9.江苏省南京市、盐城市、连云港市2018届高三年级第二次模拟考试数学与评分标准

1、南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试2018.03一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.函数f （x）= lg（2 x）的定义域为.2,已知复数z满足一 J=i,其中i为虚数单位，则复数 z的模为 .1 + 2i3 .执行如图所示的算法流程图，则输出 a的值为 .4 .某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为.开始（第3题）i-0 , a6（第4题）高三数学试卷第3页共18页5 . 3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为.6 .已知等差数列

2、an的前n项和为Sn.若&5= 30, a7=1,则 工的值为 .2 ,a7 .在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.若bsinAsinB+acos B= 2c,贝匚的值为.c28 .在平面直角坐标系 xOy中，双曲线C： x2-b2=1 （b>0）的两条渐近线与圆 O： x2 + y2 = 2的四 个交点依次为 A, B, C, D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为 .9 .在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为乖的正四棱锥 S-EFGH （如图2）,则正四棱锥 S EFGH的体积为.（第9题）-r

3、 - - r 1 a - B.r BL FBB - r 1 :J:;:i.H:J 5510 .已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当 x>0时，f (x)=x2+x.若f (a)+f (-a)<4,则实数a的取值范围为.11 .在平面直角坐标系 xOy中，曲线y = e(m>0)在x= 1处的切线为1,则点(2, 1)到直线l的 x+ 1距离的最大值为.12 .如图，在 ABC中，边BC的四等分点依次为 D, E, F.若Ab -AC =2, AD .Af=5,则AE的长为.13 .在平面直角坐标系 xOy中，已知A, B为圆C:(x+ 4)2 +(y a)2= 16上

4、两个动点，且AB=2于1.若直线1: y=2x上存在唯一的一个点 P,使得FA + PB = OC ,则实数a的值为 .，一、一 x + 3x +3 xv 0, _4一、 一一 一， A _.一，14 .已知函数f(x)= StCR.若函数g (x)=f (f (x)1)恰有4个不同的零点，则tx,x# U ,的取值范围为 .、解答题(本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答 案写在答题卡的指定区域内)15.(本小题满分14分)一，.一、“， 一 一一 兀 兀兀 7兀一，一已知函数f(x) = 2sin(cox+ (co>U, 2v(K2羽部分图象

5、如图所示，直线*=曰 x=12是其相邻的两条对称轴.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2°)= I，且学< a< 奈 求 cos a的值.16.(本小题满分14分)如图，矩形ABCD所在平面与三角形AB, BE的中点.(1)求证：MN /平面BEC；(2)求证：AHXCE.ABE所在平面互相垂直,AE=AB, M, N, H 分别为 DE,17.(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系，得到关系式m=kX-§d(k为常数).如图，某投资者计划在与商场 A相距10km的新区新建商场 B,且商场B的面积与 商场A的

6、面积之比为 入(0< K 1).记每年居民到商场 A购物的次数”、每年居民到商场 B购物 的次数”分别为m1、m2,称满足m1Vm2的区域叫做商场 B相对于A的 更强吸引区域1 .(1)已知P与A相距15km ,且/ PAB= 60°.当 仁2时，居住在P点处的居民是否在商场B相对于A的更强吸引区域”内？请说明理由;(2)若要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的 更强吸引区域”，求入的取值范围.19 (本小题满分16 分 )18.(本小题满分16分)22如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆E：与+ y2= 1(a> b> 0)的离心率为

7、零一，上顶点A到右焦 a b2点的距离为22 .过点D(0, m)(mw0)作不垂直于x轴，y轴的直线l交椭圆E于P, Q两点，C 为线段PQ的中点，且ACXOC.(1)求椭圆E的方程；(2)求实数m的取值范围；(3)延长AC交椭圆E于点B,记4AOB与4AOC的面积分别为S1,，若S1 = 8,求直线l的方程.S2 3高三数学试卷第5 页 共 18 页已知函数 f (x) = x(ex 2), g (x)=xlnx+ k, kC R, e为自然对数的底.记函数 F(x)=f(x) + g (x).(1)求函数y = f (x) + 2x的极小值；(2)若F(x)>0的解集为(0, +8

