年山东省莱芜市中考数学试卷

1、2021 年山东省莱芜市中考数学试卷一、挑选题（本大题共12 小题，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项正确 的，请把正确选项的代码涂在答题卡上，每道题选对得3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36 分） 1（3 分） 6 的倒数是（） abc 6 d62（3 分）某种细菌的直径是0.00000078 米，将数据 0.00000078 用科学记数法表示为（）787 8a7.8×10b7.8×10c 0.78×10d78× 103（3 分）以下运算正确选项（）a2x2x2=1bx6÷ x3=x2c 4x.x4=4x5d（ 3xy2）

2、2=6x2y4 4（3 分）电动车每小时比自行车多行驶了25 千米，自行车行驶30 千米比电动车行驶 40 千米多用了 1 小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为 x 千米/ 小时，应列方程为（）a1=b 1=c+1=d+1=5（3 分）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如下列图的几何体，就该几何体的左视图是（）abcd6（3 分）如图， ab 是 o 的直径，直线 da 与 o 相切于点 a，do 交 o 于点 c，连接 bc，如 abc=21°，就 adc的度数为（）a46°b47°c48°d49°

3、7（ 3 分）一个多边形的内角和比其外角和的2 倍多 180°，就该多边形的对角线的条数是（）a12b13c14d158（3 分）如图，在 rtabc中， bca=90°， bac=30°，bc=2，将 rtabc绕a 点顺时针旋转90°得到 rt ade，就 bc扫过的面积为（）ab（ 2） c d9（ 3 分）如图，菱形 abcd的边长为 6，abc=120°，m 是 bc边的一个三等分点， p 是对角线 ac上的动点，当 pb+pm 的值最小时， pm 的长是（）abcd10（ 3 分）如图，在四边形abcd中， dcab，ad=5，cd

4、=3，sina=sinb= ，动点 p 自 a 点动身， 沿着边 ab 向点 b 匀速运动， 同时动点 q 自点 a 动身， 沿着边addccb匀速运动，速度均为每秒1 个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点p 运动 t（秒）时， apq 的面积为 s，就 s 关于 t 的函数图象是（）abcd11（3 分）对于实数 a，b，定义符号 min a，b ，其意义为： 当 ab 时，min a， b =b；当 ab 时， min a，b =a例如： min= 2， 1 =1，如关于 x 的函数y=min 2x 1， x+3 ，就该函数的最大值为（）ab1cd12（ 3 分）如图，

5、正五边形abcde的边长为 2，连结 ac、ad、be，be 分别与ac和 ad 相交于点 f、g，连结 df，给出以下结论： fdg=18°；fg=3；（ s四边形 cdef）2=9+2； df2 dg2=72其中结论正确的个数是（）a1b2c3d4二、填空题（本大题共5 小题，每道题填对得4 分，共 20 分，请填在答题卡上）313（ 4 分）（）2cos45°+（3.14 ） 0+=14（ 4 分）圆锥的底面周长为，母线长为 2，点 p 是母线 oa 的中点，一根细绳（无弹性）从点p 绕圆锥侧面一周回到点p，就细绳的最短长度为15（ 4 分）直线 y=kx+b 与双曲

6、线 y=交于 a（ 3， m）， b（ n， 6）两点，将直线y=kx+b 向上平移8个单位长度后，与双曲线交于d，e 两点，就sade=16（ 4 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象与 x 轴的交点 a、b 的横坐标分别为 3，1，与 y 轴交于点 c，下面四个结论： 16a4b+c 0；如 p（ 5，y1），q（，y2）是函数图象上的两点，就y1 y2 ； a=c；如 abc 是等腰三角形，就b=其中正确的有（ 请 将 结 论 正 确 的 序 号 全 部 填 上 ） 17（4 分）如图，在矩形 abcd中，beac分别交 ac、ad 于点 f、e，如 ad=1， ab=cf，就

