最新浙江版高考数学一轮复习(讲练测)： 专题2.10 函数的综合问题与实际应用讲

1、第第 1010 节节函数的综合问题与实际应用函数的综合问题与实际应用【考纲解读】【考纲解读】考 点考纲内容5 年统计分析预测函数的简单应用能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.20 xx浙江理 10；20 xx浙江文 20；理 18；20 xx浙江文 12，20；理 18；20 xx浙江 17.1.会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；2.函数的综合应用.3.备考重点（1） 一次函数、 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型.（2）函数的综合应用.【知识清单】【知识清单】1.1. 常见的几种函数模型常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k

2、0).(2)反比例函数模型：ykx(k0).(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0).(4)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0).(5)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0).对点练习对点练习某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()a.b.c.d.2021 年【答案】b元2.2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质指

3、数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有 logaxxnax对点练习对点练习下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527a.一次函数模型b幂函数模型c指数函数模型d对数函数模型【答案】a【解析】根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量是均匀

4、的，故为一次函数模型.【考点深度【考点深度剖析】剖析】高考对函数应用的考查，常与二次函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数【重点难点突破】【重点难点突破】考点 1 一次函数与分段函数模型【1-1】 【20 xx 湖北模拟】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()【答案】c因此排除 b.【1-2】 甲、乙两人同时从 a 地赶往 b 地

5、，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达 b 地.已知甲骑自行车比乙骑自行车快.若每人离开甲地的距离s与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙两人的图象分别是()a 甲是(1)，乙是(2)b甲是(1)，乙是(4)c 甲是(3)，乙是(2)d甲是(3)，乙是(4)【答案】b【解析】显然甲图象为(1)或(3)，乙图象为(2)或(4).又因为 甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以 甲为(1)，乙为(4).选 b.【1-3】 【20 xx上海宝山区模拟】王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联

6、通的 130 网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络月租费本地话费长途话费甲：联通 13012 元0.36 元/分0.06 元/秒乙：移动“神州行”无0.60 元/分0.07 元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的 5 倍，若要用联通 130，应最少打多少秒长途电话才合算？()a300b400c500d600【答案】b【领悟技法】1在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0)2在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出

7、，而是由几个不同的关系式构成分段函数如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起要注意各段变量的范围，特别是端点【触类旁通】【变式一】物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间t内完成预测的运输任务q0，各种方案的运输总量q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()abcd【答案】b【解析】由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大

8、，故选 b。【变式二】某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分现有政策规定：通讯费为 0.02 元/分钟，但每月 30 元封顶(即超过 30 元则只需交 30 元)， 网络维护费 1 元/小时， 但每月上网不超过 10 小时则要交 10 元；二是到附近网吧上网，价格为 1.5 元/小时（）将该网民某月内在家上网的费用y(元)表示为时间t(小时)的函数；（）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？【答案】所以上网时间超过 60 小时则在家上网便宜考点 2 二次函数模型【2-1】 【20 xx 河北石家庄质检】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数

9、占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图 3 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()a.3.50 分钟b.3.75 分钟c.4.00 分钟d.4.25 分钟【答案】b【解析】根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得0.79a3bc，0.816a4bc，0.525a5bc，消去c化简得7ab0.1，9ab0.3，解得a0.2，b1.5，c2.所以p0.2t21.5t215t2152t2251

10、6 4516215t15421316，所以当t1543.75 时，p取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟.【2-2】某汽车销售公司在a、b两地销售同一中品牌的车，在a地的销售利润（位：万元）为214.10.1yxx，在b地的销售利润（单位：万元）为22yx，其中x为销售量（单位：辆） ，若该公司在两地共销售 16 辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（）a10.5b.11万元c.43万元d.43.025万元【答案】c【2-3】为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过 200 元，则不予优惠；如果超过 200 元，但不超过 500

