.探索与表达规律例题与

1、5探索与表达规律、【问题引入与归纳】我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。1.规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变内情而，并用代数式表示出来.规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学8， n innil nn思想.探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：

2、善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性.探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律， 尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证.在探索规律的过程中，要善于变换思维方式2这样可收到事半功倍的效果.第四到4 5第三列3 4第二列2 3第一列I 2【例1】 观察下列数表：第一行第二行3 4 5 6第三行4 5 0 7第四行根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为 ,第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为 .解析：通过观察、分析、比较可知，第 1行与第1列的交叉点上的数是1,第2行与第2

3、列的交叉点上的数是 3,第3行与第3列的交叉点上的数是 5,第4行与第4列的交叉点上的数是7,，所以可猜想第6行与第6列的交叉点上的数是11,第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为 2n 1.答案：11 2n- 1基本方法制本旋力 QJJiin'a； 2.探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律 常见的几种数字规律形式:(2)新运算的规律新运算是,指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算.新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序.(3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式.要从不同的角度分析，可

4、用去括号、合并同类项验证规,律.【例21】符号“ §”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1) (1) = 0, §(2) =1, 13) = 2, §(4) = 3,1c。1 c。1。1 L(2)放=2, §3=3, §4=4, §5=5,利用上面的规律计算：§ T- §(2 012).2 013分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去1,所以§(2 012) = 2 011;从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等于括号内那个

5、数的倒数，所以§717 =2 013.2 0 131 1解：§2013 §(2 012) = 2 013-2 011=2.【例2 2】 观察下列图形及图形所对应的,算式，根据你发现的规律计算1 + 8+16 +24+ 8n(n是正整数)的结果为().A. (2n+ 1)2(1) 1+S=?1+8+16=?B. (2n- 1)2解析：观察图形和下面的式子可以知道,(3)14-8+16+24=?C. (n+2)21 + 8=1+8X1=9=32,1+8+ 16=1+8X1 +8X 2=52,1+ 8+ 16+24= 1 + 8X 1 + 8X 2+ 8X3=72,，其

6、规律是：计算的结果是连续奇 数的平方，所以 1 + 8+16+24+- + 8门=(2门+1)2.故选人.答案：A思维拓展倒新应用3.探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律.(1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横彳工_竖列二斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角 度去探索.十五廿二廿九0 7 4112横行：相，邻两数相差1.如左下图所示：曰7aa+7竖列：相邻两数相差7.如右上图所示.斜列:遇上到有工1 函皿龄陋遨粗羞8；丛右上到左下的斜列相邻两数相差6.日历中的3X3方框内的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍.口 一8d-1口-6一1。

7、+1a+6a+70+8若将中间数设为a,则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a8) +(a 7) + (a- 6)+(a- 1)+a+(a+1>+(a + 6)+ (a+ 7)+(a+ 8)= 9a,正好是中间数 a 的 9 倍.(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数一折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数.折叠次数：1,2,3,4,5,，n.层数：2,4,8,16,32,，2n.平行对折的折痕数：1.3.7.15.31, ，2n-1.我的笔记【例31】 2013年的元宵节是阳历 2月24日，根据下面的日历，你知道

8、春节和初夕 分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：2013 年星期六星期日2ti二3廿三立春a廿九 除夕b正月初一 春节初七初八23 十四24 十五 元宵节春节：2月 日，除夕：2月 日.解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出. 如图，春节与元宵节在同一竖列中， 根 据竖列中相邻两数相差 7,可知春节比元宵节少14,即2414=10,春节是10日，根据横 列中相邻相差1的规律，可知除夕是 9日.答案：10 9【例32】 将连续的偶数2,4,6,8,排列成如右图所示的数表.24681012141618202224262830323436384042444642(1) “十”字框内5个数的和，与

9、框内中间的数 18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a,用代数式表示“十”字框内5个数之和.分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差2,上下相邻两数相差 12.再换另一组数，同样有这样的规律.解：(1)6+ 16+ 18+ 20+30=90,而90+18=5,所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍.(2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律.(3)若中间的数为a,则框住的5个数分别为a12, a-2, a, a+2, a+12,其中a为偶数，故它们的和为 (a-12)+(a-2)+ a+(a+

