【2019年暑期课程北师大版初二数学】第8讲平方根教案

1、X Q © 第8讲平方根WWWJDuilJCN13WWWJDUilJaV教学难点2、负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算. ML MMI【教学建议】本节的重点是数的算术平方根、平方根的概念难点是区分算术平方根和平方根1与算术平方根作比较引出平方根的概念，沟通二者之间的关系由于在实际情境中的开平方运算结果多 是正的，而且正数有两个平方根与学生长期的运算经验不符，往往丢掉负的平方根，学生不易接受，因此 先引入算术平方根的概念，然后再引入一般平方根的概念.概述适用区域北师版J课时时长（分钟） 120: 知识点1、算术平方根和平方根的定义2、平方根的性质PI3、开平方4、利用平方根的意

2、义求字母的值1 了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系:! !2进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系i教学目标I3.经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用I?能力.IL-L-JrIIjrI教学重点II (1I1、了解平方根、开平方的概念.2、了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根 和平方根.!3、 了解平方根与算术平方根的区别与联系11 r适用学科 初中数学适用年级新初二1II 1平方根与算术平方根的区别和联系2.从计算中体会平方和开平方互为逆运算，并注意总结正数、零、负数的平方根的情况，教师要结合

3、具体的例子让学生理解对于负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算3WWWJDUllJCN© t>s#WWWdDUilXN教学过程一、导入第一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性掌握了无理数的概念，知道 有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a2 = 2 , a =,2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2 = a ,则a叫X的平方，反过来X叫 a的什么呢？本节课我们

4、一起来学习.方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空:X2目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根 的必要性.效果：能表示X2 = 2 , y2 = 3 , z2 = 4, W2 = 5;能求得Z = 2 ,但不能求得X , y , W的值.说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是 由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性相对而言，建议选用方法二. 第二环节：初步探究内容1:情境引出新概念X2 = 2 , y2 = 3 , z2 = 4, W2

5、 = 5 ,已知幕和指数，求底数 X ,你能求出来吗？目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性.效果：学生可以估算出 X , y是1到2之间的数，W是2到3之间的数但无法表示 X , y , W ,从而激发 学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算一一开方.说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问 题“已知幕和指数，求底数 X ,你能求出来吗？”WWWJDUilXN内容2:在上面思考的基础上，明晰概念:般地，如果一个正数X的平方等于a ,即2 = a,那么这个正数X就叫做a的算术平方根，记为“ ,a读作“根号a ”.特别地，我们规

6、定 O的算术平方根是0,即v0= 0.目的：对算术平方根概念的认识.效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的.内容3 :简单运用巩固概念例1求下列各数的算术平方根：49(1) 900 ;(2)1;(3)64 ；(4)14目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是 14 .效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,负数没有算术平方根.答案：解： 因为302 = 90

7、0 ,所以900的算术平方根是30,即v900 = 30; 因为12 = 1 ,所以1的算术平方根是1,即1 = 1 ;497因为(；)2 = 44 ,所以64的算术平方根是8 ,即 9=8 ；(4)14的算术平方根是14 .内容4 :回解课堂引入问题X2 = 2 , y2 = 3 , w2 = 5 ,那么 X = , y = 3, W = 5.第三环节：深入探究内容1:例2自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h = 4.9t2 .有 一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题.效果：学生多能利用等式的性质将h= 4.9t

8、2进行变形，再用求算术平方根的方法求/ Q ®克為得题目的解.解：将h = 19.6代入公式h = 4.9t2 ,得t2 = 4 ,所以正数t = 4= 2 (秒).即铁球到达地面需要 2秒.说明：强调实际问题t是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的.内容2 :观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：' a中的a是一个非负数，a的算术平方根 a也是个非负数，负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质一一双重非负性.效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根.、知识讲解知识点1算术平方根的

9、概念一般地，如果一个正数X的平方等于a ,即? = ?那么这个正数X就叫做a的算术平方根，记为“ a ”, 读作“根号a ”.算术平方根的性质：(1)正数a的算术平方根为' a (2) 0的算术平方根是0,即)= 0. (3)负数没有算术平方根(4)算术平方根” a具有双重非负性。(5)当a 0时，,a2a ;当a 0时，、a2a ;(知识点2平方根的概念如果一个数X的平方等于a ,即? = ?那么这个数X就叫a做的平方根。正数a的平方根记做“a ”一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。二、例题精析【教学建议】11WWWJEaiJIlXN此处内容主要用于教

