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文档简介

1、一、向量的基本概念平面对量基础学问复习平面对量学问点小结1. 向量的概念 :既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分. 向量常用有向线段来表示.r留意:不能说向量就是有向线段,为什么?提示:向量可以平移.举例 1已知 a 1,2 , b4,2,就把向量uuurab 按向量 a 1,3 平移后得到的向量是 .结果: 3,0r2. 零向量 :长度为0 的向量叫零向量,记作:0 ,规定:零向量的方向是任意的;uuur3. 单位向量 :长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 ab 共线的单位向量是4. 相等向量 :长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;uuur abuuur);

2、| ab |a5. 平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量r 、rrrb 叫做平行向量,记作:a b ,规定: 零向量和任何向量平行.注:相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;r平行向量无传递性! (由于有 0 ;uuur uuur三点 a、b、c 共线ab、ac 共线 .a.a6. 相反向量 :长度相等方向相反的向量叫做相反向量. r 的相反向量记作r| a | | b |ab举例 2如以下命题:( 1)如 rr , 就 rr .( 2)两个向量相等的充要条件是它

3、们的起点相同,终点相同.uuuruuuur( 3)如 abdc,就 abcd 是平行四边形 .uuuruuuur( 4)如 abcd 是平行四边形,就abdc .( 5)如 rr , rr ,就 rr .abbcacrrrrrr( 6)如 a / /b , b / /c 就 a / / c . 其中正确选项.结果:(4)( 5)二、向量的表示方法uuur1. 几何表示 :用带箭头的有向线段表示,如ab ,留意起点在前,终点在后;r , rr2. 符号表示 :用一个小写的英文字母来表示,如ab , c 等;rr3. 坐标表示 :在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量

4、i ,j为基底, 就平面内的任一向量r 可表示为rrr x, y,称 x, y 为向量r 的坐标, r叫做向量aar 的坐标表示 .axiyjaax, y结论:假如向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面对量的基本定理e1 , e2a定理设 rr 同一平面内的一组基底向量,r 是该平面内任一向量,就存在唯独实数对, ,使rrr .12a1e12e2(1)定理核心:rrr ;(2)从左向右看,是对向量r 的分解,且表达式唯独;反之,是对向量r 的合成 .a1 e12e2r raarrrr( 3)向量的正交分解:当e1 ,e2 时,就说a1e12 e2 为对向量 a 的正交分

5、解举例 3( 1)如 rr1,1 ,1, 1 , r 1,2 , 就r.结果: 1 r3 r .abccab 22( 2)以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是brrrra.rrrr13e10,0, e21, 2b.e1 1,2, e25,7c.e13,5 , e26,10d.e12, 3 , e2,24( 3)已知uuur uuur分别是 abcuuurruuurruuur的边 bc , ac 上的中线 , 且,, 就可用向量r r表示为.结果:2 r4 r .ad , beadabe bbca ,bab33uuuruuuruuuruuuruuur( 4)已知 abc 中,点 d 在 b

6、c 边上,且 cd2db, cdrabsac ,就 rs的值是.结果: 0.;四、实数与向量的积实数与向量r 的积是一个向量,记作r ,它的长度和方向规定如下:aa( 1)模: |rra | | | a |( 2)方向:当0 时,ar 的方向与 ar 的方向相同,当0 时,ar 的方向与 ar 的方向相1,a0反,当0 时,rr平面对量基础学问复习a留意:r0 .五、平面对量的数量积rruuuruuurr1. 两个向量的夹角:对于非零向量a , b ,作 oaar , obb ,就把aob0 称为向量rr,ab 的夹角 .当0 时,rr,ab 同向;当时,rr,ab 反向;当rr时, r ,a

7、2rb 垂直 .rrr2. 平面对量的数量积:假如两个非零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量| a | b | cos叫做 r 与r的数量积(或内积或点积),记作:r ,即 rrrr.aba ba b| a | | b| cos规定:零向量与任一向量的数量积是0.注:数量积是一个实数,不再是一个向量.uuur uuuruuuruuuruuur举例 4( 1) abc 中, | ab | 3 , | ac | 4 , | bc | 5 ,就 ab bc .结果:9 .( 2)已知 r1,1, r0, 1, rrr , rrr , r 与r的夹角为,就 k .结果: 1.ab22rrr r

8、c akbrd abcd4r| a | | b | | ab |aab( 3)已知 | a | 2 , | b | 5 , a b3 ,就 | ab | .结果:23 .( 4)已知r ra,b是两个非零向量,且rrrr , 就 r 与 rr 的夹角为 .结果: 30o .ar3. 向量 b 在向量r 上的投影:r| b | cos,它是一个实数,但不肯定大于0.rrrrrr125举例 5已知 | a | 3 , | b | 5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为 .结果:.rrrrrrrr4. a b 的几何意义 :数量积 a b 等于 a 的模 | a | 与 b 在

