小学数学比和比例问题知识汇总及解析例题

1、学习必备欢迎下载学校数学学问总结之比和比例应用题【求比的问题】例 1 两个同样容器中各装满盐水；第一个容器中盐与水的比是23，其次个容器 中盐与水的比是34，把这两个容器中的盐水混合起来，就混合溶液中盐与水的比是 ；（无锡市学校数学竞赛试题）就混合溶液中，盐与水的比是：某电子产品去年按定价的80出售，能获利20，由于今年买入价降（ 1994 年全国学校数学奥林匹克决赛试题）即：学习必备欢迎下载【比例问题】例 1 甲、乙两包糖的重量比是41，假如从甲包取出10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7 5 那么两包糖重量的总和是 克；（ 1989 年全国学校数学奥林匹克初赛试题）例 2 甲容器中

2、有纯酒精11 升，乙容器中有水 15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器， 使酒精与水混合； 其次次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器；这样甲容器中纯酒精含量为62.5 ，乙容器中纯酒精含量为25，那么，其次次从乙 容器倒入甲容器的混合液是 升；（ 1991 年全国学校数学奥林匹克决赛试题）讲析：由于现在乙容器中纯酒精含量为25，所以，乙容器中酒精与水的比为 25（ 1-25 ） =1 3第一次从甲容器中倒5 升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是 515=13又甲容器中纯酒精含量为62.5 ，就甲容器中酒精与水的比为62.5 （1-62.5 ） =53其次次倒后，要使

3、甲容器中纯酒精与水的比为5 3，不妨把从甲容器中倒入乙容 器的混合液中纯酒精作1 份，水作 3 份；那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6（升）6 升算作 4 份，这样可恰好配成5 3；而其次次从乙容器倒入甲容器的混合液共为1 3=4（份），所以也应是6 升；学习必备欢迎下载一.比的意义和性质（ 1） 比的意义两个数相除又叫做两个数的比；“：”是比号，读作 “比”；比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项；比的前项除以后项所得的商，叫做比值；同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数；比的后项不能是零；依据

4、分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值（ 2）比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本性质；（ 3） 求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数；依据比的基本性质可以把比化成最简洁的整数比；它的结果必需是一个最简比，即前、 后项是互质的数；（ 4）比例尺图上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离；线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离；（ 5）按比例安排在农业生产和

5、日常生活中，经常需要把一个数量依据肯定的比来进行安排；这种安排的方法通常叫做按比例安排；方法：第一求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少；2 比例的意义和性质（ 1） 比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例； 组成比例的四个数，叫做比例的项；两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项；（ 2）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积；这叫做比例的基本性质；（ 3）解比例依据比例的基本性质，假如已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项；求比例中的未知项，叫做解比例；3 正比例和反比例（ 1） 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变

6、化，假如这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）肯定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系；用字母表示y/x=k 肯定）（ 2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量中相对应的两个数的积肯定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系；用字母表示x ×y=k 肯定 学习必备欢迎下载二 正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量中相对应的两个数的比的比值肯定（即商肯定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；正比例应用题是正比例意义和解比例等学问的综合运用；两种相关联

7、的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量中相对应的两个数的积肯定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系；反比例应用题是反比例的意义和解比例等学问的综合运用；【数量关系】判定正比例或反比例关系是解这类应用题的关键；很多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷；【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题；例 1 修一条大路，已修的是未修的1/3 ，再修 300 米后，已修的变成未修的1/2 ，求这条大路总长是多少米？例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样运算， 91 分钟可以做几道应用题？

8、关键：做题效率肯定，做题数量与做题时间成正比例关系例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看24 页， 15 天看完，假如每天看36 页，几天就可以看完？学习必备欢迎下载三 按比例安排问题【含义】 所谓按比例安排，就是把一个数依据肯定的比分成如干份；这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数；【数量关系】从条件看，已知总量和几个部重量的比；从问题看，求几个部重量各是多少；总份数比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部重量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子

9、），再依据求一个数的几分之几是多少的运算方法，分别求出各部重量的值；例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数安排给五年级三个班，已知一班有47 人，二班有48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3 4 5 ；三条边的长各是多少厘米？例 3 从前有个牧民， 临死前留下遗言， 要把 17 只羊分给三个儿子， 大儿子分总数的1/2 ，二儿子分总数的1/3 ，三儿子分总数的1/9 ，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊；例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为812 21 ，第一车间比其次车间少80 人，三个车间共多少人

10、？学习必备欢迎下载四 列方程例 1 甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数的2 倍少 30 人，求两班各有多少人？例 2 仓库里有化肥940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运125 袋，乙汽车每次运多少袋？智趣题学校买了 4 张办公桌和 1 把椅子，共用去 510 元，后又买来 6 张办公桌和 1 把椅子共用去 750 元；求每张办公桌和每把椅子各多少元？作业1一台拖拉机第一天上午3 小时平均每小时耕地7.8 公亩，下午4 小时平均每小时耕地8.1 公亩，其次天用了 5 小时耕地38.4 公亩，正好完成任务；这台拖拉机平均每天耕地多少公亩.2王、张两人各带同样多的钱去商店买花布，同

11、种的花布小王买了9 米，小张买了6 米；王向张借了12元，两人的钱刚好用完；这种花布每米多少元.比的应用练习题1、两个相同的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是3 ： 1，另一个瓶中酒精与水的体积比是4 ： 1；假如把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是学习必备欢迎下载（）；2 、五 角人 民币 与贰角 人民 币的 张 数 比 为12： 35 ， 那 么 伍 角与 贰角 的总 钱数 比为（）；3、甲、乙、丙三个数的平均数是60；甲、乙、丙三个数的比是3 ：2 ：1；甲、乙、丙三个数各是多少？4、一个直角三角形的两个锐角度数的比是2 ：1，这两个锐角分别是多少度？5、大、