10、师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授 或与学生互动练习。例题1【题干】求下列各数的算术平方根及平方根:(1)2.25的算术平方根是平方根是(2)289的算术平方根是平方根是(3)(4)(5)(6)【答案】【解析】144169的算术平方根是56的算术平方根是寻) 2的算术平方根是104的算术平方根是平方根是平方根是,平方根是,平方根是12故答案为：1.5,± 1.5; 17, 17; ,±分别利用算术平方根、平方根定义计算即可.；125, 125；令,；100， ± 100.解: (1)(± 1.5) 2= 2.25,

11、 2.25的算术平方根是1.5,平方根是± 1.5.(2) (± 17) 2= 289, 289的算术平方根是17,平方根是± 17 .212»(±厂)12413(5)(± *) 2=(-丄)2的算术平方根是)2,413,平方根是±的算术平方根是，平方根是±-.1316913IJ(4)(± 125) 2= 56, 56的算术平方根是125,平方根是± 125 .(6) (± 100) 2= 104,104的算术平方根是100,平方根是± 100.例题2【题干】一个正数a的平方

12、根分别是 2m- 1和-3m+5,则这个正数 a为.2 【答案】4【解析】 直接利用平方根的定义得出2m- 1+(- 3m+= )= 0,进而求出m的值，即可得出答案.2解：根据题意，得：2m- 1+ (- 3m+一) = 0,解得：m =上，正数 a=( 2×- 1) 2= 4,故答案为：4例题3【题干】 已知x+y- 5|+ (xy - 6) 2= 0 ,试求x2+y2的平方根.【答案】13的平方根为± B.【解析】根据非负数的性质即可求出 x+y, Xy的值，然后根据完全平方公式即可求出答案. 解：由题意可知：x+y= 5, Xy= 6,2 2 2 x2+y2=( x

13、+y)- 2xy=25- 12=13, 13的平方根为±.例题4【题干】求下列X的值(1) 5x2- 4 = 11;(2) (X- 1) 2= 9.【答案】(1) X=二.；( 2) X= 4 或 x=- 2.【解析】根据平方根的定义即可求出答案.解：(1) 5x2= 15,X2= 3,X=；(2) X- 1 = ± 3,X= 4 或 x=- 2.例题5【题干】如图所示，将长和宽分别是 a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为X的正方形.(1) 用a, b, X表示纸片剩余部分的面积；(2) 当a = 8, b= 6,且剩余部分面积等于剪去部分面积的丄时，求正方形的边长.【

14、答案】2二【解析】(1)根据剩余部分的面积=长方形的面积-4×正方形的面积，即可得出结论；(2)由剩余部分面积等于剪去部分面积的丄，即可得出关于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.解：(1)剩余部分的面积为 ab- 4x2 .(2)根据题意得：ab - 4x2=x 4x2,. 8× 6- 4x2= 2x2,解得：x = 2 二x2=- 2 ：'：(不合题意，舍去).答：正方形的边长为 2 J四、课堂运用【教学建议】在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情 况建议分3个难度层次：易，中，难。基础1. (1)打

15、J的算术平方根是 ,平方根 ；(2) m是81的算术平方根，则 m的平方根是 ;(3) X- 2是9的算术平方根，则 x+2的算术平方根是 .【答案】(1) 2, ± 2; (2)± 3; ( 3) 一 亍./®克為【解析】根据算术平方根的定义分别解答即可.解：(1) . I |-,= 4, I的算术平方根是2,平方根± 2;(2) m是81的算术平方根， m=；£ = 9,m的平方根是± 3;(3) X- 2是9的算术平方根， X - 2=<= 3, X= 5, x+2 = 7,则x+2的算术平方根是.一.2.若X2= 9 ,

16、则X的取值是()A . X= 3B . X=- 3C. x=± 3D. x=± 4.5【答案】C【解析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，求出X的取值是多少即可.解：. X2= 9, x=± 3.3. 下列说法正确的是()A . -4的平方根是± 2B . 0的平方根与算术平方根都是OC .汀的平方根是± 4D . (- 4) 2的算术平方根是-4【答案】B .【解析】平方根的定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根，也叫做 a的二次方根；算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出

17、结果.解：a、- 4没有平方根，故选项错误；B、O的平方根与算术平方根都是 O是正确的；C、1=4, 4的平方根是± 2,故选项错误；D、(- 4) 2的算术平方根是4,故选项错误.WWWJEXJIlXN#巩固1. 若某个正数的两个平方根是a - 3与a+5 ,则a= - 1 .【答案】-1【解析】由平方根的性质“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出关于a的方程，解之可得.解：由题意知 a- 3+a+5 = 0,解得：a =- 1,2. 设a= I. , b= I： C=1 ,则a、b、C的大小关系是（）A . av bv CB . av CV bC. CV bv aD