8、),求k的取值范围；(3)记F(x)的极值点为 m.求证：函数 G(x)= |F(x)|+lnx在区间(0, m)上单调递增.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20.(本小题满分16分)对于数列an,定义 bn(k)=an+an+k,其中 n, kCN*.(1)若 bn(2)-bn(1)= 1, nCN*,求 bn(4)bn(1)的值;(2)若 ai = 2,且对任意的 n, kCN*,都有 bn+1(k)= 2bn(k).(i)求数列an的通项公式；(ii)设 k 为给定的正整数，记集合 A=bn(k)| n N* , B= 5bn(k+2)| n C N*, 求证：AAB=0.南京

9、市、盐城市2018届高三第二次模拟考试数学附加题21.【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B.选修4-2:矩阵与变换2已知a= 为矩阵A=属于实数入的一个特征向量，求 入和A2.Ld L-i 2C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中， 直线，的参数方程为厂（t为参数），圆C的参数方程为，,二"+2(a>0 ， y = asin高三数学答案第9页共18页0为参数），点P是圆C上的任意一点，若点 P到直线，距离的最大值为 3,求a的值,【必做题】第22题、第23题

10、，每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)甲，乙两人站在 P点处分别向A, B, C三个目标进行射击，每人向兰个目标各射击一次，每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A, B, C的概率分别都为! 一 ,1.2 3 4(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率.23 .(本小题满分10分)已知nCN*,且n>4,数列T： a1, a2,，an中的每一项均在集合 M=l , 2,，n中, 且任意两项不相等.(1)若n=7,且a2<a3<

11、;a4<a5<a6,求数列T的个数;(2)若数列T中存在唯一的ak(k N*,且k<n),满足ak >a k+1,求所有符合条件的数列 T 的个数.2.3.4.只给整数分数，填空题不给中间分数.、填空题（本大题共 14小题，每小题5分,70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明:本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视 影响的程度决定给分，但不得

12、超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的 错误，就不再给分.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.置上）1 .(一巴 2)2.木3.4. 1635, 86.- 97. 28.市49.-310. (-1, 1)12. .613. 2或-1814. -4, 0)二、解答题（本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 .（本小题满分14分）解：（1）设f（x）的周期为T,则T=72 £=2，所以T=兀又 丁=2,所以 3= 2,所以 f(x) = 2sin(2x+ 机 3因为点（1&

13、quot;2", 2）在函数图象上，所以 2sin（2 12+昉=2,即sin因为一2因所以 4=：,所以 f(x)= 2sin(2x+j336 /日5,得,久 3sin(讣 3)= - 510分14分所以六计广春所以 cos( a+3) = - AJ1-sin2( a+3)= -5-所以 cos a= cos( a+ 3) - 3 = cos(什 3)cos3+ Sin( a+ 3) sin34 1-3 .33 ；3 + 45巧十(一 5)当=10-16 .(本小题满分14分)(1)解法一：取CE中点F ,连接FB , MF.因为M为DE的中点，F为CE的中点,所以 MF/ CD

14、且 MF=1CD 2 分2,又因为在矩形 ABCD中，N为AB的中点，1所以BN / CD且BN=CD 25所以MF/ BN且MF=BN,所以四边形 BNMF为平行四边形，所以MN / BF. 4分又MN定平面BEC, BF匚平面BEC,所以MN/平面BEC. 6分解法二：取AE中点G,连接MG , GN.因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以 MG/AD.又因为在矩形 ABCD中，BC / AD,所以 MG / BC .又因为 MGS平面BEC, BC仁平面BEC, 所以MG /平面BEC. 2分因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以 GN/BE. 又因为 GN二平面BEC, BE二平面

15、BEC,所以 GN/平面BEC .又因为 MGAGN = G, MG, GN匚平面GMN , 所以平面 GMN /平面BEC. 4分又因为 MN匚平面 GMN ,所以 MN /平面 BEC. 6分(2)因为四边形 ABCD为矩形，所以BCXAB.因为平面 ABCD，平面 ABE,平面 ABCD n平面 ABE = AB, BC仁平面 ABCD ,且BCXAB, 所以BC,平面ABE. 8分因为 AH二平面ABE,所以BCXAH .因为 AB=AE, H为BE的中点，所以 BEXAH. 10分因为BCABE=B, BC仁平面BEC, BE 0面BEC, 所以AH,平面BEC. 12分又因为CE匚