11、元，则按标价给予 9 折优惠；如果超过 500 元，其中 500 元按第条给予优惠，超过 500 元的部分给予 7 拆优惠辛云和她母亲两次去购物，分别付款 168 元和 423 元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为【答案】546.6【解析】依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为)500(7 . 0)500(9 . 0500)500200(9 . 0)200()(xxxxxxxf当f(x)168 时，由 1680.9187200，故此时x168；当f(x)423 时，由 4230.9470(200,500，故此时x470.所以两次共购得价值为 47016863

12、8 元的商品， 又 5000.9(638500)0.7546.6 元，即若一次性购买上述商品，应付款额为 546.6 元【领悟技法】有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题 、产量问题等构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域【触类旁通】【变式一】(【20 xx 福建模拟】某商场销售a型商品，已知该商品的进价是每件 3 元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(

13、)a4b5.5c8.5d10【答案】c【解析】由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y(x3)4004 0(x4)40(x217x42)，故当x8.5 时，y有最大值，故选 c.【变式二】某厂有容量 300 吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已知:该厂生活用水每小时 10 吨,工业用水总量w(吨)与时间t(单位:小时,规定早晨六点时0t)的函数关系为tw100,水塔的进水量有 10 级,第一级每小时进水 10 吨,以后每提高一级,进水量增加 10 吨.若某天水塔原有水 100 吨,在供应同时打开进水管.问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水

14、溢出?【答案】4 级.所以1102011010ttntt对一切16, 0t恒成立.因为272721110110102ttt,4194141120110202ttt,所以41927 n,即4n.即进水选择 4 级.考点 3 指数函数模型【3-1】 【20 xx德阳一诊】将甲桶中的al 水缓 慢注入空桶乙中，tmin 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin 甲桶中的水只有a4l，则m的值为()a.5b.8c.9d.10【答案】a【解析】5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5n12a，【3-2】某

15、工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的m倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是（）a.11mb.12mc.12m1d.11m1【答案】d【解析】设该厂一月份产量为a，这一年中月平均增长率为x.则maxa11)1 (，解得111mx.故选 d.【3-3】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.（）求每年砍伐面积的百分比；（）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（）今后最多还能砍伐多少年？【答案】 （）101)21(1x.（）已砍伐了 5

16、 年 （）15.【解析】 （）设每年降低的百分比为x(0 x1)则a(1x)1012a，即(1x)1012，解得101)21(1x.（）设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1x)m22a，即2110)21()21(m，m1012，解得m5.故到今年为止，已砍伐了 5 年（）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1x)n.故今后最多还能砍伐 15 年【领悟技法】1指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型3

17、ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解4对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长1在解答本题时有两点容易造成失分：忽视实际问题对变量x的限制即定义域将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确2解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆错误在求解的过程中计算错误另外需要熟练掌握求解方

18、程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解【触类旁通】【变式一】(20 xx安徽名校联考)如图，在平面直角坐标系中，ac平行于x轴，四边形abcd是边长为 1 的正方形，记四边形位于直线xt(t0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是()abcd【答案】c【解析】222,022( )(2)1,221,2ttf xttt ，故其图象为 c.【变式二】衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积与天数t的关系式为：ktva e，若新丸经过 50 天后，体积变为49a；若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数为a75 天b100 天c125 天d1

19、50 天【答案】a.【解析】由题意，得kaea5094，解得3225te；令aaekt278，即kkkteee753253)()32(，即需经过的天数为 75 天.考点 4 对数函数模型【4-1】光线透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线的强度减少到原来的13，则至少要（）快这样的玻璃(lg30.4771).a8b.9c.10d.11【答案】d【4-2】某种放射性元素的原子数n随时间t变化规律是0tnn e，其中0n、为正的常数. 由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为.【答案】01lnntn 【解析】因为0tnn e，所以0tnen，两边取以e为底的对数，所

