平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1、一复习引入新课：1 平面向量数量积的含义： f fab= I a II 方 I cos &.2 平面向量数量积的运算率.=交换率1!(2)(力)乙=久 初=a (2初"结合率, (a + b)c = ac + bc分配率3重要结论：设可、字是非零向量，则 a丄乐u> a弘0 .(2)a(3)_ab. 丿我们学过两向量的和与差可以技化为它们相麼 的坐标来运算，那么怎样用Q和亍的坐标 么Z呢?在直角坐标系中，已知两个非零向量a = (xP Y1), b = (x2, y2),如何用a与b的座标表示单位向量分别与兀轴、y轴方向相同，求 ii = 1 i j = 0 J'

2、;i= ° ®JJ= 21/a = x1i + y1j , b = x2i + y2jd'b (xi + y j) (x2i + y 2J)=x,x2i2 + x.y2i j + x2yi j + yxy2j o =XxX2 + J1J2X1、平面向量数量积的坐标表示在坐标平面roy内，已知。=（兀儿）0 = （兀2, J2）则ab = xix2 +丁1丁2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例1:已知：=(1, 7T)J =(- 2,2厂，求方為解d 乙=1X(2)+ /3X2 厂=4；练习：a = (1，2)，方=(3,-1),? = (-3,4),贝9

3、 a(b c)二(-13,-26)2、向量的模和两点间的距离公式A(1)G CL= a/Cl - Z；向量的模设Q =（兀,歹）,则2=兀2 +歹2,或W +八（2）两点间的距离公式 设A （兀1）、3（兀2，歹2）， 贝!AB = J&i -兀2）2 +01 -歹2）2用于计算向量的模如果表示向量血勺有向线段的起点和终点的坐标分别为（西）,（尤22），那么求Gl,倍II ab I例 1:已知 2=(1, 5/T), & =(- 2,2厂, 间=V f+( vr y=2, 囚=V (- 2)2+(2 7T )2=4, .- = (3, -a/3)/.I ab= J32 + (-

4、品 丫 = 2 = 2-(33、两向量夹角公式的坐标运算设。与開勺夹角为& (0° <6 <180°),贝 ll cos。=a-bab>A 设。二(西，yJ，b=(x2,y2)，且。与殃角为0, (0° < 6> < 180。)则 cos 0 =召乜+ 勺亘=其中J彳+ yj丰0,Jx； + yj主0向量夹角公式的坐标式：2=（工1，儿）历=（工2,丿2），则cos& =兀“2+，“2角+7 + y；例 1:已知a=(l,), =(一2, 23 ),求Q与方的夹角QCOS0 =ab_4_ = 12X42二 0 =

5、60°4、两向量垂直的坐标表示。与乙垂直：a=(x19 y1),b= (x2, j2),贝ij Q 丄 bOQ/? = 0 0西兀2+yiV2 =0 练习：a = (3,4)，方丄0，且亍廻声牛标为(1,2)终点坐标为(X, 3x),则5 = W)例 2：已知0 = (5, 0),方= (-3.2, 2.4),求证:(a+b)丄b.证明：(a+b) b=a b+b2=5 X (3.2)+0 X 2.4 + (3.2尸+2.42 =0(a+b)丄方例3:已知A (1、2) , B (2, 3) , C (-2, 5),求证AABC是直角三角形证明：VAB= (2- 1, 3 - 2)

6、= (1, 1) AC= (-2 1, 5 2) = (-3, 3)A AB -AC = lx (-3) + lx 3 二 0Xfi丄必 ABC是直角三角形BO注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线 是否垂直的重要方法之一。如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.5、两向量垂直、平行的坐标表示a=(xl9 yr),b= (x2, j2),则 allb(b H 0) oq =兄方 o xy2 一x2y = 0 q 丄 boa /? = 0o xx2 + 必歹2 = 0例4:已知：=(i,2),& = (3,2)，当k取何值时，1) ka + b与a 3£?垂

7、直？2) ka + b与7 3乙平行？平行时它们是同向 还是反向？例4:已知7 = (1,2)必= (-3,2)，当k取何值时，1) . ka + ba 3& 垂直?2) .需比与2-3为平行？平行时它们是同向还是反向？分析:解：1)2)由已知启发我们先用坐标表示向量 ka + &和 q - 3b 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答Oka+b =血2)+(- 3,2)=仗-32k + 2)a-3b = (1,2)- 3( 一 3,2)= (1Q-4)当佃+亦(a - 3乙)=00寸这两个向量垂直由仗3) 10+(2k + 2) ( 4)= 0解得 k=19当ka+ba -

8、 3忘F行时 存在唯一实数I,使ka+& =兄© - 3方)k =几y k = A =-1 = -3 兄3因此k =-丄时，爲+ &与3忘F行，此时它们方向相反。3得当堂检测已知z=(l,O)J=(O,l),与2z£垂直的向量是B 4. 2i-jB . i-2jC. 2i+jD . i+2j已知°=(九,2)0=( 3,5),且q和b的夹角是钝角，则九的 范围是410T10TC. 2<10D.2<10提高练习_1、已矢口01 = (3,1),丽=(0,5),且疋丽,.“29 BC丄AB,则点C的坐标为C(-3,)2、已知A(l, 2)、B(4、0)、C(8, 6)、 D(5, 8),贝！I四边形ABCD的形状是