16、平面BEC,所以AHXCE. 14分17 .(本小题满分14分)解：设商场A、B的面积分别为 &、S2,点P至ijA、B的距离分别为dv d2,则 &=m1 = k-, m2 = k, k 为常数，k>0.（1）在 ARAB 中，AB=10, PA=15, /PAB=60o,由余弦定理，得 d22=PB2=AB2+PA22AB RAcos60°= 102+ 152-2X 10X 15*2= 175. 2 分又 d12=PA2=225,此时，m1一m2=k-女亲=k小一k爵=kS1（去一房）, 4分将 上 1, d12=225, d22= 175 代入，得 m1m

17、2=k&（熹£）.2'225 350，因为kS1>0,所以m1 >m2,即居住在P点处的居民不在商场 B相对于A的 更强吸引区域”内.(2)解法一：以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0, 0), B(10, 0),设 P(x, y),由mvm2得, k秦vk余，将S2=妗代入，得d22V汹2. 代入坐标，得(x-10)2 + y2< Xx2 + y2),10分化简得(1- N x2+(1 ) y2-20x+100<0.A(第17题)因为0<入< 1,配方得-普?2+y2<2,所以商场B相对于

18、A的更强吸引区域”是：圆心为C(0-, 0),半径为1入由题设，圆B内含于圆C,即BCv|ri闾.12分因为0V入v 1,所以2,整理得4入5 K0,解得116V K 1. 1所以，所求入的取值范围是脸1).14分解法二：要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于 则当d2< 2时，不等式m1V m2恒成立.A的更强吸引区域”,由m1< m2,得2S2双 八生/口 2 d2kK= k-；p,化简得 d1 >- d2d2A设/ PBA= 0,贝U d12=PA2= AB2 + PB2-2AB PBcos 仁 100+ d2220d2cos 也10分2d22 口

19、。所以 100+d22-20d2cos0> 春,即 人一 2100+d2 一20d2d22入一 八-> cos 0.2100+d2 一上式对于任意的 长0,兀恒成立，则有20d2d22入，> 1,12分即 1 二>20，丁 100入d211 2= T00(力+1 ()与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10, 0),半径为2=2的圆的内部及圆周.高三数学答案第13页共18页,一 11由于d2< 2,所以d2 2,11, 一，一 八当：=已时，不等式(*)右端的最大值为一15,d2 21一 I1所以1二>15,解得二.人16又0V衣1,14分

20、所以入的取值范围是18.（本小题满分16分）£ 口O O O解：（1）因为 $a 2 所以 c=i, b2=a2c2=1,a=业2所以椭圆E的方程为/y2=1.解法一：（2）由（1）得 A（0, 1）.设 P（x1，y1），Q（X2, y2）, 0（x0, y。），其中 x°, y°均不为 0,且 xwx2.因为P, Q两点都在椭圆E上，所以 /+2%2=2且x22+2y22=2,两式相减得七xy0=-2- 又"在 = ym ,所以如二mxy0=-l,x2 一 xxoxoxo2即 x°2= 2y°(myo).又 ACOC,所以 y0二

21、1 Xy0=- 1, xoxo即 x02= yo(1 yo).由得 y0=2m1, xo2=(1 -2m) (2m-2) (0, 2), . 1所以-v m< 1. 2 设B(x3, y3),点B在椭圆E上，所以x32+2y32=2.又 ACOC,所以 y3二1 X= 1,即 y3=地x3+1, x3xoyo所以汩S21AOX |x3|12AO X |xo|x4yoxo|Tyo+2xo2分4分6分8分10分12分代入上式消去V3,得x3 =高三数学答案第#页共18页由(2)知 y0=2m1, x02= (1 2m) (2m 2), mv 1,14分包严口 q q S2 i(2m1)2+2

