年河北省衡水中学高三一模理科数学试题

1、河北省衡水中学2021高三第一次模拟理科数学试题一、挑选题 （本大题共12 小题，每道题5 分，共 60 分）1设全集为实数集r， mx x 24， nx 1x3，就图中阴影部分表示的集合是a x2x1cx 1x2b x2x2d x x22设ar,i 是虚数单位，就“aai1”是“ai为纯虚数 ”的（）a. 充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件3如 an 是等差数列，首项a10,a2021a20210 ，a 2021a 20210，就使前n 项和 sn0 成立的最大正整数n 是（）a 2021b 2021c 4022d 40234. 在某地区某高传染性病毒流行期

2、间，为了建立指标显示疫情已受掌握，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7 天每天新增感染人数不超过5人”，依据连续7 天的新增病例数运算，以下各选项中，肯定符合上述指标的是（）平均数x3 ；标准差s2 ；平均数x3 且标准差 s2 ；平均数x3 且极差小于或等于2；众数等于1 且极差小于或等于1；a b c d 5. 在长方体abcd a 1b1c1d1 中，对角线 b1d 与平面 a 1bc 1 相交于点e，就点 e 为 a 1bc 1的（）a 垂心 b内心 c外心 d重心6.设 x, y 满意约束条件3xy6xy2x, y0,0,0,如目标函数zaxbya,

3、b0 的最大值是12，就a 2b2 的最小值是（）636636a b cd1355137. 已知三棱锥的三视图如下列图，就它的外接球表面积为（）a 16b 4c 8d 28已知函数fx2sinx 0, 图像的一部分（如下列图） ，就与的值分别为（）1115a ,1062b1,37c ,1064d,539. 双 曲 线 c 的 左 右 焦 点 分 别 为f1 , f2 , 且f2 恰 为 抛 物 线y24x 的焦点 ,设双曲线c 与该抛物线的一个交点为a ,如为底边的等腰三角形,就双曲线 c 的离心率为（）a 2 b 12 c 13 d 23af1f2 是以af110. 已知函数fx1, x2

4、，不等式x是定义在r上的奇函数，如对于任意给定的不等实数x1 f x1 x2 f x2 x1 f x2 x2 f x1 恒成立，就不等式1f 1x0 的解集为 a. ,0b. 0,c. ,1d. 1,11.已知圆的方程x 2y 24 ，如抛物线过点a 0， 1， b 0,1且以圆的切线为准线，就抛物线的焦点轨迹方程是x2y2x 2y2a. 3 4 1y0 b. 4 3 1y0x2y2x 2y2c. 3 4 1x 0 d. 4 3 1 x012. 设f x 是定义在 r 上的函数，如f 02021，且对任意xr ，满意f x2f x3 2x ，f x6f x63 2x ，就f 2021 =（）a

5、. 2 20062007b 220212006c 220212007d 2 20062021二、填空题 （本大题共4 小题，每道题5 分，共 20 分）13.在区间 6， 6 ，内任取一个元素xo ，如抛物线y=x 2 在 x=x o 处的切线的倾角为，就, 3的概率为；4414某程序框图如下列图，该程序运行后输出的s 的值是15. 在abc 中， p 是 bc 边中点，角a ， b ， c 的对边分别是a ，uuuruuuruuurrb ， c ，如cacapabpb0 ，就abc 的外形为；16.在 x 轴的正方向上，从左向右依次取点列aj , j1,2,，以及在第一象限内的抛物线y232

6、x 上从左向右依次取点列bk , k1,2,，使ak1bk ak （ k1,2,）都是等边三角形，其中 a0 是坐标原点，就第2005 个等边三角形的边长是；三、解答题 （本大题共6 小题，共70 分）17 （本小题满分12 分）在 abc 中 ，a, b, c 是 角a, b,c对 应 的 边 ， 向 量 mab, c , nab, c， 且m . n32ab .（ 1）求角 c ；（ 2）函数 f x2 sin a2b cosxcos ab sin2x1（0）的相邻两个极值的横2坐标分别为x0、 x0 ，求2f x 的单调递减区间.18 . （本小题满分12 分）已知四边形abcd满意ad

