初二数学最短路径问题知识归纳+练习

1、初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论讨论中的一个经典算法问题，旨在查找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法详细的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题-求图中全部的最短路径【问题原型】 “将军饮马” ，“造桥选址” ，“费马点” 【涉及学问】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、

2、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年显现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】作法图形原理al连 ab，与 l 交点即为pbapl两点之间线段最短pa +pb 最小值为ab在直线l 上求一点p，使bpa+pb 值最小【问题 2】“将军饮马”作法图形原理ab作 b 关于 l 的对称点bl连 a b ，与 l 交点即为pab两点之间线段最短lpa+pb 最小值为a bp在直线l 上求一点p，使b'pa+pb 值最小【问题 3】作法图形原理l 1lp分别作点p 关于两直线的 对称点p和 p ，连 pp ，2p'l 1mp两点之间线

3、段最短pm +mn +pn 的最小值为在直线l1 、 l 2 上分别求点与两直线交点即为m ， nnl2线段 pp的长m 、n，使 pmn的周长最小p''【问题 4】作法图形原理在直线l 1qpl2l 、 l分别作点q 、p 关于直线 l 1 、 l 2 的对称点q和 p连 qp，与两直线交点即q'l 1mqpl 2n两点之间线段最短 四边形 pqmn 周长的最小值为线段pp的长12 上分别求点m 、n ，使四边形pqmn的周长最小为 m ， n【问题 5】“造桥选址”作法图形原理- 1 -am m将点 a 向下平移mn 的长nn 度单位得a，连 ab，交 nb于点 n

4、，过 n 作 nm m 于aa'm两点之间线段最短mam +mn +bn 的最小值为n直线 m n ，在 m 、 n ，m 上分别求点m 、n，使 mn m ，且am+ mn+ bn 的值最小nab+mn b【问题 6】作法图形原理ablm a n将点 a 向右平移 a 个长度单位得 a，作 a关于 l 的对称点 a ，连 a b，交直线aa'blmn两点之间线段最短am +mn +bn 的最小值为在直线 l 上求两点m 、n（ ml 于点n，将n 点向左平a b+ mn在左），使 mna ，并使移 a 个单位得m a''am + mn+ nb 的值最小【问题

5、7】作法图形原理l1p作点p 关于l1p'al 1 的对称点p点到直线，垂线段最短l 2p ，作 pb l 2 于 b，交 l 2pa+ ab 的最小值为线段p在 l 1 上求点a，在l 2 上求于 al 2b的长b点 b，使 pa+ ab 值最小【问题 8】作法图形原理l 1nal2作点a 关于mbl 2 的对称点b'l 1两点之间线段最短a ，作点 b 关于 l1 的对称ana 为 l上肯定点， b 为 l上点 b，连 ab交l于 m ，am +mn +nb的最小值为1肯定点，在2l 2 上求点m ，2交 l 1 于 nmbl 2线段 ab的长a'在l 1上 求 点

6、n ， 使am + mn+ nb 的值最小【问题 9】作法图形原理abl连 ab ，作 ab 的中垂线与直线 l 的交点即为pa垂直平分上的点到线段两b端点的距离相等l在直线l 上求一点p，使ppapb 0papb的值 最小 【问题 10】作法图形原理- 2 -a三角形任意两边之差小于abl在直线l 上求一点p，使作直线ab，与直线l 的交点即为 pb第三边palppb ab papb的值 最大 papb的最大值 ab 【问题 11】作法图形原理aal作 b 关于 l 的对称点bb'三角形任意两边之差小于b作直线a b，与 l 交点即为 pl第三边papbpb ab 在直线l 上求一点

7、p，使papb最大值 abpapb的值 最大 【问题 12】“费马点”作法图形原理abc abc 中每一内角都小于120°，在 abc 内求一点p，使 pa+pb +pc 值最小所求点为“费马点” ，即满d足 apb bpcapc 120 °以ab、ac为边向外作等边abd 、 ace，连 cd 、be 相交b于 p ，点 p 即为所求ae两点之间线段最短ppa+ pb+ pc 最小值 cd c【精品练习 】1如下列图，正方形abcd 的面积为12， abe 是等边三角形，点e 在正方形abcd 内，在对角线ac 上有一点 p，使 pd +pe 的和最小，就这个最小值为（）

8、a da 23b 26c 3d 6peb c2如图，在边长为2 的菱形abcd 中， abc 60 °，如将 acd 绕点 a 旋转，当ac 、ad 分别与 bc 、cd交于点 e、f ，就 cef 的周长的最小值为（）a 2b 23c 23d 4- 3 -3四边形abcd 中， b d 90 °， c 70 °，在 bc 、cd 上分别找一点m、 n，使 amn 的周长最小时， amn + anm 的度数为（）ada 120°b 130°c 110 °d 140 °nbmc4如图，在锐角abc 中， ab 42 ， bac

9、 45 °， bac 的平分线交bc 于点 d ， m 、n 分别是ad 和 abc上的动点，就bm +mn 的最小值是dmanb5如图， rt abc 中， c 90 °， b 30 °，ab 6，点 e 在 ab 边上，点d 在 bc 边上（不与点b、c 重合），且 ed ae，就线段ae 的取值范畴是aecdb6如图，aob 30 °，点 m 、n 分别在边oa、ob 上，且 om 1， on 3，点 p 、q 分别在边ob、oa 上，就 mp pq qn 的最小值是 （注“勾股定理” ：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 rtabc

10、中， c 90°，就有ac 2bc 2ab2 ）7如图，三角形 abc 中， oab aob 15 °，点 b 在 x 轴的正半轴，坐标为b 63 ， 0oc 平分 aob ，点 m 在 oc 的延长线上，点n 为边 oa 上的点，就ma mn 的最小值是 - 4 -8已知a（ 2， 4）、b （4， 2） c 在 y 轴上， d 在 x 轴上，就四边形abcd 的周长最小值为，此时c、d 两点的坐标分别为yabox9已知a（ 1， 1）、b （4， 2）y（ 1） p 为 x 轴上一动点，求pa+pb 的最小值和此时p 点的坐标；baox（ 2） p 为 x 轴上一动点，

11、求papb的值最大时p 点的坐标；ybaox（ 3） cd 为 x 轴上一条动线段，d 在 c 点右边且cd 1，求当ac+ cd+ db 的最小值和此时c 点的坐标；ybaocdx10 点 c 为 aob 内一点（ 1）在 oa 求作点 d ， ob 上求作点e ，使 cde 的周长最小，请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下，如aob 30°， oc 10，求 cde 周长的最小值和此时dce 的度数acob- 5 -11（ 1）如图，abd 和 ace 均为等边三角形，be、ce 交于 f，连 af，求证： af +bf +cf cd ；（ 2）在 abc 中， abc 30°， ab