高中数学平面向量测试题

1、平面向量板块测试第卷 (选择题共 60 分) 一、选择题 (123 5 60) 1.下列五个命题：| a2|=2a;ababa2;222)(baba;2222)(bbaaba; 若 a2 b=0,则 a=0 或 b=0. 其中正确命题的序号是( ) A.B.C.D.2.若AB=3e,CD=-5e 且|AD|=|BC，则四边形ABCD是( ) A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形3.将函数 y=sinx 按向量 a(1,-1)平移后，所得函数的解析式是( ) A.y=sin(x -1)-1 B.y=sin(x+1)-1 C.y=sin(x+1)+1 D.y=sin(x-1)+1 4.

2、若有点1M(4，3)和2M(2，-1)，点 M 分有向线段21MM的比 -2，则点M 的坐标为( ) A.(0， -35) B.(6，7) C.(-2，-37) D.(0，-5) 5.若| a+b|=| a-b| ，则向量a 与 b 的关系是( ) A.a=0 或 b=0 B.|a|=| b| C.ab=0 D.以上都不对6.若| a|=1 ，| b|=2 ， |a+b|=7，则 a 与 b 的夹角 的余弦值为( ) A.-21B.21C.31D.以上都不对7.已知 a=31e-42e,b=(1-n)1e+3n2e,若 ab 则 n 的值为( ) A.-54B.54C.4 D.2 8.平面上三

3、个非零向量a、 b、 c 两两夹角相等，| a|=1 ， | b|=3,| c|=7, 则 | a+b+c| 等于( ) A.11 B.27C.4 D.11 或 279.等边 ABC中,边长为 2,则AB2BC的值为( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 10.已知 ABC中，)(2222444baccba，则 C等于( ) A.30B.60C.45或 135D.12011.将函数 y=f (x)cosx 的图象按向量a=(4,1)平移，得到函数xy2sin2的图象，那么函数 f (x)可以是（）A.cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx12.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，

4、已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点 C 满足OC=OA+OB，其中 、R，且 +=1,则点 C的轨迹方程为( ) A.3x+2y-11=0 B.5)2()1(22yxC.2x-y=0 D.x+2y-5=0 第卷 (非选择题共 90 分) 二、填空题 (43 4 16) 13.已知 | a|=3,| b|=5, a2 b=12,则 a 在 b 上的投影为. 14.设 a=(-4,3),b=(5,2),则 2|a2|-21ab. 15.已知 a=(6,2),b=(-4,21),直线 l 过点 A(3,-1),且与向量 a+2b 垂直，则直线l 的一般式方程是. 16. 把函 数5422xx

5、y的 图 象按 向量a 平 移后 ，得 到22xy的 图 象， 且ab,c=(1,-1),b2 c=4,则 b= . 三、解答题 (53 12+14 74) 17.若向量 a 的始点为A(-2，4)，终点为B(2，1).求：(1)向量 a 的模 . (2)与 a 平行的单位向量的坐标. (3)与 a 垂直的单位向量的坐标. 18.设两向量1e、2e满足 |1e|=2 ，|2e|=1,1e、2e的夹角为60，若向量2t1e+72e与向量1e+t2e的夹角为钝角，求实数t 的取值范围 . 19.已知向量a=(x23cos,x23sin),b=(2cosx,2sinx),且 x -3,4. （1）求

6、 a2 b 及| a+b|; （2）若 f (x)=a2 b-| a+b|, 求 f (x)的最大值和最小值. 20.设 a=(-1-x)i,b=(1-x)i+yj(x、 yR,i、 j 分别是 x、y 轴正方向上的单位向量)，且 | a|=| b|. (1)求点 M (x,y)的轨迹 C的方程；(2)过点 (4,0)作直线l 交曲线C于 A、B 两点，设OP=OA+OB，求证：四边形OAPB为矩形 . 21.已知 ABC的顶点为A(0，0)，B(4，8)，C(6，-4).M 点在线段AB上，且AM=3MB，P点在线段AC上， APM 的面积是 ABC的面积的一半，求点M、P 的坐标 . 22

7、.如图所示，有两条相交成60角的直路XX 和 YY ，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O 点 3 km，乙离 O 点 1 km，后来两人同时用4 km/h 的速度，甲沿XX 方向，乙沿YY的方向步行 . (1)起初，两人的距离是多少? (2)用包含 t 的式子表示t h 后两人的距离 . (3)什么时候两人的距离最短? 第 22 题图参考答案1.B 由向量的数量积的定义即知. 2.C ABCD,且 AD=BC ,ABCD,故选 C. 3.A 点(x,y)按向量 a（ 1，-1）平移后的点(x ,y )，11yyxx即11yyxxy+1sin(x-1),即 y=sin(x-1)-1.