7、 ae=三、解答题（本大题共7 小题，共 64 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18（ 6 分）先化简，再求值： （a+）÷（ a+），其中 a=319（ 8 分）为了丰富校内文化，某学校打算举办同学趣味运动会，将竞赛项目 确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为明白同学对这五项运 动的喜爱情形， 随机调查了该校a 名同学最喜爱的一种项目 （每名同学必选且只能挑选五项中的一种） ，并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：同学最喜爱的活动项目的人数统计表项目同学数（名）百分比（ %）袋鼠跳4515夹球跑30c跳大绳7525绑腿跑b20拔河赛9030依据图表

8、中供应的信息，解答以下问题：（ 1） a=， b=，c=（ 2）请将条形统计图补充完整；（ 3）依据调查结果，请你估量该校3000 名同学中有多少名同学最喜爱绑腿跑；（ 4）依据调查结果，某班打算从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为a、b、c、d、e）中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到同学喜爱程度最高的两项的概率20（ 9 分）某学校教学楼（甲楼）的顶部e 和大门 a 之间挂了一些彩旗小颖测得大门 a 距甲楼的距离 ab 是 31m，在 a 处测得甲楼顶部 e 处的仰角是 31°（ 1）求甲楼的高度及彩旗的长度； （精确到 0.01m）（

9、2）如小颖在甲楼楼底c 处测得学校后面医院楼 （乙楼）楼顶 g 处的仰角为 40°，爬到甲楼楼顶 f 处测得乙楼楼顶g 处的仰角为 19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之 间的距离（精确到 0.01m）（ cos31°0.86，tan31 ° 0.60，cos19° 0.95，tan19 ° 0.34，cos40°0.77，tan40 ° 0.84）21（ 9 分）已知 abc与 dec是两个大小不同的等腰直角三角形（ 1）如图所示，连接ae，db，试判定线段ae 和 db 的数量和位置关系，并说明理由；（ 2）如图所示

10、，连接db，将线段 db绕 d 点顺时针旋转 90°到 df，连接 af，试判定线段 de 和 af的数量和位置关系，并说明理由22（ 10 分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多 5 元，小丽从该网店网购2 袋甲种口罩和 3 袋乙种口罩共花费110 元（ 1）该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（ 2）依据消费者需求，网店打算用不超过10000 元购进甲、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的，已知甲种口罩每袋的进价为22.4 元，乙种口罩每袋的进价为18 元，请你帮忙网店运算有几种进货方案？如使网店获利最大，应当购进甲、乙两种口罩

11、各多少袋，最大获利多少元？23（ 10 分）已知 ab是 o 的直径， c 是圆上一点， bac的平分线交 o 于点 d，过 d 作 de ac交 ac的延长线于点 e，如图（ 1）求证： de是 o 的切线；（ 2）如 ab=10，ac=6，求 bd 的长；（ 3）如图，如 f 是 oa 中点，fg oa 交直线 de于点 g，如 fg=，tanbad=，求 o 的半径24（ 12 分）抛物线 y=ax2+bx+c 过 a（2，3）， b（ 4， 3），c（6， 5）三点（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）如图，抛物线上一点d 在线段 ac 的上方， de ab 交 ac于点 e，如满意=，求

12、点 d 的坐标；（ 3）如图， f 为抛物线顶点，过a 作直线 lab，如点 p 在直线 l 上运动，点q 在 x 轴上运动，是否存在这样的点p、q，使得以 b、p、q 为顶点的三角形与 abf相像，如存在，求p、q 的坐标，并求此时 bpq 的面积；如不存在，请说明理由2021 年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、挑选题（本大题共12 小题，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项正确 的，请把正确选项的代码涂在答题卡上，每道题选对得3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36 分）1（3 分） 6 的倒数是（）abc 6 d6【分析】 乘积是 1 的两数互为倒数【解答】

13、解： 6 的倒数是 应选： a【点评】 此题主要考查的是倒数的定义，娴熟把握倒数的定义是解题的关键2（3 分）某种细菌的直径是0.00000078 米，将数据 0.00000078 用科学记数法表示为（）787 8a7.8×10b7.8×10c 0.78×10d78× 10 n【分析】 肯定值 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所打算 7【解答】 解：数 0.00000078 用科学记数法表示为7.8×10应选 a

