平面向量知识点总结3

1、一、向量的基本概念平面对量基础学问复习平面对量学问点小结1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和数量的区分. 向量常用有向线段来表示.r留意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例 1已知 a 1,2 ， b4,2，就把向量uuurab 按向量 a 1,3 平移后得到的向量是 .结果： 3,0r2. 零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，规定：零向量的方向是任意的；uuur3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 ab 共线的单位向量是4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；uuur abuuur）；

2、| ab |a5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量r 、rrrb 叫做平行向量，记作：a b ，规定： 零向量和任何向量平行.注：相等向量肯定是共线向量，但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！ （由于有 0 ；uuur uuur三点 a、b、c 共线ab、ac 共线 .a.a6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. r 的相反向量记作r| a | | b |ab举例 2如以下命题：（ 1）如 rr ， 就 rr .（ 2）两个向量相等的充要条件是它

3、们的起点相同，终点相同.uuuruuuur（ 3）如 abdc，就 abcd 是平行四边形 .uuuruuuur（ 4）如 abcd 是平行四边形，就abdc .（ 5）如 rr ， rr ，就 rr .abbcacrrrrrr（ 6）如 a / /b ， b / /c 就 a / / c . 其中正确选项.结果：（4）（ 5）二、向量的表示方法uuur1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示，如ab ，留意起点在前，终点在后；r ， rr2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如ab ， c 等；rr3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量

4、i ,j为基底， 就平面内的任一向量r 可表示为rrr x, y，称 x, y 为向量r 的坐标， r叫做向量aar 的坐标表示 .axiyjaax, y结论：假如向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面对量的基本定理e1 , e2a定理设 rr 同一平面内的一组基底向量，r 是该平面内任一向量，就存在唯独实数对, ，使rrr .12a1e12e2（1）定理核心：rrr ；（2）从左向右看，是对向量r 的分解，且表达式唯独；反之，是对向量r 的合成 .a1 e12e2r raarrrr（ 3）向量的正交分解：当e1 ,e2 时，就说a1e12 e2 为对向量 a 的正交分

5、解举例 3（ 1）如 rr1,1 ，1, 1 ， r 1,2 ， 就r.结果： 1 r3 r .abccab 22（ 2）以下向量组中，能作为平面内全部向量基底的是brrrra.rrrr13e10,0， e21, 2b.e1 1,2， e25,7c.e13,5 ， e26,10d.e12, 3 ， e2,24（ 3）已知uuur uuur分别是 abcuuurruuurruuur的边 bc ， ac 上的中线 , 且，, 就可用向量r r表示为.结果：2 r4 r .ad , beadabe bbca ,bab33uuuruuuruuuruuuruuur（ 4）已知 abc 中，点 d 在 b

6、c 边上，且 cd2db， cdrabsac ，就 rs的值是.结果： 0.；四、实数与向量的积实数与向量r 的积是一个向量，记作r ，它的长度和方向规定如下：aa（ 1）模： |rra | | | a |（ 2）方向：当0 时，ar 的方向与 ar 的方向相同，当0 时，ar 的方向与 ar 的方向相1，a0反，当0 时，rr平面对量基础学问复习a留意：r0 .五、平面对量的数量积rruuuruuurr1. 两个向量的夹角：对于非零向量a ， b ，作 oaar ， obb ，就把aob0 称为向量rr，ab 的夹角 .当0 时，rr，ab 同向；当时，rr，ab 反向；当rr时， r ，a

7、2rb 垂直 .rrr2. 平面对量的数量积：假如两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量| a | b | cos叫做 r 与r的数量积（或内积或点积），记作：r ，即 rrrr.aba ba b| a | | b| cos规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.uuur uuuruuuruuuruuur举例 4（ 1） abc 中， | ab | 3 ， | ac | 4 ， | bc | 5 ，就 ab bc .结果：9 .（ 2）已知 r1,1， r0, 1， rrr ， rrr ， r 与r的夹角为，就 k .结果： 1.ab22rrr r

8、c akbrd abcd4r| a | | b | | ab |aab（ 3）已知 | a | 2 ， | b | 5 ， a b3 ，就 | ab | .结果：23 .（ 4）已知r ra,b是两个非零向量，且rrrr ， 就 r 与 rr 的夹角为 .结果： 30o .ar3. 向量 b 在向量r 上的投影：r| b | cos，它是一个实数，但不肯定大于0.rrrrrr125举例 5已知 | a | 3 ， | b | 5 ，且 a b12 ，就向量 a 在向量 b 上的投影为 .结果：.rrrrrrrr4. a b 的几何意义 ：数量积 a b 等于 a 的模 | a | 与 b 在

