浅谈多项式因式分解的方法

1、浅析多项式因式分解的方法摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形 的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具因式分解 在代数式的运算、解方程等方面有极英广泛的运用。关键词：多项式 因式分解 转化 方法 应用chinese abstract: polynomial factorization of polynomial multiplication is the inverse process, are algebraic identical deformation is an important part of solving mathematical probl

2、ems, is al so the importantmeans and tools factorisation in algebraic operations, such as solutions of equations has extremely extensive application.key words: factorization of polynomial transformation method and its application.在初中数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中 有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的 问题，因式分解也是整

3、式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要 的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘 积。这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到冃的在解题过程中，方法灵活多变本文 归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组 分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法等。一、因式分解概念把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把 这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用 于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法 灵活，技巧性强，学习这些方法与技

4、巧，不仅是掌握因式分解内容所 必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，又可 以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形:(ab) (a+b)a2-b2式乘法(ab)(a+b)因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤二、基本方法（一）提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1分解因式ma+mb分析在多项式ma+mb中，每个单项式都含有字母叫 故提出m就 可以.解 ma+mb=m(a+b)例2分解因式x (a-b) +y (b-a)分析通过适当的变形可以找出

5、公因式(a-b)或(b-a),再提出 就可以.解 1 x(a-b)+y(b-a)=x (a-b)-y (a-b)=(x-y) (a-b)解 2 x(a-b)+y(b-a)二-x(b-a)+y(b-a)二(b-a)(y-x)(二) 公式法 若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式, 这种方法叫公式法.例3分解因式9-佃分析本题是一个二项式，符合平方差公式用平方差公式分解.v9a2=(3a)2, 4b2=(2b)2,那么只要把3a和2b看作平方差公式中的a 和b即可将两项交换后，这两项式是平方差的形式.解 9a-4b2二(3a)2-(2b)2二(3a+2b)(3a-2b)例4分解因式x2+8

6、ax+16a2分析这题为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的 完全平方公式题中的x2=(x) 16a2=(4a)2,且这两项的符号相同， 可写成平方和这样x和4a就为公式中的a和b.另外8ax正好是 2(x) (4a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分 解.解(1) x2+8ax+16a2= (x)2+2(x) (4a) + (4a)2=(x+4a)2再写第一步的三个项的和时实际上先写/和(4af项，再写固定的 “2”常数再将公式中的a、b数即x和4a写进二个括号内；计算出 来为8ax,即原题中的中间项.运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、 次

7、数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应 用条件.(三) 十字相乘法十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系 数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.十字相 乘法一般地，对于二次三项式a x'+bx+cqho),如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=aixa2,常数项c可以分解成两个因 数之积，即c二cixs,(注：常数项是正数时，它分解成两个同号 的因数，它们与一次项系数符号相同。常数项是负数时，它分解成 两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同。)将81, cl, c2，排列如下：cixa2 c2按斜线交叉相乘

8、，再相加，得到aixc2 + a2xc1,若它正好等于二次 三项式a x'+bx+c的一次项系数b,即aixc2 + a2xci=b,那么二次 三项式就可以分解为两个因式ai x+ ci与a2 x+ c2之积，即 a x2+bx+c= ( ai x+ ci) ( a2 x+ c2 ).像这种借助画十字交叉线分解 系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相 乘法.它只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因 式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程当 首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.例5分解因式x2+3x-18分析通

9、过观察，此题采用十字相乘法就可以.解1-3x1 61x6+1x (-3)=3所以 x2+3xt8=(x-3) (x+6).(四) 配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平 方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方 法属于拆项、补项法的一种特殊情况也要注意必须在与原多项式相 等的原则下进行变形例6多项式x2 +8x-20分解因式解 x2 +8x-20-x2+8x+16-36= (x+4)2-(6)2二(x+10) (x-2)三、多项式因式分解的一般步骤(一)步骤1. 若首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；2. 若各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分 解；3. 若用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项 法来分解；4. 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。综上所述，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方 法之中，与因式分解的四