14、 n【点评】 此题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a× 10，其中 1| a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所打算3（3 分）以下运算正确选项（）a2x2x2=1bx6÷ x3=x2c 4x.x4=4x5d（ 3xy2）2=6x2y4【分析】 各项运算得到结果，即可作出判定【解答】 解： a、原式 =x2，不符合题意； b 、 原 式 =x3， 不 符 合 题 意 ； c 、 原 式 =4x5， 符 合 题 意 ； d、原式 =9x2y4，不符合题意，应选 c【点评】 此题考查了整式的混合运算，娴熟把握运算法就是解此题的关键4（3 分）

15、电动车每小时比自行车多行驶了25 千米，自行车行驶30 千米比电动车行驶 40 千米多用了 1 小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为 x 千米/ 小时，应列方程为（）a1=b 1=c+1=d+1=【分析】 依据电动车每小时比自行车多行驶了25 千米，可用 x 表示出电动车的速度，再由自行车行驶30 千米比电动车行驶40 千米多用了 1 小时，可列出方程【解答】 解：设自行车的平均速度为x 千米/ 小时，就电动车的平均速度为 （ x+25）千米/ 小时，由自行车行驶30 千米比电动车行驶40 千米多用了1 小时，可列方程1=，应选 b【点评】此题主要考查列方程解应用题， 确定出题

16、目中的等量关系是解题的关键5（3 分）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如下列图的几何体，就该几何体的左视图是（）abcd【分析】 依据左视图的定义，画出左视图即可判定【解答】 解：依据左视图的定义，从左边观看得到的图形，是选项c 应选 c【点评】 此题考查三视图、娴熟把握三视图的定义，是解决问题的关键6（3 分）如图， ab 是 o 的直径，直线 da 与 o 相切于点 a，do 交 o 于点 c，连接 bc，如 abc=21°，就 adc的度数为（）a46°b47°c48°d49°【分析】依据等边对等角可得b=b

17、co，再依据三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和可得aod=b+bco，依据切线的性质可得oad=9°0，然后依据直角三角形两锐角互余求解即可【解答】 解： ob=oc， b= bco=2°1， aod=b+bco=2°1+21°=42°， ab是 o 的直径，直线 da 与 o 相切与点 a， oad=9°0， adc=9°0 aod=9°0 42°=48°应选 c【点评】此题考查了切线的性质， 等边对等角的性质， 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并精确

18、识图是解题的关键7（ 3 分）一个多边形的内角和比其外角和的2 倍多 180°，就该多边形的对角线的条数是（）a12b13c14d15【分析】 多边形的内角和比外角和的2 倍多 180°，而多边形的外角和是360°，就内角和是900 度， n 边形的内角和可以表示成（n2）.180°，设这个多边形的边数是 n，就得到方程，从而求出边数，进而求出对角线的条数【解答】 解：依据题意，得（ n 2） .180=360°× 2+180°，解得： n=7就这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为=14， 应选 c【点评】此题主要考查

19、了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解8（3 分）如图，在 rtabc中， bca=90°， bac=30°，bc=2，将 rtabc绕 a 点顺时针旋转90°得到 rt ade，就 bc扫过的面积为（）ab（ 2） c d【分析】 解直角三角形得到ac，ab，依据旋转推出 abc 的面积等于 ade 的面积，依据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【解答】 解：在 rtabc中， bca=9°0， bac=3°0， bc=2， ac=2，ab=4，将 rt abc绕点 a 逆时针旋转 90

20、76;得到 rtade， abc的面积等于 ade的面积， cab= dae，ae=ac=2， ad=ab=4， cae=dab=9°0，阴影部分的面积s=s扇形 bad+sabcs 扇形 caesade=+2×22×2=应选 d【点评】此题考查了三角形、扇形的面积，旋转的性质，勾股定理等学问点的应用，解此题的关键是把求不规章图形的面积转化成求规章图形（如三角形、扇形）的面积9（ 3 分）如图，菱形 abcd的边长为 6，abc=120°，m 是 bc边的一个三等分点， p 是对角线 ac上的动点，当 pb+pm 的值最小时， pm 的长是（）abcd【