18、. aV av b【答案】：B.【解析】先比较被开方数的大小，再比较算出平方根的大小，即可得出选项.解：.三=15.25,4 14V 15.25 V 17,丨ILV av CV b,3下列说法正确的是（）A . - 81平方根是-9B .：_的平方根是± 9C .平方根等于它本身的数是1和OD . .一' 一定是正数【答案】D.【解析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根进行 分析即可.解：A、- 81没有平方根，故原题错误；B、.：_ = 9的平方根是± 3,故原题错误；C、 平方根等于它本身的数是0,故原题错误；D、U

19、 一定是正数，故原题正确；15WWWJDUIlJCN#WWWOuIlXN4. 若.J 有意义，则X能取的最小整数是（）A . - 1B . 0C. 1【答案】故选：B.X的取值范围，然后取整即可.【解析】要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可确定解：要使根式有意义，则 5x+1 0,解得x-丄，5故X能取的最小整数是 0,I拔高Ij 若+ （b- 1） 2= °,则 a2+y的值为（）aA . 5B . 6C. 7【答案】：C【解析】根据非负数的性质得到a2- 3a+1 = 0,进一步得到a4 = 3,再根据完全平方公式可求a的值.【解答】解：3 all+ ( b - 1) 2

20、= 0,.a2 - 3a+1 = 0,. a+-=3,aa2+1+2 = 9,a2. 已知x, y满足.：厂: ',求2x-丄y的平方根.【解析】根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出x、y,根据平方根的概念计算.解：由题意得,p-3y-l=01. -2yO解得，丿KF ,I42x二y= 12,512的平方根是± 2二 即2xy的平方根是± 2.；3.已知2a- 1的平方根是± 3,I -I 的算术平方根是 b,求a+b的平方根.【答案】± 3.【解析】先依据平方根、算术平方根的定义得到a、b的值，然后再代入求解即可.解： 2a- 1的平方根是

21、± 3, 2a- 1 = 9,. a = 5, ： i 的算术平方根是b,即16的算术平方根是 b, b= 4,17WWWJDUiIXN(2)用含n (n1)的式子写出你猜想的规律： 并验证你的猜想.【解析】(1)认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第6个等式;(2)根据规律写出含 n的式子，结合二次根式的性质进行化简求解验证即可. 课堂小结 p.【教学建议】此处内容主要用于教师对本节课重点内容进行总结，一方面是对本节课的重点难点内容的回顾，更重要的 是针对这节课学生出现的问题再次进行复习提问等，以达到让学生课上掌握的目的，同时可以对下节课内 容进行简单的铺垫，以体现出本

22、节课内容与下节课内容之间的关系。1一般地，如果一个正数X的平方等于a ,即？=?那么这个正数X就叫做a的算术平方根，记为 读作“根号a ”.负数没有a ；2. 算术平方根的性质：(1)正数a的算术平方根为 a (2) O的算术平方根是O ,即v0= 0 . (3)算术平方根(4)算术平方根 a具有双重非负性。(5)当a 0时，、.、a2 a ；当a 0时，、.a23. 如果一个数X的平方等于a ,即? = ?那么这个数X就叫a做的平方根。4. 正数a的平方根记做“.a ”5. 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。.拓展延伸P【教学建议】教师根据学生掌握情况有针对

23、性的进行课后作业的布置，掌握好的同学可以适当的布置难度大一些的作业，成绩一般的同学可以以基础题和巩固题目为主，但是一定要控制作业的数量，给学生布置的作业一般不要超过5题，这样学生才能保证做题的质量。基础1. 求下列各数的平方根:(1)【答案】121;(2)0.01 ；( 3)2；(4)( 13)2；(5)-(- 4) 3(1)± 11; (2)± 0.1 ; ( 3) 土丁； (4)± 13; (5)± &【解析】根据开平方，可得答案.19WWWlWnXN解：(1)J = ± 11；(2) *护二=± 0.1 ；/®

24、克為14(4 ±讥-13 严士 13；(5)±彳_(_4护=±V=± 82. 下列说法正确的是()A . -(- 8)的立方根是-2B .立方根等于本身数有-1, 0, 1C . f的立方根为-4D 个数的立方根不是正数就是负数【答案】B.【解析】根据立方根的概念即可求出答案.解：(A)-(- 8)= 8,所以8的立方根为2,故A错误;(C)-J=- 8,所以-8的立方根为-2,故C错误;(D)一个数的立方根正数或负数或故D错误;3.下列说法正确的是(A . 4的平方根是2B . - 4的平方根是-2C . (- 2) 2没有平方根D . 2是4的一个平