9、a 上的投影的积 .ar ，5. 向量数量r积的性质r：设两个非零向量rb ，其夹角为，就：aa（ 1） rbr b0 ；rrrrrrr 2rrr 2rr 2（ 2）当 a 、 b 同向时， a b| a | | b | ，特殊地，aa a| a | a |a；rrrr是 r 、r同向的 充要分条件 ；a b| a | | b |abrrrrrrrrrrrr当 a 、 b 反向时， ab| a | | b | ， a b| a | | b | 是 a 、 b 反向的 充要分条件 ；当为锐角时，rr，且 r 、 r 不同向， rr0 是为锐角的 必要不充分条件；a b0aba br当为钝角时，r

10、r，且 r 、 r 不反向；r0 是为钝角的 必要不充分条件.a b0abrra brrrr（ 3）非零向量a ， b 夹角的运算公式：cosa b； rr.rra b| a | b |rrrr| a | b |4举例 6（ 1）已知 a1 ；3 ,2 ， b3 ,2，假如 a 与 b 的夹角为锐角，就的取值范畴是 .结果：或0 且3（ 2）已知 ofquuur uuur1的面积为 s ，且，如s3 ，就 uuur ， uuur 夹角的取值范畴是 .结果：,；offq122offq4 3（ 3）已知 rrcos x ,sin x ，cos y ,sin y ，且满意rrrr （其中 k0 ）.

11、abr rr r| kab |3 | akb |rrr rk 211用 k 表示 a b60o .六、向量的运算；求 a b的最小值，并求此时a 与 b 的夹角的大小 .结果： a b k0 ；最小值为，4k21. 几何运算（ 1）向量加法运算法就：平行四边形法就；三角形法就.r运算形式：如uuurr ， uuurr ，就向量uuur叫做r 与 b的和，即rruuuruuuruuur；作图：略 .ababcbacaababbcac注：平行四边形法就只适用于不共线的向量.2（ 2）向量的减法运算法就：三角形法就.平面对量基础学问复习运算形式：如uuurruuurrrruuuruuuruuur的终

12、点 .作图：略 .aba ， acb ，就 ababacca，即由减向量的终点指向被减向量uuur注：减向量与被减向量的起点相同.uuuruuuruuur举例 7 （ 1）化简： abbccdruuuruuuruuuur； abaddcuuuruuuruuuruuur； abcd acbd uuur.结果： ad ； cb ； 0 ；uuurruuurruuurrr（ 2）如正方形 abcd 的边长为 1，就rr.结果： 2 2 ；ababcbacc| abc |uuuruuuruuuruuuruuur（ 3）如 o 是 abc 所在平面内一点，且满意obocoboc2oa，就 abc 的外形

13、为 .结果：直角三角形；uuuruuuruuurruuur（ 4）如 d 为 abc 的边 bc 的中点， abc 所在平面内有一点p ，满意结果： 2；pabpcp| ap |，设0uuur| pd |，就的值为.uuuruuuruuurr（ 5）如点 o 是 abc 的外心，且oaobco0 ，就 abc 的内角 c 为.结果： 120o .2. 坐标运算 ：设r， r x , y ，就a x1 , y1b22r（ 1）向量的加减法运算： rr，r.ab x1x2 , y1y2 ab x1x2 , y1y2 举例 8（ 1）已知点a2,3 ，b5,4， c7,10 ，如uuuruuuruu

14、urapabac r ，就当 时，点 p 在第一、三象限的角平分线上 .结果： 1 ；2（ 2）已知a 2,3 ， b1,4 ，且 1 uuurab2sin x ,cos y ， x, y, ，就 xy.结果：或；2 262uuruuruuruuruuruuruur（ 3）已知作用在点a1,1的三个力f13,4，f22, 5 ，f33,1 ，就合力ff1f2f3 的终点坐标是.结果：9,1 .（ 2）实数与向量的积：r.ax1, y1 uuurx1 ,y1 （ 3）如a x1 , y1 ， bx2 , y2 ，就 ab x2x1 , y2y1 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点

15、坐标减去起点坐标.uuur举例 9设 a2,3 ， b 1,5 ， 且1 uuur ， uuuruuur ，就 c, d 的坐标分别是 .结果：1,11, 7,9 .acab3ad3ab3（ 4）平面对量数量积： rr.a bx1x2y1 y2cr举例 10已知向量 ar sin x,cos x ， bsin x,sin x ， r 1,0 .（ 1）如rr，求向量、的夹角；x（ 2）如 xa33, ，函数cf x r r 的最大值为 1，求的值 . 结果：（ 1） 150o ；（ 2） 1 或21 .84（ 5）向量的模 ： r 2a b2r 2x2y 2r2x2y2 .a| a | a |

16、a,b举例 11已知 rrr| a均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么r3b |.结果：13 .（ 6）两点间的距离：如a x , y ， bx , y ，就 | ab | xx 2 yy 2 .11222121举例 12如图，在平面斜坐标系xoy 中，xoyuuurrr60o ，平面上任一点p 关于斜坐标系r ry的斜坐标是这样定义的：如opxe1ye2 ，其中e1 ,e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量，就 p 点斜坐标为 x, y .（ 1）如点 p 的斜坐标为 2, 2 ，求 p 到 o 的距离 | po | ；（ 2）求以 o 为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系xoy

