 作 cf ae，垂足为 f ，过 b 作 bd bc 交 cf 的延长线于d求证：（ 1） ae cd ；（ 2）如 ac 12 cm，求 bd 的长02. （西安中考）

6、如图1,已知 abc中, bac=90, ab=ac, ae是过 a的一条直线 ,且 b、c在 a、e 的异侧 , bd ae 于 d, ce ae于 e ；图1图2图3(1) 试说明 : bd=de+ce.(2) 如直线 ae绕 a 点旋转到图 2 位置时 bd<ce,其余条件不变 ,问 bd与 de、ce的关系如何 .写结论 , 并说明理由；(3) 如直线 ae绕 a 点旋转到图 3 位置时 bd>ce,其余条件不变 ,问 bd与 de、ce的关系如何 . 写出结论 , 可不说明理由；3. 直 线cd 经 过b c a 的 顶 点c ， ca=cb e 、 f 分 别 是 直

7、线cd 上 两 点 ， 且beccfa（1）如直线cd 经过bca 的内部，且e、f 在射线 cd 上，请解决下面两个问题：如图1，如bca90 ,90，就 efbeaf （填“”，“”或“”号）；如图 2，如 0bca180，如使中的结论仍旧成立，就与bca应满意的关系是；（2）如图 3，如直线cd 经过bca 的外部，bca ，请探究ef、与 be、af 三条线段的数量关系，并赐予证明befdcabbeae fdccafd图 1图 2图 3考点 2：利用角相等证明垂直1. 已知 be， cf是 abc的高，且bp=ac，cq=ab，试确定ap与 aq的数量关系和位置关系qafdepbc2.

8、 如图，在等腰rt abc中， acb=90°， d 为 bc的中点， de ab，垂足为e，过点 b 作 bf ac交 de的延长线于点f，连接 cf(1) 求证： cd=bf；(2) 求证： ad cf；(3) 连接 af，试判定 acf的外形 .拓展巩固： 如图 9 所示， abc是等腰直角三角形，acb90°， ad 是 bc 边上的中线，过 c 作 ad 的垂线，交ab 于点 e，交 ad 于点 f，求证： adc bdecfdabe图 9（提示： 对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区分和联系？ ）3. 如图 1，已知正方形abcd

9、 的边 cd 在正方形defg 的边 de 上，连接ae ， gc .（ 1）试猜想ae 与 gc 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（ 2）将正方形defg 绕点 d 按顺时针方向旋转，使 e 点落在 bc 边上，如图 2，连接 ae和 gc .你认为（ 1）中的结论是否仍成立？如成立，给出证明；如不成立，请说明理由.4. 如图 1，abc 的边 bc在直线 l 上，acbc , 且acbc ,efp 的 边 fp 也在直线 l上，边 ef 与边 ac 重合，且effp（1） 在图 1 中，请你通过观看、测量，猜想并写出ab 与 ap 所满意的数量关系和位置关系；（2） 将efp 沿直线 l

10、 向左平移到图2 的位置时，ep 交 ac 于点 q , 连接ap, bq . 猜想并写出bq 与 ap 所满意的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将efp 沿直线 l 向左平移到图3 的位置时，ep 的延长线交ac 的延长线于点 q,连结ap , bq , 你认为（ 2）中所猜想的bq 与 ap 的数量关系和位置关系和位置关系仍成立吗？如成立，给出证明；如不成立，请说明理由.aeeaqbcfpl1bf 2 cplealfpbc3q三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1. 如图，abc 中， abac ，bac90， d 是 bc 中点， edfd ， ed

11、 与 ab 交于e ， fd 与 ac交于 f 求证：beaf ， aecf afebdc2. 两个全等的含30 ， 60 角的三角板ade 和三角板abc ，如下列图放置，e, a, c 三点在一条直线上，连结bd ，取 bd 的中点 m ，连结明理由me , mc 试判定emc 的外形，并说mbde压轴题拓展： （三线合一性质的应用）已知 rtabc 中， acbc ，cca90， d 为 ab 边的中点，edf90，edf 绕 d 点旋转，它的两边分别交ac 、 cb （或它们的延长线）于 e 、 f 当edf 绕 d 点旋转到 deac 于 e 时（如图 1），易证 ss1 s当edf