21、分析】如图，连接 dp，bd，作 dh bc于 h当 d、p、m 共线时， p+bpm=dm的值最小，利用勾股定理求出dm，再利用平行线的性质即可解决问题【解答】 解：如图，连接 dp，bd，作 dhbc于 h四边形 abcd是菱形， acbd，b、d 关于 ac对称， pb+pm=pd+pm，当 d、p、m 共线时， p+bpm=dm的值最小， cm=bc=2， abc=12°0， dbc=abd=6°0 ， dbc是等边三角形， bc=6， cm=2，hm=1，dh=3，在 rtdmh 中， dm=2， cm ad，=， pm=dm=应选 a【点评】 此题考查轴对称最短

22、问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等学问，解题的关键是敏捷应用所学学问解 决问题，属于中考常考题型10（ 3 分）如图，在四边形abcd中， dcab，ad=5，cd=3，sina=sinb= ，动点 p 自 a 点动身， 沿着边 ab 向点 b 匀速运动， 同时动点 q 自点 a 动身， 沿着边addccb匀速运动，速度均为每秒1 个单位，当其中一个动点到达终点时， 它们同时停止运动，设点p 运动 t（秒）时， apq 的面积为 s，就 s 关于 t 的函数图象是（）abcd【分析】 过点 q 做 qm ab 于点 m ，分点 q 在线段 ad、dc、

23、cb上三种情形考虑，依据三角形的面积公式找出s 关于 t 的函数关系式，再结合四个选项即可得出结论【解答】 解：过点 q 做 qmab 于点 m 当点 q 在线段 ad 上时，如图 1 所示， ap=aq=（t0 t5），sina=， qm=t ， s=ap.qm=t2；当点 q 在线段 cd上时，如图 2 所示， ap=t（5t 8），qm=ad.sina= ， s=ap.qm=t；当点 q 在线段 cb上时，如图 3 所示， ap=（t8t +3（利用解直角三角形求出ab=+3），bq=5+3+5t=13 t，sinb=， qm=（ 13t ）， s=ap.qm=（t 213t）， s=（

24、t 2 13t）的对称轴为直线x=综上观看函数图象可知b 选项中的图象符合题意应选 b【点评】此题考查了动点问题的函数图象以及三角形的面积，分点 q 在线段 ad、 dc、cb上三种情形找出s 关于 t 的函数关系式是解题的关键11（3 分）对于实数 a，b，定义符号 min a，b ，其意义为： 当 ab 时，min a， b =b；当 ab 时， min a，b =a例如： min= 2， 1 =1，如关于 x 的函数y=min 2x 1， x+3 ，就该函数的最大值为（）ab1cd【分析】依据定义先列不等式： 2x1 x+3 和 2x1 x+3，确定其 y=min 2x 1， x+3 对

25、应的函数，画图象可知其最大值【解答】 解：由题意得：，解得：，当 2x1 x+3 时， x，当 x时， y=min 2x1， x+3 =x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为；当 2x1 x+3 时， x，当 x时， y=min 2x1， x+3 =2x1，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述， y=min 2x1， x+3 的最大值是当 x=所对应的 y 的值，如下列图，当 x=时， y=，应选 d【点评】此题考查了新定义、 一元一次不等式及一次函数的交点问题，仔细阅读懂得其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题12（ 3 分）如图，正五边形abcde的边长为 2，连结 ac、

26、ad、be，be 分别与ac和 ad 相交于点 f、g，连结 df，给出以下结论： fdg=18°；fg=3；（ s四边形 cdef）2=9+2； df2 dg2=72其中结论正确的个数是（）a1b2c3d4【分析】 先依据正五方形abcde的性质得： abc=18°0=108°，由等边对等角可得：bac= acb=3°6，再利用角相等求bc=cf=c，d 得 cdf= cfd=54°，可得 fdg=18°；证明 abf acb，得，代入可得 fg的长；如图 1，先证明四边形 cdef是平行四边形， 依据平行四边形的面积公式可得：（