9、a 上的投影的积 .ar ,5. 向量数量r积的性质r:设两个非零向量rb ,其夹角为,就:aa( 1) rbr b0 ;rrrrrrr 2rrr 2rr 2( 2)当 a 、 b 同向时, a b| a | | b | ,特殊地,aa a| a | a |a;rrrr是 r 、r同向的 充要分条件 ;a b| a | | b |abrrrrrrrrrrrr当 a 、 b 反向时, ab| a | | b | , a b| a | | b | 是 a 、 b 反向的 充要分条件 ;当为锐角时,rr,且 r 、 r 不同向, rr0 是为锐角的 必要不充分条件;a b0aba br当为钝角时,r

10、r,且 r 、 r 不反向;r0 是为钝角的 必要不充分条件.a b0abrra brrrr( 3)非零向量a , b 夹角的运算公式:cosa b; rr.rra b| a | b |rrrr| a | b |4举例 6( 1)已知 a1 ;3 ,2 , b3 ,2,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是 .结果:或0 且3( 2)已知 ofquuur uuur1的面积为 s ,且,如s3 ,就 uuur , uuur 夹角的取值范畴是 .结果:,;offq122offq4 3( 3)已知 rrcos x ,sin x ,cos y ,sin y ,且满意rrrr (其中 k0 ).

11、abr rr r| kab |3 | akb |rrr rk 211用 k 表示 a b60o .六、向量的运算;求 a b的最小值,并求此时a 与 b 的夹角的大小 .结果: a b k0 ;最小值为,4k21. 几何运算( 1)向量加法运算法就:平行四边形法就;三角形法就.r运算形式:如uuurr , uuurr ,就向量uuur叫做r 与 b的和,即rruuuruuuruuur;作图:略 .ababcbacaababbcac注:平行四边形法就只适用于不共线的向量.2( 2)向量的减法运算法就:三角形法就.平面对量基础学问复习运算形式:如uuurruuurrrruuuruuuruuur的终

12、点 .作图:略 .aba , acb ,就 ababacca,即由减向量的终点指向被减向量uuur注:减向量与被减向量的起点相同.uuuruuuruuur举例 7 ( 1)化简: abbccdruuuruuuruuuur; abaddcuuuruuuruuuruuur; abcd acbd uuur.结果: ad ; cb ; 0 ;uuurruuurruuurrr( 2)如正方形 abcd 的边长为 1,就rr.结果: 2 2 ;ababcbacc| abc |uuuruuuruuuruuuruuur( 3)如 o 是 abc 所在平面内一点,且满意obocoboc2oa,就 abc 的外形

13、为 .结果:直角三角形;uuuruuuruuurruuur( 4)如 d 为 abc 的边 bc 的中点, abc 所在平面内有一点p ,满意结果: 2;pabpcp| ap |,设0uuur| pd |,就的值为.uuuruuuruuurr( 5)如点 o 是 abc 的外心,且oaobco0 ,就 abc 的内角 c 为.结果: 120o .2. 坐标运算 :设r, r x , y ,就a x1 , y1b22r( 1)向量的加减法运算: rr,r.ab x1x2 , y1y2 ab x1x2 , y1y2 举例 8( 1)已知点a2,3 ,b5,4, c7,10 ,如uuuruuuruu

14、urapabac r ,就当 时,点 p 在第一、三象限的角平分线上 .结果: 1 ;2( 2)已知a 2,3 , b1,4 ,且 1 uuurab2sin x ,cos y , x, y, ,就 xy.结果:或;2 262uuruuruuruuruuruuruur( 3)已知作用在点a1,1的三个力f13,4,f22, 5 ,f33,1 ,就合力ff1f2f3 的终点坐标是.结果:9,1 .( 2)实数与向量的积:r.ax1, y1 uuurx1 ,y1 ( 3)如a x1 , y1 , bx2 , y2 ,就 ab x2x1 , y2y1 ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点

15、坐标减去起点坐标.uuur举例 9设 a2,3 , b 1,5 , 且1 uuur , uuuruuur ,就 c, d 的坐标分别是 .结果:1,11, 7,9 .acab3ad3ab3( 4)平面对量数量积: rr.a bx1x2y1 y2cr举例 10已知向量 ar sin x,cos x , bsin x,sin x , r 1,0 .( 1)如rr,求向量、的夹角;x( 2)如 xa33, ,函数cf x r r 的最大值为 1,求的值 . 结果:( 1) 150o ;( 2) 1 或21 .84( 5)向量的模 : r 2a b2r 2x2y 2r2x2y2 .a| a | a |

16、a,b举例 11已知 rrr| a均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么r3b |.结果:13 .( 6)两点间的距离:如a x , y , bx , y ,就 | ab | xx 2 yy 2 .11222121举例 12如图,在平面斜坐标系xoy 中,xoyuuurrr60o ,平面上任一点p 关于斜坐标系r ry的斜坐标是这样定义的:如opxe1ye2 ,其中e1 ,e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量,就 p 点斜坐标为 x, y .( 1)如点 p 的斜坐标为 2, 2 ,求 p 到 o 的距离 | po | ;( 2)求以 o 为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xoy