22、(1 2m)(2m 2) | |3-2m | 3-2m因为&=8,所以-=S2 33 2m3,解得m = 3,此时 yo=2m- 1 = 1, xo2= (1 2m) (2m 2) = ；,所以 xo=±1所以c点坐标为（±2, J, d点坐标为（o, 4）,16分所以直线l的方程为y=±% + 3.解法二： 由(1)得 A(0, 1),设 P(X1, y1)，Q(X2, y2), C(X0, y0),设直线I方程为y= kx+m(kw0),将其与椭圆E的方程联立，消去 y得(1 + 2k2)x2+ 4kmx+ 2m2-2=0 (*),所以4 km x1

23、+ x2=2,1 + 2k所以x1 + x2- 2kmm 日口x0= 2=+ 2卜2，、0= %+ m= + 2k2，即- 2 kmmC(1+2k2' 1 + 2k2),所以kAC =d -2-12y0 1 1 + 2k 2k +1 mX02km1+2k22 kmmyn 1 2k2又因为 koC = *= TT-x0 2 km21 + 2k,且 ACXOC, 2k2k2+ 1 m所以 kAC X kOC2 km21整理得m=2VU.4k + 17)=1,因为kw 0,则m =2k2+1 4k2+1 2k24k +14k + 1111),2+示此时=所以实数8(2k2+ 1-m)>

24、0,1m的取值氾围为(21).10分(3)设 B区,Y3),koc= 2k,所以直线AB的方程为y=2kx+1,与椭圆E方程联立解得x=-或0 (舍)，即x3 = 1+8k8k1 + 8k212分又因为 2km 2k 2k2+ 1 _ 2k1 + 2k2 1 + 2k2>4k2+ 1 1 + 4k2'所以&S2-8k乂 |x3| J + 8k2 4+ 16k2 1= | - 2k |= 1 + 8k2 ,2AOX|x0| 帝？14分因为S1= !，所以S2 32此日m = 22±l二4k2+12言詈3,解得"±2,33 D点坐标为(°

25、;,34)，16分所以直线I的方程为y=±%+ 4-高三数学答案第15页共18页19.(本小题满分16分)11)解：y=f(x) +2x= xeX，由 y = (1+ x)ex=0,解得 x=1.列表如下：x(OO, 1)1(1 , +°° )y，一0十y极小值/所以当x=- 1时，f(x)取得极小值一1 . 2分e1(2)解：F(x)= f(x)+g(x) = xe x lnx+k, F (x) = (x+ 1)(e -),设 h(x)= ex-1(x>0),则 h 'x) = ex+*0 恒成立， xx所以函数h(x)在(0, +8止单调递增.，

26、1又卜(2)=加一2v0, h(1) =e- 1 >0,且h(x)的图像在(0, + 00止不间断，因此h(x)在(0, + 8止存在唯一的零点x0c (，1),且ex0：。. 4分2x0当 xC (0, xO)时，h(x)<0,即 F 'x)<0;当 xC (x°, 十°°肘，h(x)>0,即 F 'x)>0,所以F(x)在(0, x0)上单调递减，在(x°, +8止单调递增，于是x= x0时，函数F(x)取极(最)小值为F(x0) = x0ex05 lnx0+k 6分1=1 x° ln x0k=

27、 1 + k. e因为F(x)>0的解集为(0, 十°0 ),所以 1 + k>0,即 k>- 1. 8分(3)证明：由(2)知m = x0,当1 + k>0,即k>1时，F(x)>0恒成立，于是 G(x)= F(x)+ lnx= xe x x+ k, G 'x) = (x+1)ex 1.因为xC (0, m),所以x+1>1, ex>1,于是G 'x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0, m)上单调递增. 10分当 1 + kv0,即 kv 1 时，0vekv1x0=m,F(ek) = ek( eek- 1)&g

28、t;0, F(m)= F(%)= 1 + kv 0,又F(x)在(0, m)上单调递减且图像不间断， 所以F(x)在(0, m)上存在唯一的零点 Xi， 12分当 0vxWx时，F(x)>0, G(x)=F(x)+lnx= xex-x+ k, G 'x)= (x+1)ex1,因为0V x< Xi,所以x+ 1>1, ex>1,于是G 'x0>0恒成立，所以函数G(x)在(0, Xi上单调递增；14分当 x1Wxvm 时，F(x)W0, G(x)= F(x)+ lnx, G 'x)= F 'x) + 1, x由(2)知，当xwxvm时