10、2)+ (a+ 12)= 5a.【例3-3】 如果将一张长方形白纸，平行对折7次，展开后，会有 条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成 个小长方形.解析：根据折叠中的规律：对折 7次，即当n=7时，平行折痕数为 2n-1=27-1 =127(条),1条折痕能把长方形分成 2个小长方形，2条能分成3个，127条折痕,则分成128个小长方形.答案：127 128二、【典型例题解析】1、观察算式：(1 3) 2(1 5) 3(1 7) 4(1 9) 5 1 3 -,1 3 5 -,1 3 5 7,1 3579 -,2222按规律填空：1+3+5+99=? , 1+3+5+7+ + (2n 1) ?2

11、、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。 观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了多少块石子?3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖(如图所示)的规律，拼成若干个图案：(1)第3个图案中有白色地面砖多少块？ ( 2)第n个图案中有白色地面砖多少块？4、观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第n个图形中三角形的个数为多少?5、观察右图，回答下列问题：(1)图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有 1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？(2)如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第 n层有多少个点？(3)某一层上有77个点，这是第

12、几层？(4)第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前 12层的和是多少？6、 读一读：式子“ 1+2+3+4+5+化。”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+ 100+100”表示为n,这里” ”是求和符号，例如“ 1+3+5+7+9+-+99”(即从1n 150开始的100以内的连续奇数的和)可表示为 (2n 1);又如10n 133 33 _33 r 3 3 33 ” -r -* 、J3123456789 10可表小为n ,同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列

13、问题:（1） 2+4+6+8+10+-+100 （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为;5（2）计算：（n2 1）= （填写最后的计算结果）。n 17、 观察下列各式，你会发现什么规律？3X5=15,而 15=42-1 5X 7=35,而 35=。111 X 13=143,而 143=122-1将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。8、请你从右表归纳出计算13+23+33+n3的分式，并算出 上 一 上*f 一 169 | L213+23+33+1003 的值。炉 一 . s 12 1cl三、【跟踪训练题】11、有一列数 a1，a2, a3, a4 |“an,其中：

14、a1=6X 2+1, a2 =6X 3+2, a3 =6X 4+3, a4=6X 5+4;贝第门个数an=,当an =2001时，n =。2、将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826根据上面的规律，则2006应在 行 列。3、已知一个数列2, 5, 9, 14, 20, x, 35则x的值应为：（）4、在以下两个数用中：1,3, 5, 7,，1991, 1993, 1995, 1997, 1999和 1,4, 7, 10,，1990,）个。A.3331993, 1996, 1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共

15、有(B.334C.335D.336拼成一行的桌子数123n人数465、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果 多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌 拼成一行能坐6人(如右图所示)按照这 种规定填写下表的空格：6、给出下列算式：3212815232827 252839 27 284观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律：152=225可写成 100X1 X (1+1) +25252=625可写成 100X2X (2+1) +25352=1225可写成 100X 3X (3+1) +25452=2025 可写成 100X 4X (4+1) +25752=5625可

16、写成归纳、猜想得：(10n+5) 2=根据猜想计算：19952=一 c c cc 1.8、已知 12 22 32n2 1n n 1 2n 1 ,计算：6112+122+1科+192= ;9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者 提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40 时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？例7.如图，平面内有公共端点的六条射线OA, OB, OC, OD, OE, OF,按逆时针方向依次在射线上写出数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.(1) “17”在射线 上,“2008”在射线 上.(

17、2)若n为正整数，则射线 OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为.分析：OA上排列的数为：1, 7, 13, 19,观察得出，这列数的后一项总比前一项多6,归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=3X6-1,所以17在射线OE上。从射线OA开始A列第二列第一行13第二行151311第三行1719第四行312927V V 根据上面规律，2007应在A. 125行,3列B.125 彳例8.将正奇数按下表排成5列:5列921第三列723第四列第五列25C. 251彳7,2 列 D 251 行,5 列因为 2008=334X 6+4=335X 6-2 ,所以 2008 在射线 OD±分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数：3, 11, 19, 27, 规律为8n-5因为 2007=250 X 8+7=251 X 8-1所以，2007应该出现在第一列或第五列又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列, 所以2007应该在第251行第5列例9. (2006年嘉兴市)定义一种对正整数n的“F”运算：当n为奇数时，结果为3n+ 5;当n为偶数时，结果为 如，取n=26,则：2"（其中k是使2"为奇数的正整数），并且运算重复进行.亘 EEF第二次2El若n=449,则第449