7、 / / bc , baaddc1 bca ，e 是 bc 的中点， 将 bae2沿 ae 翻折成b1 ae, 使面b1 ae面aecd ， f 为 b1d 的中点 .（ 1）求四棱锥b1aecd 的体积；（ 2）证明：b1e/ /面acf ；2（ 3）求面adb1与面ecb1 所成锐二面角的余弦值.19 . （本小题满分12 分）现有4 个人去参与某消遣活动，该活动有甲、乙两个嬉戏可供参与者挑选，为增加趣味性，商定：每个人通过掷一枚质地匀称的骰子打算自己去参与哪个嬉戏，掷出点数为1 或 2 的人去参与甲嬉戏，掷出点数大于2 的人去参与乙嬉戏.（ 1）求这 4 个人中恰有2 人去参与甲嬉戏的概

8、率；（ 2）求这 4 个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率；（ 3）用 x，y 分别表示这4 个人中去参与甲、乙嬉戏的人数，记 |x y|，求随机变量的分布列与数学期望e.20 . （本小题满分12 分）已知函数f x 是定义在e,00, e 上的奇函数 ,当 x0,e 时,f xaxlnx 其中e是自然界对数的底, ar （ 1）求f x 的解析式 ;ln x1（ 2）设g x, ，xx求证：e,0当a1 时，且 xe,0 ，f xg x恒成立；2（ 3）是否存在实数a，使得当的值；假如不存在，请说明理由；xe,0时， f x的最小值是3 ？假如存在，求出实数a请考生在第22

9、、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，就按所做的第一题记分.答题时用2b 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.21. （本小题满分10 分）选修 4 1：几何证明选讲已知 pq 与圆 o 相切于点a ，直线 pbc 交圆于 b、c 两点， d 是圆上一点， 且 ab cd ，dc的延长线交pq 于 点 q3（ 1）求证：ac 2cqab（ 2）如 aq=2ap ， ab=3 ,bp=2 ，求 qd.22 本小题满分10 分选修 4 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线c 1 的参数方程为x a cosy bsin（ a b 0，为参数），以为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

10、曲线c 2 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线 c1 上的点 m2,3 对应的参数=，与曲线 c2 交于点 d 342 ,4（ 1）求曲线c 1，c 2 的方程；（ 2） a（ 1， ）， （ 2， +2）是曲线c1 上的两点，求112 2 的 值 ；1223 本小题满分l0 分选修 4 5：不等式选讲已知关于x 的不等式| 2x1| x1|log 2 a （其中 a0 ）（ 1）当 a4 时，求不等式的解集；（ 2）如不等式有解，求实数a 的取值范畴数学（理科）答案一、挑选题（ a ）卷 cacdddbabccc（ b） ccaddbdacbcc二、填空题1113、12114、215、等

11、边三角形16. 2005三、解答题17、解:（ 1）由于 mab ,c , nab,c , mn32ab ，所以 a 2b 2c 23ab ，故 cosc3 ,0c2,c.-5 分6（ 2） fx 2sinab cos2 x cosab sin 2x 12= 2sin c2cos2 x 3cosc1sin2x 21= cos x sin2x 22= sin2x 6-8分由于相邻两个极值的横坐标分别为x0、2x0 ，所以f x 的最小正周期为t,1所以 fx sin2x 6-10 分3由 2k2x2k26, kz22所以 f x 的单调递减区间为 k, k, k63z .-12 分118、解 :

12、 （ 1）取 ae 的中点 m ，连结 b1m ，由于 ba=ad=dc=4bc=a ， abe 为等边三角2形，就 b1m=13 a ，又由于面b1ae 面 aecd ，所以 b1m 面 aecd ，23a 3所以v3aaa2sin3-4 分4（ 2）连结 ed 交 ac 于 o，连结 of ，由于 aecd为菱形， oe=od所以 fo b1 e，所以 b1e / / 面acf ；-7 分3 连结md ，就 amd=900 ，分别以me,md,mb1为 x,y,z 轴建系，就e a ,0,0 , c a, 23 a,02aa ,0,02, d 0,3 a,02, b 1 0,0,3 a2,