12、小两瓶油共重 2.7 千克，大瓶的油用去0.2 千克后，剩下的油与小瓶内油的重量比是3 ：2；求大、小瓶里各装油多少千克？6、甲、乙、丙三位同学共有图书108 本，乙比甲多18 本，乙与丙的图书数之比是5 ：4，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？7、一个直角三角形的三条边总和是60 厘米，已知三条边的比是3 ：4 ：5. 这个直角三角形的面积是多少平方厘米？8、一个直角三角形的周长为36 厘米，三条边的长度比是3 ：4 ： 5，这个三角形的面积是多少平方厘米？9、一瓶盐水，盐和水的重量比是1 ： 24，假如再放入 75 克水，这时盐与水的重量比是1 ：27，原先瓶内盐水重多少千克？10、盒子里有

13、三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2 ：3，红球个数与白球个数的比是 4 ：5；已知三种颜色的球共175 个，红球有多少个？11、王老师用 100 元去买了 20 支圆珠笔和 10 支钢笔，每支钢笔的价钱和每支圆珠笔的价钱的比是 3 ： 1；问买圆珠笔和钢笔各花了多少元？12、甲、乙两包糖果的重量的比是4 ：1，假如从甲包取出10 克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为7 ：5；那么两包糖果重量的总和是多少？学习必备欢迎下载13、某学校男、女生人数之比是16 ：13，后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比变成为 6 ：5，这时全体同学共有880 人，问转学来的女生有多少人？14、

14、小明读一本书，已读的和末读的页数比是1 ：5；假如再读 30 页，就已读的和末读的页数之比为 3 ：5；这本书共有多少页？15、运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是1 ：4；假如再运走4 吨，那么运走的和剩下的比为 3 ： 7；这批货物共多少吨？16、甲、乙、丙三人的彩球数的比例为9：4：2，甲给了丙 30 个彩球，乙也给了丙一些彩球，比例变为 2 ：1 ： 1；乙给了丙多少个彩球？溶液问题一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量. 放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题. 在考虑浓度和配比时，百分数的运算扮演了重要的角色，并产生形形色色的运算问题，这是学校数学应用题

15、中的一个重要内容.从一些基本问题开头争论.例 15 基本问题一（ 1）浓度为10，重量为80 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8的糖水？（ 2）浓度为20的糖水40 克，要把它变成浓度为40的糖水，需加多少克糖？ 解：（ 1）浓度 10，含糖 80 × 10 8 （克），有水80-8 72（克） .假如要变成浓度为8，含糖8 克，糖和水的总重量是8÷ 8 100（克），其中有水100-8 92（克） .仍要加入水92- 72 20 （克） .（ 2）浓度为20，含糖40× 20 8（克），有水40- 8 32 （克） .假如要变成浓度为40， 32 克水中，

16、要加糖x 克，就有x 32 40（ 1-40 ），例 16 基本问题二20的食盐水与5的食盐水混合， 要配成 15的食盐水900 克. 问：20与 5食盐水各需要多少克？解： 20 比 15多（ 20 -15 ）， 5 比 15少（ 15 -5 ），多的含盐量（ 20-15 ）× 20所需数量学习必备欢迎下载要恰好能补偿少的含盐量也就是画出示意图：（ 15-5 ）× 5所需数量 .相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.答：需要浓度20 的 600 克，浓度5 的 300 克.这一例题的方法极为重要，在解很多配比问题时都要用到. 现在用这一方法来解几个配比的问题.例

17、 17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5 元，蓝笔定价9 元. 由于买的数量较多，商店就给打折扣. 红笔按定价85 出售，蓝笔按定价80 出售 . 结果他付的钱就少了18 . 已知他买了蓝笔30支，问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18 82 .（85%-82）（ 82%-80） 3 2.依据基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2 3.设买红笔是x 支，可列出比例式5x 9× 30 2 3答：红笔买了36 支.配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比. 要提请留意，例17 中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.例 18

18、 甲种酒精纯酒精含量为72，乙种酒精纯酒精含量为58，混合后纯酒精含量为62 . 假如每种酒精取的数量比原先都多取15 升，混合后纯酒精含量为63.25 . 问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多 少升？解：利用例16 的方法，原先混合时甲、乙数量之比是后一次混合，甲、乙数量之比是学习必备欢迎下载这与上一讲例14 是同一问题 . 都加 15，比例变了，但两数之差却没有变.5 与 2 相差 3，5 与 3 相差 2. 前者 3 份与后者2 份是相等的 . 把 2 5 中前、后两项都乘2，3 5 中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15 是 5 份，每份是

19、3. 原先这答：第一次混合时，取甲酒精12 升，乙酒精30 升.例 19 甲容器中有8的食盐水300 克，乙容器中有12.5 的食盐水120 克 . 往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样. 问倒入多少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.甲中含盐量：乙中含盐量= 300 × 8 120× 12.5 = 8 5.现在要使（ 300 克+倒入水）（ 120 克+倒入水） 8 5.把“ 300 克+ 倒入水”算作8 份，“ 120 克+ 倒入水”算作5 份，每份是（ 300-120 ）÷（ 8-5 ） = 60 （克） .倒入水量是60 × 8-300 180 （克） .答：每一容器中倒入180 克水 .例 20 甲容器有浓度为2的盐水