20、以01lnntn .【4-3】我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数25log10ov ，单位/m s，其中o表示燕子的耗氧量. 则当燕子静止时的耗氧量时单位和当一只燕子的耗氧量是80个单位时的飞行速度分别是（）a10 个15/m sb. 10 个8/m sc. 15 个15/m sd. 50 个15/m s【答案】a【解析】由题意知，当燕子静止时，它的速度0v ，代入25log10ov ，即205log10o，解得10o 个单位. 所以22805log5log 81510v /m s.【领悟技法】解答函数应用题的一般步骤：审题：弄清

21、题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学问题还原为实际问题的意义【触类旁通】【变式一】 我国人口总数为 14 亿，如果人口的自然年增长率控制在 1.25%，则_年我国人口将超过 20 亿(2lg0.301 0，3lg0.477 1，7lg0.845 1)【答案】2037则7 .2036x，即2037x.【变式二】某公司为了实现销售利润 1 000 万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到 10 万元开始，按销售利润进行奖励

22、，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过 5 万元，同时奖金数额不超过销售利润的 25%.现有三个奖励模型：y0.025x，y1.003x，y12lnx1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由(参考数据：5003. 1538， 71828. 2e，29818e)【答案】奖励模型y12lnx1 能完全符合公司的要求当x10,1 000时，y12ln 1 0001.下面证明12ln 1 00015.12ln 1 0001512ln 1 000412(ln 1 0008)12(ln 1 000ln 2 981)0，满足.再证明12lnx1x25

23、%，即 2lnx4x0.设f(x)2lnx4x，则f(x)2x12xx0，x10,1 000，f(x)在10,1 000上为减函数，f(x)maxf(10)2ln 104102ln 1062(ln 103)0，满足.综上，奖励模型y12lnx1 能完全符合公司的要求考点 5 函数的综合应用【5-1】 【20 xx 浙江湖州、衢州、丽水三市 4 月联考】已知 f x是定义在 r 上的函数，若方程 ff xx有且仅有一个实数根，则 f x的解析式可能是()a . = 21f xxb. x=ef xc. 21f xxxd. sinf xx【答案】d【解析】若 21f xx，则 143 ,22 21

24、1141,2xxg xff xxxx ，由于11122g ，13044gg，因此 ff xx有 4 个解，排除 a；显然xex，因此xexeex，即若 xf xe，则方程 ff xx无实根，排除 b；若 21f xxx，显然 34f x ，因此34x 时， ff xx显然无解，而当34x 时， 由于2314xxx 因此 2211f xxf xxxx ， 即方程 ff xx无解，因此可排除 c，这样只有 d 符合题意，故选 d【5-2】【20 xx 浙江温州中学 3 月模拟】 已知函数在区间上有最大值 4 和最小值 1，设（）求的值；（）若不等式在上恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （）;（

25、）（）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以 的取值范围是【领悟技法】1.函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.2.求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.【触类旁通】【变式一】【20 xx 浙江台州上期末】 已知函数,当时，设的最大值为，则的最小值

26、为_【答案】【变式二】 【20 xx 天津，文 8】已知函数| 2,1,( )2,1.xxf xxxx设ar，若关于x的不等式( ) |2xf xa在r上恒成立，则a的取值范围是（）（a） 2,2（b） 2 3,2（c） 2,2 3（d） 2 3,2 3【答案】a【解析】【易错试题常警惕】【易错试题常警惕】易错典例：如图所示，在矩形abcd中，已知aab ，bbc （)ba ，在ab、ad、cd、cb上分别截取ae、ah、cg、cf都等于x，当x为何值时，四边形efgh的面积最大？求出这个最大面积.易错分析： 忽略了实际问题中自变量x的取值范围，bx 0， 由于0 ba， 所以当ba3时bba4，自变量x不能取到4ba，面积s不能取得最大值8)(2ba.若bba4，即ba3时，函数8)()4(222babaxs在, 0(b上是增函数，因此，当b