17、 中的方程 .60o结果：（ 1） 2；（ 2） x2七、向量的运算律y2xyox1 0 .rrrr ，rr ， rrrr ；1. 交换律： abbaa aa bb arrrrrrrrrrrrrrrrrr2. 结合律：abc ab c ， abcabc ， aba b ab ；rrr ，rrrr ，rrrrrrr .r3. 安排律： aaa ab ab ab ca cbc举例 13给出以下命题：rrrr rr r ；rr rr rr ；r2r 2rrr 2 ；a bc a ba ca b ca b cab | a |2| a | b | | b |3平面对量基础学问复习r rrrrrr rr

18、rrrrrr rrr rrrrrrr rr 如 a b0 ，就 a0 或 b0 ；如 a bc b 就 ac ； | a |2a 2 ； a bb； a b 2a 2 b 2 ； ab 2a22a bb 2 .r 2raa其中正确选项.结果： .说明：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 相约 ；rr rrrr（ 2）向量的“乘法”不满意结合律，即a b c a b c ，为什么？八、向量平行 共线 的充要条件rrrrrr

19、2rr2.a / /bab a b| a | b |x1 y2y1 x20举例 14 1如向量 rr x,1 ，4, x ，当 x 时，r 与 r 共线且方向相同 .结果： 2.abrrrrrabrrrrr（ 2）已知 a1,1 ， b4, x ， ua2b ， v2ab，且 u / /v ，就 x.结果： 4.（ 3）设uuur pauuur k ,12 ， pb4,5uuur， pc10,k ，就 k 时， a, b ,c 共线 .结果：2 或 11.九、向量垂直的充要条件rrrrrrrr.aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20特殊地uuuruuuruuuruuura

20、bacabacuuuruuuruuuruuur.| ab | ac | ab | ac |uuur举例 15 1已知 oa 1,2uuur， obuuuruuur 3, m ，如 oaob，就 m.结果：m3 ；2na ,b（ 2）以原点 o 和 a 4,2为两个顶点作等腰直角三角形oab ，b90，就点 b 的坐标是.结果： 1,3 或（ 3， 1） ；（ 3）已知r向量rr ，且rr，就r的坐标是.结果： b,a) 或 b, a .nm| n | | m |m十、线段的定比分点1. 定义： 设点 p 是直线p1p2 上异于uuuuruuuruuurp1 、p2 的任意一点， 如存在一个实数

21、，使 p1ppp2 ，uuuur就实数叫做点 p 分有向线段点.p1p2 所成的比， p 点叫做有向线段p1 p2 的以定比为的定比分2. 的符号与分点p 的位置之间的关系uuuur（ 1） p 内分线段p1 p2 ，即点 p 在线段uuuurp1p2 上0 ；（ 2） p 外分线段p1 p2 时，点 p 在线段p1p2 的延长线上1 ，点 p 在线段p1p2 的反向延长线上10 .注： 如点 p 分有向线段uuuur p1p2 所成的比为，就点 p 分有向线段uuuur所成的比为1 .p p2 13uuur举例 16如点 p 分 ab 所成的比为4，就 a 分uuur bp 所成的比为.结果

22、：.733. 线段的定比分点坐标公式：uuuur设xx1p1 x1 , y1 ，x2 ,p2 x2 , y2 ，点px, y分有向线段p1p2所成的比为，就定比分点坐标公式为11 .y1y2y.1xx1x2 ,特殊地，当1时，就得到线段p1p2 的中点坐标公式yy12y2 .2说明：（ 1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确x, y， x1 , y1、 x2 , y 2 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（ 2）在详细运算时应依据题设条件，敏捷地确定起点，分点和终点，并依据这些点确定对应的定比.uuuur1 uuuur 7举例 17（ 1）如 m 3, 2， n 6, 1 ，且mpmn

23、3，就点 p 的坐标为.结果： 6, ；31uuuuruuuurr（ 2）已知a a ,0 ， b3,2a ，直线yax 与线段 ab 交于 m ，且 am 22mb，就 a.结果：或4 .4aa十一、平移公式平面对量基础学问复习假如点px, y 按向量 rh,k 平移至px , y ， 就xxh , ；曲线 yyk.f x, y 0 按向量 rh,k 平移得曲线f xh, yk 0 .说明：（ 1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！aa举例 18（ 1）按向量 r 把 2, 3 平移到 1, 2 ，就按向量 r 把点 7,2 平移到点 .结果： 8,3 ；aa（ 2）函数 ysin 2x 的图象按向量 r 平移后，所得函数的解析式是ycos2 x 1 ， 就 r .结果： ,1 .4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要留意运用；rrrrrr2. 模的性质：| a | b | ab | | a | b | .（ 1）右边等号成立条件：rr 同向或 rr 中有 rrrrr；a、ba、b0| ab | | a | b |（ 2）左边等号成立条件：rr 反向或 rr 中有 rrrrr；（ 3）当 rr不共线a、brra、brrr0| ab | | a | b |r