25、方根【答案】D.【解析】依据平方根的性质即可作出判断.解：A、4的平方根是± 2,故A错误;B、- 4没有平方根，故B错误;C、(- 2) 2 = 4,有平方根，故 C错误;D、2是4的一个平方根，故 D正确.巩固1. 下列说法正确的是(A .二的相反数是 ：?B . 2是4的平方根计算：Vt-3=- 3【答案】B.【解析】直接利用相反数的定义以及立方根和平方根的定义分别化简得出答案.解：A、二的相反数是-二故此选项错误；B、2是4的平方根，正确；C、I = 3, 是有理数，故此选项错误；D、.' =3,故此选项错误；2 22. 下列各数：O,(- 3) 2,-(- 2),

26、- |- 5|, 3.14- , 2- 1 ,其中有平方根的数有()A . 3个B . 4个C. 5个D . 6个【答案】A.【解析】先化简，根据正数和 O有平方根即可解答.解：(-3) 2= 9, -(- 2)= 2, - |- 5|=- 5, 3.14 - V O, X2 - 1 也可能为负数，有平方根的数有O,( - 3) 2,-(- 2)共3个，3. 81的算术平方根的平方根是()A . 9B . ± 3C.± 9D. 3【答案】B.【解析】先求得81的算术平方根，然后再利用平方根的定义求解即可.解：81的算术平方根为9.9的平方根是± 3.4. :一 ：

27、的算术平方根是()A . ± 4B . ± 8C. 4D. 8【答案】C.【解析】先首先化简二次根式，进而利用算术平方根的定义得出答案.解：16,则16的算术平方根是：4 .5.(1)已知 a、b 为实数，且 Ul+ N + (1 - b) Vlf= 0,求 a2017- b2018 的值；(2)若 X 满足#2 (x2- 2) 3 - 16= 0,求 X 的值.【答案】(1)- 2； (2) x=± 2.【解析】(1)根据丨-i+ (1 - b)：. = 0和二次根式有意义的条件，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值；(2)根据立方根的定义求出 X2-

28、2= 2 ,再根据平方根的定义即可解答本题.解：(1) a, b 为实数，且- _ j+ (1 - b)" = 0,E. 1+a = 0, 1 - b= 0, 解得 a=- 1, b= 1,. a2017- b2°i8=(_ I)2017 - 12018(-1)-1=-2;(2) 2 (x2- 2) 3 - 16= 0,2 ( x2- 2) 3= 16,(x2-2) 3= 8,2x2- 2 = 2,x2= 4,x=± 2.拔高1. 估计20的算术平方根的大小在（）A . 2与3之间B . 3与4之间C. 4与5之间D . 5与6之间【答案】C.【解析】 应先找到所

29、求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围.解:16V 20V 25, H-V -IIV 站，.4v -I IV 5.2. 当式子的值取最小值时，a的取值为（）A . 0B .C.- 1D. 1【答案】B.【解析】 根据2a+1 0 ,求出当式子丨的值取最小值时,a的取值为多少即可.【解答】解：I 2a+1 0,当式子.1丨的值取最小值时，2a+1 = 0, a的取值为-丄.3. 已知一个正数的两个不同平方根是a+6与2a- 9.21WWWWiIXN(1) 求a的值；(2) 求关于X的方程ax2- 16= 0的解.【答案】(1) a = 1;(2) x=± 4

30、.【解析】(1)、(2)根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答.解：(1)由题意得,解得，a = 1;2(2) x2- 16= 0X2= 16a+6+2a - 9 = 0,x=± 4.3.通过观察回答问题：a0.0001 0.01110010000-I0.01X1y100(1)表格中X=0.1, y=10 ;(2)利用a与 J数位的规律解决下面两个问题： 已知.丨 3.16 ,则.丨 I 31.6,. i 0.316 已知.' =8.973 ,=897.3,贝U b 是 m 的 10000 倍.【答案】0.1; 10; 31.6; 0.316; 10000.【解

31、析】(1)由表格得出规律，求出X与y的值即可；(2)根据得出的规律确定出所求即可；解：(1) X = 0.1 , y= 10 ;(2)根据题意得：MlQDO 31.6, c0. 316 根据题意得：b= 10000m;4.观察与猜想：18(2)计算I . -(n为正整数)等于什么?V n2+l輕】(I) Vl 和 5,(2) V 【解析】(1)(2)减数的分子与被减数相同，分母是被减数的平方加1 ,根据此规律写出即可，再按照题目提供的信观察不难发现，被减数放到根号外，减少作为被开方数即可;23WWWJDLNlXN息进行验证.解：(1)验证:16×41717验证:=5 'V 26262626(2)ln(n)-nI n2÷lL2÷l教学反思【教学建议】1、 对教学技能的反思：对基础知识的讲解是否透彻；对重点、难点是否把握准确；对学生的学习知识掌握知识的状态是否了解等。2、 对教学目标的反思：讲授的知识是否正确；语言是否