27、s四边形 cdef）2=ef2.dm2=4×=10+2；如图 2， .cdef是菱形，先运算ec=be=4 fg=1+，由 s 四边形 cdef=fd.ec=2×，可得 fd2=102，运算可得结论【解答】 解：五方形 abcde是正五边形， ab=bc， abc=18°0=108°， bac=acb=3°6， acd=10°8 36°=72°，同理得： ade=3°6， bae=108°，ab=ae， abe=36°， cbf=108°36°=72°，

28、bc=fc， bc=cd， cd=cf， cdf=cfd=54°， fdg=cde cdf ade=10°854°36°=18°；所以正确； abe=acb=3°6， bac= baf， abf acb， ab.ed=ac.e，g ab=ed=2，ac=be=b+gef fg=2abfg=4fg，eg=bgfg=2fg， 22=（ 2 fg）（4fg）， fg=3+2（舍），fg=3； 所以正确；如图 1， ebc=7°2， bcd=10°8， ebc+bcd=18°0， efcd， ef=cd=，2四边

29、形 cdef是平行四边形， 过 d 作 dmeg于 m， dg=de， em=mg=eg= （ef fg）=（23+） =，由勾股定理得： dm=，（ s四边形 cdef）2=ef2.dm2=所以不正确；4×=10+2；如图 2，连接 ec， ef=ed， .cdef是菱形， fdec， ec=be=4 fg=4（ 3）=1+， s四边形 cdef=fd.ec=2×，× fd×（ 1+）=，fd2=102， df2 dg2=102 4=62， 所以不正确；此题正确的有两个，应选 b【点评】此题考查了相像三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质、平 行

30、四边形和菱形的判定和性质， 有难度，娴熟把握正五边形的性质是解题的关键二、填空题（本大题共5 小题，每道题填对得4 分，共 20 分，请填在答题卡上）313（ 4 分）（）2cos45°+（3.14 ） 0+= 7+【分析】原式利用零指数幂、 负整数指数幂法就， 以及特别角的三角函数值运算即可得到结果【解答】 解：原式 = 8+1+2= 7+，故答案为： 7+【点评】 此题考查了实数的运算，娴熟把握运算法就是解此题的关键14（ 4 分）圆锥的底面周长为，母线长为 2，点 p 是母线 oa 的中点，一根细绳（无弹性）从点p 绕圆锥侧面一周回到点p，就细绳的最短长度为1【分析】 连接 a

31、a，依据弧长公式可得出圆心角的度数，可知oaa是等边三角形，再求出 pp即可【解答】 解：如图，连接 aa，底面周长为，弧长 =， n=60°即aoa=60°， oa=oa aoa是等边三角形， aa=，2 pp是 oaa的中位线， pp=aa=，1故答案是： 1【点评】 此题考查了圆锥的运算，平面绽开路径最短问题，留意“数形结合 ”数学思想的应用15（ 4 分）直线 y=kx+b 与双曲线 y=交于 a（ 3， m）， b（ n， 6）两点，将直线 y=kx+b 向上平移 8 个单位长度后，与双曲线交于d，e 两点，就 sade= 16【分析】 利用待定系数法求出平移后的

32、直线的解析式，求出点d、e 的坐标，再利用分割法求出三角形的面积即可【解答】 解：由题意 a（ 3， 2），b（1， 6），直线 y=kx+b 经过点 a（ 3，2），b（1， 6），解得， y=2x 4，向上平移 8 个单位得到直线y=2x+4， 由，解得和，不妨设 d（ 3， 2）， e（ 1， 6）， s ade=6×8×4×2× 6× 4×8×4=16，故答案为 16【点评】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是娴熟把握待定系数法，学会利用分割法求三角形的面积16（ 4 分）二次函数 y=ax2+bx+