17、 中的方程 .60o结果:( 1) 2;( 2) x2七、向量的运算律y2xyox1 0 .rrrr ,rr , rrrr ;1. 交换律: abbaa aa bb arrrrrrrrrrrrrrrrrr2. 结合律:abc ab c , abcabc , aba b ab ;rrr ,rrrr ,rrrrrrr .r3. 安排律: aaa ab ab ab ca cbc举例 13给出以下命题:rrrr rr r ;rr rr rr ;r2r 2rrr 2 ;a bc a ba ca b ca b cab | a |2| a | b | | b |3平面对量基础学问复习r rrrrrr rr

18、rrrrrr rrr rrrrrrr rr 如 a b0 ,就 a0 或 b0 ;如 a bc b 就 ac ; | a |2a 2 ; a bb; a b 2a 2 b 2 ; ab 2a22a bb 2 .r 2raa其中正确选项.结果: .说明:( 1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区分:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 相约 ;rr rrrr( 2)向量的“乘法”不满意结合律,即a b c a b c ,为什么?八、向量平行 共线 的充要条件rrrrrr

19、2rr2.a / /bab a b| a | b |x1 y2y1 x20举例 14 1如向量 rr x,1 ,4, x ,当 x 时,r 与 r 共线且方向相同 .结果: 2.abrrrrrabrrrrr( 2)已知 a1,1 , b4, x , ua2b , v2ab,且 u / /v ,就 x.结果: 4.( 3)设uuur pauuur k ,12 , pb4,5uuur, pc10,k ,就 k 时, a, b ,c 共线 .结果:2 或 11.九、向量垂直的充要条件rrrrrrrr.aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20特殊地uuuruuuruuuruuura

20、bacabacuuuruuuruuuruuur.| ab | ac | ab | ac |uuur举例 15 1已知 oa 1,2uuur, obuuuruuur 3, m ,如 oaob,就 m.结果:m3 ;2na ,b( 2)以原点 o 和 a 4,2为两个顶点作等腰直角三角形oab ,b90,就点 b 的坐标是.结果: 1,3 或( 3, 1) ;( 3)已知r向量rr ,且rr,就r的坐标是.结果: b,a) 或 b, a .nm| n | | m |m十、线段的定比分点1. 定义: 设点 p 是直线p1p2 上异于uuuuruuuruuurp1 、p2 的任意一点, 如存在一个实数

21、,使 p1ppp2 ,uuuur就实数叫做点 p 分有向线段点.p1p2 所成的比, p 点叫做有向线段p1 p2 的以定比为的定比分2. 的符号与分点p 的位置之间的关系uuuur( 1) p 内分线段p1 p2 ,即点 p 在线段uuuurp1p2 上0 ;( 2) p 外分线段p1 p2 时,点 p 在线段p1p2 的延长线上1 ,点 p 在线段p1p2 的反向延长线上10 .注: 如点 p 分有向线段uuuur p1p2 所成的比为,就点 p 分有向线段uuuur所成的比为1 .p p2 13uuur举例 16如点 p 分 ab 所成的比为4,就 a 分uuur bp 所成的比为.结果

22、:.733. 线段的定比分点坐标公式:uuuur设xx1p1 x1 , y1 ,x2 ,p2 x2 , y2 ,点px, y分有向线段p1p2所成的比为,就定比分点坐标公式为11 .y1y2y.1xx1x2 ,特殊地,当1时,就得到线段p1p2 的中点坐标公式yy12y2 .2说明:( 1)在使用定比分点的坐标公式时,应明确x, y, x1 , y1、 x2 , y 2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标.( 2)在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比.uuuur1 uuuur 7举例 17( 1)如 m 3, 2, n 6, 1 ,且mpmn

23、3,就点 p 的坐标为.结果: 6, ;31uuuuruuuurr( 2)已知a a ,0 , b3,2a ,直线yax 与线段 ab 交于 m ,且 am 22mb,就 a.结果:或4 .4aa十一、平移公式平面对量基础学问复习假如点px, y 按向量 rh,k 平移至px , y , 就xxh , ;曲线 yyk.f x, y 0 按向量 rh,k 平移得曲线f xh, yk 0 .说明:( 1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!aa举例 18( 1)按向量 r 把 2, 3 平移到 1, 2 ,就按向量 r 把点 7,2 平移到点 .结果: 8,3 ;aa( 2)函数 ysin 2x 的图象按向量 r 平移后,所得函数的解析式是ycos2 x 1 , 就 r .结果: ,1 .4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用;rrrrrr2. 模的性质:| a | b | ab | | a | b | .( 1)右边等号成立条件:rr 同向或 rr 中有 rrrrr;a、ba、b0| ab | | a | b |( 2)左边等号成立条件:rr 反向或 rr 中有 rrrrr;( 3)当 rr不共线a、brra、brrr0| ab | | a | b |r

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