浅谈高考中关于解析几何的定点问题

1、浅谈高考中关于解析几何的"定点"问题周丹凤河南省屮牟县第二高级屮学，45145（）近儿年來，解析儿何中的”定点”问题已悄悄地从竞赛走入高考，并以其独特的魅力成为新课标考 题的一个热点问题.求解这类问题的基本方法是“方程铺路，参数搭桥”，解题的关键是对问题综合分 析，挖掘题中的隐含信息，恰当引参，巧妙化归.下面，笔者就结合近几年來的高考题，对解析几何中 的”定点”问题作以探讨.2 2例1 （2009江西，理21）己知点片（看）,儿）为双曲线务-召（"为正常数）上任一点，竹为 b双illi线的右焦点，过片作右准线的垂线，垂足为a,连接§a并延长交y轴于点4

2、（i ）求线段人巴的小点p的轨迹£的方程；（ii）设轨迹e与兀轴交于3、d两点，在e上任取一点!2（坷亠>'严°），直线qb、qd分别交），轴于m、n两点、.求证：以为直径的圆过两定点.qu 解析：（i ）由题意可知血（3b,0）, a ,y0 3>则直线f点的方程为y =如（兀3仍.令兀=0 b得 y = 9y0,故 p2(0,9.设 p(x, y),则2)=)s+9yor22即;雳，代入誅-沪】整理焦2 2兀y2h225h22 2故点f的轨迹e的方程为赤-缶22x（ii）在£的方程赤一二1屮令y = 0得兀=±娅；不妨设b（-v2

3、/?,0）, d（姮,0）,则直线qb的方程为y = l （兀+ j刃），直线qd的方程为y =巴亍（x- 42b）. + v 2/?x、一 v 2b2x + y-近by、%! + v2/?丿y +/m 0,则以mn为直径的圆为：% 2 20 ,令y = 0得x2 =0 ?1 7 (*)；又因为点0(坷,yj在兀 1-2b芦v2? =1±,则兀2决=二），代入（*）式整理得x = ±5b.即以mn为直径的圆过两定点 2b1 25h225v 7（-5b,0）,（5b,0）.评注：本题考查的是解析几何中的动点轨迹的求解方法，以及处理曲线恒过定点问题的方法.常用 解法是先进行探索

4、，再进行相关证明，从而将问题解决.在（1【）的证明中令y = 0及令兀=0是解决 此题的关键和突破口.例2 （2010全国i,理21）已知抛物线c:y2=4x的焦点为f ,过点k（l,0）的直线/与c相交-* 8 于a、b两点,点a关于x轴的对称点为d. （ i ）证明：点f在直线bd上;（ii）设fafb = §, 求abdk的内切圆m的方程.解析：（i ）由题意可设z的方程为x = my-l（m0）,代入y2=4xf整理得y2-4my+4 = 0.设b（x2,y2）,则 £>（州，一 yj.由韦达定理+ y2 = 4m , yxy2 =4 .故直线 的方程为丁一）

5、2為（i）即r厂己，也即y（x-1）.所以直线bq恒过2 - >1点（1,0）,即点f（l,o）在总线上(ii)圆m的方程为（兀一丄+严i 9丿（过程略）.评注：木题考查的是直线方程、圆的方程、抛物线方程以及直线与曲线的位置关系，平面向屋的数量积等知识.在（i ）中引入参数加，将过点k（-l,0）的直线/表示为x = my - （m0）是突破口，设而不求将肓线bq的方程表示为y = （兀-1）是解决此题的关键.儿- xx2 y2例3 （2010江苏，理18）在平面直角坐标系兀oy中，已知椭圆§ +十=1的左、右顶点为a、b , 右焦点为f.设过点t（r,m）的直线7x、与此椭圆

6、分别交于n（x2,y2）,其中m>0,）'i0，y2 < 0.设动点p满足p4p宀4,求点p的轨迹；（h）设“2, x2=l,求点mj坐标;（ill）设f = 9，求证：直线mn必过x轴上的一定点（其处标与m无关）解析:(i )由题意易得 4-3,0), b(3,o), f(2,o).设点 p(x,y), wj pf2 =(x-2)2+ / ,pb2=(x_3)2 + y2.由 pf2-pb2= 4 得(x-2)2 + y2 -(x-3)2 - y2 = 4 ,化简得x =-故所求点9p的轨迹为直线x=-.2（ii）由题意易得m2,-l 3丿故直线am的方程为y=-x +

7、l, k线的方程为 w联立两直线方程得*7, y10'亍丿（iii）由题意知直线at的方程为y = （x + 3）,直线的方程为y= （x-3）.点m（xl9y,）12 6满足91225手，整理得©厂珈+3）= _吗.w 因为比一3, ”苍（“+3）9125解得鬻浮则為点m"）满足，因为花工3同理可得凹则卄三吗20 +府20+ 厂若兀1 =;2，可解得m = 2v10 ,此时直线mn的方程为x = l ,过点p（l,0）:若州h兀2，则m h 2710 ,10/7710/77直线md的斜率kmd =一运,直线nd的斜率knd =一兀,得kmd = knd ,所以40加广40 加直线mn过点d故总线mn必过x轴上的一定点（1,0）评注：木题考查的是椭圆与玄线的方程等基础知识，以及运算求解能力和探求问题的能力.肓线ta.彷与此椭圆分别交于m（“yj、n（兀2，）s）这是解决（111）的关键和突破口.通过以上几例高考题屮关于解析几何屮的“定点“问题，我们