12、绕defcefabc2d 点旋转到 de 和 ac 不垂直时， 在图 2 和图 3 这两种情形下， 上述结论是否成立. 如成立，请赐予证明；如不成立，需证明s def， s cef， s abc又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不aaeddeadcbfcfb图1cfbe图2图3提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相像；3. 已知：如图，abc中， abc=45°， cd ab 于 d，be 平分 abc，且 be ac于 e，与 cd 相交于点f，h 是 bc 边的中点，连结dh 与 be 相交于点 g；1 bf=ac 2 ce= 1 bf23ce与 bc的大小关系如何；考

13、点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1. 如图 1，四边形abcd 是正方形， m 是 ab 延长线上一点；直角三角尺的一条直角边经过点 d，且直角顶点e 在 ab 边上滑动（点e 不与点 a，b 重合），另一条直角边与cbm的平分线 bf 相交于点f. 如图 141，当点 e 在 ab 边的中点位置时： 通过测量de， ef 的长度，猜想de 与 ef 满意的数量关系是； 连接点 e 与 ad 边的中点n，猜想 ne 与 bf 满意的数量关系是； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 e 在 ab 边上的任意位置时，请你在ad 边上找到一点n,使得 ne=bf ，进而猜想此时de

14、与 ef 有怎样的数量关系并证明2. 在 rtabc中， ac bc， acb90°，d 是 ac的中点， dg ac 交 ab 于点 g.（1）如图 1， e 为线段 dc 上任意一点，点f 在线段 dg 上，且 de=df，连结 ef 与 cf，过点 f 作 fh fc，交直线 ab 于点 h求证： dg=dc判定 fh 与 fc的数量关系并加以证明（ 2）如 e为线段 dc 的延长线上任意一点，点f 在射线 dg 上， 1中的其他条件不变，借助图 2 画出图形；在你所画图形中找出一对全等三角形，并判定你在1 中得出的结论是否发生转变（本小题直接写出结论，不必证明）bbhggfa

15、de图 1cadce图 2同类变式：（期末考试原题哦）已知： abc为等边三角形，m 是 bc延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点a，且 60o 角的顶点 e 在 bc上滑动，（点 e 不与点 b、c 重合），斜边与 acm 的平分线cf 交于点 f（ 1）如图（ 1）当点 e 在 bc 边得中点位置时 1 猜想 ae 与 ef 满意的数量关系是. 2 连结点 e 与边得中点，猜想和满意的数量关系是. 3 请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和ef有怎样的数量关系，并说明你的理由？aafnfbc图（1）becmm图（ 2）四、 角平分线问题1. 如图： e 在线段 cd

16、上， ea、eb 分别平分 dab和 cba, aeb=90° , 设 ad x ,bc y ，且x, y 满意 x2y26x8 y250（1）求 ad和 bc的长；（ 2）你认为 ad和 bc仍有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出ab 的长度吗？如能，请写出推理过程；如不能，请说明理由.ecdab2. 如图， op 是 mon 的平分线，请你利用该图形画一对以op 所在直线为对称轴的全等三角形；请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：（ 1）如图，在abc 中， acb 是直角， b=60°， ad、ce 分别是 bac、 bca的平分线， ad、ce相交于点

17、f；请你判定并写出fe与 fd 之间的数量关系；（ 2）如图，在abc 中，假如 acb 不是直角，而 1 中的其它条件不变，请问，你在 1中所得结论是否仍旧成立？如成立，请证明；如不成立，请说明理由；bmbeedfdfopa图nca图第 23 题图 图c3. 北京市中考模拟题如图，在四边形abcd 中 ， ac 平分bad ，过 c 作 ceab于 e ，并且 ae1 abad2，就abcadc 等于多少？dcaeb4. 如图， abc中， ad平分 bac， dg bc且平分 bc， de ab于 e， df ac于 f.（1）说明 be=cf的理由；（ 2）假如 ab=a ， ac=b ，求 ae、be的长 .aebgc fd五、中点问题1. 在 abc中,d 为 bc 的中点，过 d 点的直线 gf 交 ac 于 f ,交 ac 的平行线bg 于点 g ； degf ,并交 ab 于点 e .连结 eg .（ 1）求证 :bgcf ；（ 2）请猜想 becf 与 ef 的大小关系 ,并加以证明2. 如右下图，在abc 中，如b2c ， adbc ， e 为 bc 边的中点求证：ab2de abdec3. 已知abc 中， abac ， bd 为 ab 的延长线，且bdab ， ce 为abc 的 ab 边上的