13、 所 以1 ，eb 1a ,0,2a3a3a 2，a3aad, 2,02,ab 1,0,2, 设面ecb 1的 法向 量为u2x , y , z ，a3xay022，a x3 az022令 x=1,u1,3 ,3 ，同理面adb 1 的法向量为333v1,33 ，所以3cosu ,v111333 ，11111153333故面 adb1与面ecb1 所成锐二面角的余弦值为3.-12 分51219.解：依题意， 这 4 个人中， 每个人去参与甲嬉戏的概率为，去参与乙嬉戏的概率为.设 “这4 个人中恰有i 人去参与甲嬉戏”为大事ai i 0,1,2,3,4 ，就3p ai c i 1 i433 2

14、4 i3（ 1）这 4 个人中恰有2 人去参与甲嬉戏的概率p a 21 22 283 分2c 4 3327（ 2 ）设 “这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数”为大事b ，就5ba3a4 ，由于 a3 与a4 互斥，故pb p a3 p a4 c c 4 93 143241 413339所以，这4 个人去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率为1.7 分20.解：（ 1）设 xe,0 ，就x0, e ，所以 f xaxlnx 又由于f x 是定义在e,0u 0, e 上的奇函数，所以f xf xaxlnx故函数f x 的解析式为f xaxlnx, xe,0 2 分axln

15、x, x0, e（ 2）证明：当xe,0 且 a1 时，f xxlnx, g xlnx ，设h xlnx1由于f x11xx1，；当1xx0 时，f2 x0 ，此时f x单调递增，所以f x minxxf 110又由于h xlnx1，所以当x2ex0 时，h x0 ，此时h x单调递减，所以h xhe11111f xmaxmine222所以当 xe,0 时，f xh x, 即f xg x16分2（ 3）解：假设存在实数a ，使得当xe,0 时，f xaxlnx 有最小值是3，就 f xa1ax1xx（） 当 a0 ， xe,0 时，f x10 xf x 在区间 e,0上单调递增，f x min

16、f e1 ，不满意最小值是（） 当 a0 ， xe,0 时，f x0 ，f x 在区间 e,0上单调递增，f x minf eae10 ，也不满意最小值是（） 当1ea0 ，由于 xe,0 ， 就 f1 xax0 ，故函数f xaxlnx是e,0上的增函数所以f xminf eae13 ，解得 a41（舍去）e e（） 当 a1时，就当exe1 时， f axa1 x0 ，此时函数f xaxlnx 是减函数；当1ax0 时，f xa1 x0 ，所以f xminf 1 1ln1 3 ，解得 aaae2综上可知，存在实数ae2 ，使得当xe,0 时，f x有最小值12分21（. ）由于 ab cd

17、 ，所以 pab= aqc,又 pq 与圆 o 相切于点 a ，所以 pab= acb,由于 aq 为切线，所以qac= cba, 所以 acb cqa, 所以 acab,cqac所以 ac 2cqab5 分6（ ） 因 为ab cd ， aq=2ap， 所 以 bppcapabpqqc1 , 由ab=3 ,bp=2得3qc33 ,pc=6ap 为圆 o 的切线ap 2pbpc12qa43又由于 aq 为圆 o 的切线aq2qcqdqd1633xa cos10分2 a cos322.解：（ 1）将 m 2,3 及对应的参数=，3；代入4y得b sin，3bsin3a4x2y2所 以， 所 以 c1 的方程为1 ，b2164设圆 c2 的半径r ，就圆 c2 的方程为： =2rcos（或（ x-r ） 2+y2 =r 2），将点d 入得： r=1圆 c 2 的方程为： =2cos（或（ x-1） 2+y 2=1） -5 分2 , 代42 cos22 sin 2（ 2）曲线 c 1 的极坐标方程为：1，将 a（ 1， ）， （ 2， + ）1代入得：2 cos2221 sin16422 cos2 1