33、c（a0）图象与 x 轴的交点 a、b 的横坐标分别为 3，1，与 y 轴交于点 c，下面四个结论： 16a4b+c 0；如 p（ 5，y1），q（，y2）是函数图象上的两点，就y1 y2； a=c；如 abc 是等腰三角形，就b=其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）【分析】依据抛物线开口方向和与x 轴的两交点可知：当x=4 时， y0，即 16a 4b+c0；依据图象与x 轴的交点 a、b 的横坐标分别为 3，1 确定对称轴是： x= 1，可得：（ 4.5，y3）与 q（， y2）是对称点，所以y1y2；依据对称轴和x=1 时， y=0 可得结论；要使 acb为等腰三角形，就必需保证a

34、b=bc=4或 ab=ac=4或 ac=bc，先运算 c 的值，再联立方程组可得结论【解答】 解： a 0，抛物线开口向下，图象与 x 轴的交点 a、b 的横坐标分别为 3，1，当 x= 4 时， y0， 即 16a4b+c0； 故正确；图象与 x 轴的交点 a、b 的横坐标分别为 3，1，抛物线的对称轴是： x=1， p（ 5，y1），q（，y2）， 1（ 5）=4，（ 1） =3.5，由对称性得：（ 4.5，y3）与 q（， y2）是对称点，就 y1 y2； 故不正确；=1， b=2a，当 x=1 时， y=0，即 a+b+c=0， 3a+c=0，a=c；要使 acb为等腰三角形，就必需保

35、证ab=bc=4或 ab=ac=4或 ac=bc，当 ab=bc=4时， bo=1， boc为直角三角形， 又 oc的长即为 | c| ， c2=161=15，由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c=，与 b=2a、a+b+c=0 联立组成解方程组，解得b=；同理当 ab=ac=4时， ao=3， aoc为直角三角形，又 oc的长即为 | c| ， c2=169=7，由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c=，与 b=2a、a+b+c=0 联立组成解方程组，解得b=；同理当 ac=bc时，在 aoc中， ac2=9+c2， 在 boc中 bc2=c2 +1， ac=bc，

36、 1+c2=c2+9，此方程无实数解经解方程组可知有两个b 值满意条件故错误综上所述，正确的结论是故答案是：【点评】 此题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与系数的关系：当a0，抛物线开口向下；抛物线 的对称轴为直线x=；抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0，c），与 x 轴的交点为（ x1，0）、（x2， 0）17（4 分）如图，在矩形 abcd中，beac分别交 ac、ad 于点 f、e，如 ad=1， ab=cf，就 ae=【分析】利用互余先判定出 abe=fc，b进而得出 abe fcb，即可得出 bf=ae，be=bc=，1

37、再判定出 baf=aeb，进而得出 abe fba，即可得出 ae=ab2，最终用勾股定理即可得出结论【解答】 解：四边形 abcd是矩形， bc=ad=1， baf=abc=9°0， abe+cbf=90°， beac， bfc=90°， bcf+cbf=90°， abe=fcb，在 abe和 fcb中， abe fcb， bf=ae，be=bc=，1 beac， baf+abf=90°， abf+aeb=90°， baf=aeb， bae=afb， abe fba， ae=ab2，在 rtabe中， be=1，依据勾股定理得， a

38、b2+ae2=be2=1， ae+ae2=1， ae0， ae=【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相像三角形的判定和性质，勾股定理，解此题的关键是判定出ae=ab2三、解答题（本大题共7 小题，共 64 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18（ 6 分）先化简，再求值： （a+）÷（ a+），其中 a=3【分析】 先将原分式化简成，再代入 a 的值，即可求出结论【解答】 解：原式 =÷，=×，=×，=当 a=3 时，原式 =1【点评】 此题考查了分式的化简求值，将原分式化简成是解题的关键19（ 8 分）为了丰富校内