29、，F 'x)<0,于是 G 'x)>0恒成立，所以函数G(x)在区，m)上单调递增；设任意 s, tC (0, m),且 sv t,若twx1,则由知 G(s)vG(t),若 svX1<t,则由知 G(s)vG(Xi),由知 G(x1)<G(t),于是 G(s)vG(t), 高三数学答案第14页共18页若 xiWs,由知 G(s)vG(t),因此总有G(s)vG(t),所以G(x)在(0, m)上单调递增.综上，函数 G(x)在(0, m)上单调递增. 16分20.(本小题满分16分)(1)解：因为 bn(2)-bn(1)= 1 ,所以(an+an+2)

30、 (an+an+l)= 1 ,即 an + 2 an + 1 = 1 , 因此数列an+1是公差为1的等差数列，所以 bn(4)bn(1) = (an+an+4)(an+an+1) =an+4an+1=3. 2 分(2) (i)解：因为 bn+1(k)=2bn(k),所以 an+什 an+1 + k=2(an+an+k),an+1 + an+2 = 2(an+an+1),分别令k= 1及k= 2,得i 1 2_ 2/3 1 3、 的4分an+1 十 an+3 2(an+an+2),由得 an + 2+an+3= 2(an +an+2), 6 分一得 an+2an +1= 2(an+1 an),

31、 8 分一得 2an + 1=4an,即 an + 1=2an, 又 a1 = 2,所以 an=2n. 10 分(ii)证明：假设集合A与集合B中含有相同的元素，不妨设bn(k)=5bm(k+ 2),n, m N* ,即 an + an + k = 5(am+am+k+2),于是 2n+2n+k=5(2m+ 2m+ k+2),小+ 2、整理得2n m= W I1 + 25(1 2k 2)3因为 5(“°k)=5(4_；j)e15, 20),即 2n mC15, 20),1+21+212分因为 n, m C N* ,从而 n m=4,5(14 2k+2),所以 5(112k)=16,即

32、 4X2k=11.14分由于k为正整数，所以上式不成立,因此集合A与集合B中不含有相同的元素，即 An B = 0.16分高三数学答案第23页共18页南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.03又因为OD为半径，所以 DE是圆O的切线.10分B.选修42:矩阵与变换解:1因为!1711=入1解方程组得a= 0, 、七1.1 021 0，所以 A=!- 3 410分C.选修44:坐标系与参数方程解:因为直线l的参数方程为所以直线l的普通方程为,x= t,、,ly*t+2（t 为参数）,y= 3x+ 2.又因为圆C的参数方程为所以圆C的普通方程为xx=

33、acos 0,（. （a>0,。为参数）,y= asin 02 + y2 = a2.因为圆C的圆心到直线l的距离d=1,说明:1 .本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数，填空题不给中间分数.21 .【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做

34、 2题，每小题10分，共计20分.请在答 卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41:几何证明选讲证明：连结OD,因为OD = OA,所以/ OAD = Z ODA.因为AD平分/ BAE,所以/ OAD = Z EAD,所以/ EAD = /ODA,所以 OD/AE.又因为 AEXDE,所以DELOD.10分所以1 + a = 3,解得a = 2.D.选修45:不等式选讲解：方法|x 1|+ |x|> |x- 1 -x|= 1 ,当且仅当x(x- 1)<0,即0WxW 1时取等号. 4分|y 1| + |y+ 1|> |y 1 y 1| = 2,当且仅当(y-1)(y+1)<0,即一1WyW1时取等号. 8分所以 |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|>3,当且仅当0WxW1, 1WyW1时取等号，所以 |x1|+|x|+|y1|+|y+1|的最小值为 3. 10 分方法二：px- 1, x>1,因为 f(x)=|x 1|+|x|= 1 , 0<x< 1 ,1-2x, x<0,所以 f(x)min = 1 . 4 分2y, y>1,因为 g(y)= |y1|+ |y+1|=S2, - 1 <y< 1,2 -2y, y< - 1,所以 g(y)min=