8、 4.D 设点 M(x,y)，521)1(23021224yx点 M 的坐标为 (0,-5). 5.C 设 a=(1x,1y)， b=(2x,2y)，由 | a+b|=| a-b|，得221221221221)()()()(yyxxyyxx，即1x2x1y2y 0. 又 a2 b=1x2x1y2y， ab0. 6.B | a+b|2|=cos|2|22baba, 7=1+4-4cos即 cos=-21， a 与 b 的夹角 的余弦值为21. 7.A a=(3,-4),b=(1-n,3n), 9n=-4(1-n),n=-54,故选 A. 8.D 若两两夹角为0,则| a+b+c|=| a|+|

9、b|+| c|=11; 若两两夹角为120,则| a+b+c2|=| a2|+| b2|+| c2|+2| a| b|cos120 +2| b| c|cos120+2| a| c|cos120 =1+9+49+23 (-21)3 (13 3+33 7+13 7)=28,| a+b+c|=27. 9.D AB2BC=222 cos120=-2.故选 D. 10.C 由)(2222444baccba，得2222222)(bacba，222cba=2ab=2abccosC， cosC =22,C=45或 135. 11.D 由平移公式，应有xxfxcos)(1)4(sin22. 即xxfxxc o

10、s)(2s i n)22c o s (,f (x)=2sinx. 12.D 设 C(x,y),OC=OA+OB, (x,y)=(3,1)+(-1,3)=(3,)+(- ,3)=(3 -,+3). 33yx又 +=1,x+2y-5=0. 13.512a2 b=| a| 2 | b| 2 cos,a 在 b 上的投影为512. 14.57 2| a2|-212 a2 b=2(169)- 21(-20+6)=50+7=57. 15.2x-3y-9=0 设 l 的一个方向向量为(m,n).a+2b=(-2,3),直线l 与向量a+2b 垂直，即-2m+3n=0,直线 l 的斜率 k=32mn,直线 l

11、 的方程为y+1=32(x-3),即 2x-3y-9=0. 16.(3,-1) 22)1(23542xyxxy, a=(-1,-3), 设 b=(0 x,0y),xyxyx. 17.解(1)aAB（ 2，1）-（ -2， 4）=（4， 3） ， | a| 5)3(422. (2)与 a 平行的单位向量是| aa51(4，-3)=(54，-53)或(-54，53). (3)设与 a 垂直的单位向量是e=(m,n)，则 a2 e 4m-3n0,43nm. 又 | e| 1，122nm.解得 m=53,n=54或 m=-53,n=-54. e(53，54)或(-53，-54

12、). 18.解21e=4,22e=1,21ee=23 13 cos60=1, (2t1e+72e)2 (1e+t2e)=2t21e+(22t+7)1e22e+7t22e=22t+15t+7. 22t+15t+70,-7t-21. 设 2t1e+72e=(1e+t2e)(0,|ba=2cosx. (2)f (x)=cos2x-2cosx=223)21(cos21cos2cos22xxx. x -3,4,21cosx1. 当 cosx=21时， f (x)取得最小值 -23;当 cosx=1 时， f (x)取最大值 -1. 20.(1)解由已知 | a|=| b| ，即222)1()1(yxx,

13、 整理得xy42(2)证明由已知只需证OAOB即可，即证OA2OB=0. 设 A (1x,1y),B (2x,2y), 当 l x 轴时， A (4,4),B (4,-4),1x2x+1y2y=0,即OAOB. 当 l 不与 x 轴垂直时，设l 的斜率为 k，l 的方程为y=k(x-4)(k0)，将代入得016)48(2222kkxxk. 22148kxx,1x2x=16. 1y2y=1616)48(416)4)(4(22212kkxxk. 1x2x+1y2y=0,OAOB.故得证 . 21.解如图， M 分AB的比 3，则 M 的坐标为631830331430MMyx由21ABCAMPSS，得21sin21sin21AACABAAPAM. 又43ABAM，32ACAP. 12PCAP，即 P分AC所成的比 2. 3821)4(20421620PPyx则 M(3，6)，P(4，-38)为所求 . 22.解(1)设甲、乙两人起初的位置是A、B，则由余弦定理60cos2222OBOAOBOAAB221323 33 13217. 所以甲、乙两人的距离是AB7km. (2)设甲、乙两人t h 后的位置分别是P、Q，则 AP4t,BQ4t. 当