39、文化，某学校打算举办同学趣味运动会，将竞赛项目 确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为明白同学对这五项运 动的喜爱情形， 随机调查了该校a 名同学最喜爱的一种项目 （每名同学必选且只能挑选五项中的一种） ，并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：同学最喜爱的活动项目的人数统计表项目同学数（名）百分比（ %）袋鼠跳4515夹球跑30c跳大绳7525绑腿跑b20拔河赛9030依据图表中供应的信息，解答以下问题：（ 1） a=300，b=60，c=10（ 2）请将条形统计图补充完整；（ 3）依据调查结果，请你估量该校3000 名同学中有多少名同学最喜爱绑腿跑；（ 4）依据调查结果，某班

40、打算从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为a、b、c、d、e）中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到同学喜爱程度最高的两项的概率【分析】（1）依据同学数和相应的百分比，即可得到a 的值，依据总人数乘以百 分比，即可得到 b 的值，依据同学数除以总人数， 可得百分比， 即可得出 c 的值；（ 2）依据 b 的值，即可将条形统计图补充完整；（ 3）依据最喜爱绑腿跑的百分比乘以该校同学数，即可得到结果；（ 4）依据树状图或列表的结果中，选到“c和”“e的”占 2 种，即可得出恰好选到同学喜爱程度最高的两项的概率【解答】 解：（1）由题可得， a=45÷

41、15%=300， b=300×20%=60，c=×100=10，故答案为： 300，60， 10；（ 2）如图：（ 3） 3000× 20%=600（名）；（ 4）树状图为：共 20 种情形，其中选到 “c和”“e的”有 2 种，恰好选到 “c和”“e的”概率是=【点评】 此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图的应用， 娴熟把握运算法就是解此题的关键20（ 9 分）某学校教学楼（甲楼）的顶部e 和大门 a 之间挂了一些彩旗小颖测得大门 a 距甲楼的距离 ab 是 31m，在 a 处测得甲楼顶部 e 处的仰角是 31°（ 1）求甲楼的高度及

42、彩旗的长度； （精确到 0.01m）（ 2）如小颖在甲楼楼底c 处测得学校后面医院楼 （乙楼）楼顶 g 处的仰角为 40°，爬到甲楼楼顶 f 处测得乙楼楼顶g 处的仰角为 19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之 间的距离（精确到 0.01m）（ cos31°0.86，tan31 ° 0.60，cos19° 0.95，tan19 ° 0.34，cos40°0.77，tan40 ° 0.84）【分析】（1）在直角三角形abe中，利用锐角三角函数定义求出ae 与 be 的长即可；（ 2）过点 f 作 fmgd，交 gd 于 m

43、，在直角三角形 gmf 中，利用锐角三角函数定义表示出 gm 与 gd，设甲乙两楼之间的距离为 xm，依据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 在rt abe 中 ， be=ab.tan31°=31.tan31° 18.60 ， ae=36.05，就甲楼的高度为18.60m，彩旗的长度为 36.05m；（ 2）过点 f 作 fmgd，交 gd 于 m， 在 rtgmf 中， gm=fm.tan1°9 ，在 rtgdc中， dg=cd.tan4°0，设甲乙两楼之间的距离为xm，fm=cd=x，依据题意得： xtan40 &

44、#176; xtan19 °=18.60，解得： x=37.20，就乙楼的高度为31.25m，甲乙两楼之间的距离为37.20m【点评】此题考查明白直角三角形的应用仰角俯角问题，娴熟把握直角三角形的性质是解此题的关键21（ 9 分）已知 abc与 dec是两个大小不同的等腰直角三角形（ 1）如图所示，连接ae，db，试判定线段ae 和 db 的数量和位置关系，并说明理由；（ 2）如图所示，连接db，将线段 db绕 d 点顺时针旋转 90°到 df，连接 af，试判定线段 de 和 af的数量和位置关系，并说明理由【分析】（1）依据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明

45、rtbcd rtace，依据全等三角形的性质解答；（ 2）证明 ebd adf，依据全等三角形的性质证明即可【解答】 解：（1）ae=db， aedb，证明： abc与 dec是等腰直角三角形， ac=bc，ec=dc，在 rtbcd和 rtace中， rtbcd rtace， ae=bd， aec=bdc， bcd=9°0， dhe=9°0， aedb；（ 2） de=af，deaf，证明：设 de 与 af 交于 n， 由题意得， be=ad， ebd=c+ bdc=9°0+bdc， adf= bdf+bdc=9°0+bdc， ebd=adf，在 e

46、bd和 adf中， ebd adf， de=af， e=fad， e=45°， edc=4°5， fad=45°， and=9°0 ，即 deaf【点评】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，把握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键22（ 10 分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多 5 元，小丽从该网店网购2 袋甲种口罩和 3 袋乙种口罩共花费110 元（ 1）该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（ 2）依据消费者需求，网店打算用不超过10000 元购进甲、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的

47、数量大于乙种口罩的，已知甲种口罩每袋的进价为22.4 元，乙种口罩每袋的进价为18 元，请你帮忙网店运算有几种进货方案？如使网店获利最大，应当购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【分析】（1）分别依据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5 元，小丽从该网店网购 2 袋甲种口罩和 3 袋乙种口罩共花费110 元，得出等式组成方程求出即可；（ 2）依据网店打算用不超过10000 元购进价、乙两种口罩共500 袋，甲种口罩的数量大于乙种口罩的，得出不等式求出后，依据m 的取值，得到 5 种方案，设网店获利 w 元，就有 w=（25 22.4）m+（2018）（500m ）=0.6m+1000，故当

48、 m=227 时， w 最大，求出即可【解答】解：（ 1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x 元，乙种口罩每袋的售价为y 元，依据题意得：，解这个方程组得：，故该网店甲种口罩每袋的售价为25 元，乙种口罩每袋的售价为20 元；（ 2）设该网店购进甲种口罩m 袋，购进乙种口罩（ 500 m）袋，依据题意得，解这个不等式组得： 222，2m 227.3， 因 m 为整数，故有 5 种进货方案，分别是：购进甲种口罩 223 袋，乙种口罩 277 袋； 购进甲种口罩 224 袋，乙种口罩 276 袋； 购进甲种口罩 225 袋，乙种口罩 275 袋； 购进甲种口罩 226 袋，乙种口罩 274 袋； 购进

49、甲种口罩 227 袋，乙种口罩 273 袋；设网店获利 w 元，就有 w=（25 22.4）m+（2018）（500m ）=0.6m+1000，故当 m=227 时， w 最大，w 最大=0.6× 227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227 袋，购进乙种口罩273 袋时， 获利最大， 最大利润为1136.2 元【点评】此题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解 法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中查找能够反映整个题意的等量关系是解答此题的关键23（ 10 分）已知 ab是 o 的直径， c 是圆上一点， bac的平分线交

50、o 于点 d，过 d 作 de ac交 ac的延长线于点 e，如图（ 1）求证： de是 o 的切线；（ 2）如 ab=10，ac=6，求 bd 的长；（ 3）如图，如 f 是 oa 中点，fg oa 交直线 de于点 g，如 fg=，tanbad=，求 o 的半径【分析】（1）欲证明 de 是 o 的切线，只要证明odde；（ 2）第一证明 odbc，在 rtbdn 中，利用勾股定理运算即可；（ 3）如图中， 设 fg与 ad 交于点 h，依据题意， 设 ab=5x，ad=4x，就 af=x，想方法用 x 表示线段 fh、gh，依据 fh+gh=，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图中，连接od oa=od， oad=oda， ad 平分 bac， oad=dae， oda=dae， od ae， ode+aed=18°0， aed=9°0， ode=9°0， od de， de是 o 的切线（ 2）如图中，连接bc，交 od 于点 n， ab是直径， bca=9°0， od ae，o 是 ab 的中点， on ac，且 on=ac， onb=9°0，且 on=3，就 bn=4，nd=2， bd=2（ 3）如图中，设fg与 ad 交于点 h，依据题意，设 ab=5x，ad=4x，就 af=x，