年高考试题汇编理科数学-函数与导数

1、2021 全国 1 3. 已知 aa. abcb. acbc. cabd. bca答案：b解答：log2 0.2 ， b20.2 ， c0.20.3 ，就（）由对数函数的图像可知：得到： acb .alog 2 0.20 ；再有指数函数的图像可知：b20.21， 0c0.20.31，于是可2021全国1 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（5120.618 称为黄金分割比例） ，闻名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 . 如某人满意上述两个黄金分割比例，且腿长为2105cm ，头顶至脖子下端

2、的长度为26cm，就其身高可能是（）a. 165cmb. 175cmc. 185cmd. 190cm答案：b解答： 方法一：设头顶处为点a ，咽喉处为点b ，脖子下端处为点c ，肚脐处为点d ，腿根处 为 点e ，足底处为f ， bdt ，51，2依据题意可知ab, 故 ab bdt ； 又 adabbd1t ， ad，故dfdf1 t ；1 251所以身高 haddft ，将0.618 代入可得 h24.24t .依据腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm 可得 abac ， dfef ；即t26 ，1 t105 ，将510.618 代入可得240t42所以 169.6方法二：h

3、178 .08 ，应选 b.由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm 可估值为头顶至咽喉的长度； 依据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5151（220.618 称为黄金分割比例）可运算出咽喉至肚脐的长度约为42cm ；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm ，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51 可运算出肚脐至足底的长度约为110 ；将 2头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm ，应选 b.178cm，与答案175cm更为接近且身高应略小于（ 2021 全国 1） 5

4、. 函数f xsin xx在 , 的图像大致为（）cos xx2a.b.c.d.答案：d解答： f xsinxx2cosxxsin xxcos xx2f x ， f x 为奇函数，排除a，又 f 2sin422222cos0 ，排除 c，f 22sin2cos120 ，排除 b，应选 d.（ 2021 全国 1） 11. 关于函数f xsin xsin x 有下述四个结论： f x 是偶函数 f x 在,有 4 个零点f xf x在区间 , 单调递增2的最大值为2其中全部正确结论的编号是（）a. b.c.d. 答案： c解答：因 为 f xsinxsinxsin xsin xf x ，所以f

5、x是偶函数，正确，由于 5, 2, ，而f 5f 2 ，所以错误，63263画出函数f x在,上的图像，很简单知道f x 有 3 零点，所以错误，结合函数图像，可知f x 的最大值为2 ，正确，故答案选c.（ 2021 全国 1） 13. 曲线 y3 x2x) ex 在点 0,0 处的切线方程为.答案：y3x解答： y32x1) ex3x2xex3 x23x1ex ，结合导数的几何意义曲线在点0,0 处的切线方程的斜率k3 ，切线方程为y3x .（ 2021 全国 1） 20. 已知函数f xsin xln1x ,f x 为f x 的导函数 . 证明：(1) f x 在区间 1, 存在唯独极大

6、值点；2(2) f x 有且仅有 2 个零点 .答案：略解答：1 对f x进行求导可得，f xcos x1， 1x1x2取 g xcos x1，就1xg xsin x11,1x 2g110在 x1, 内2g xsin x1x 2为单调递减函数，且g01 ，2122所以在x0,1内存在一个x0 ，使得g x0 ，所以在 x1,x0 内g x0 ， f x 为增函数； 在 xx0 , 内2g x0 ，f x 为减函数，所以在f x 在区间 1, 存在唯独极大值点；2（ 2）由（ 1）可知当x1,0 时，f x 单调增，且f 00 ，可得f 'x0就 f x 在此区间单调减；当 x0, x0

7、 时， f x 单调增， 且 f00 ， fx0 就f x 在此区间单调增； 又f 00 就在 x1,x0 上 f x 有唯独零点x0 .当 x x0 , 时，2f x 单调减，且f x0 0, f0 ，就存在唯独的x1 2 x0 , 2，使得f x1 0 ，在x x0 , x1时， f x1 0 ，f x 单调增；当 xx1, 2时， f x 单调减， 且f 1ln1 21ln e0 ，2所以在xx0 , 2上 f x无零点；当x,2时 ，ysin x 单 调 减 ，yln1x 单 调 减 ， 就f x在 x, 2上 单 调 减 ,f 0ln10 , 所以在 x, 2上 f x存在一个零点

8、.当 x, 时，f xsin xln1x1ln10 恒成立，就f x 在 x,上无零点 .综上可得，f x 有且仅有 2 个零点 .（ 2021 全国 2）42021 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就；实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系；为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着环绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平稳点，位于地月连线的延长线上；设地球的质量为，月球质量为，地月距离为r ，l2 点到月球的距离为r ，依据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满意方程m 1rr 2m 2 r

9、r m 1r 2r3；设= r r；由于的值很小，因此在近似计算中 33 +345（1）233 ，就 r 的近似值为（）am 2 r m 1m 2br2m 1c 33m 2 rm 1d 3m 2 r3m 1答案：d解答：m 1 rr 2m 2 rr m 1r 2r3m 1r2 12m 21 m 1r 2r2所以有 m 2m 1 1231m 133r 2r212r21 21化简可得mm r 23323m333m 2 ，可得 r3m 2 r ；2221r13m 13m 1ab（ 2021 全国 2）6. 如 ab ，就（）a. ln ab0答案： c3333解答：b. 3333c. ab0d. |

10、 a | | b |由函数yx3 在 r 上是增函数，且ab ，可得 ab ， 即 ab0 .（ 2021 全国 2） 12. 已知函数的定义域为xr ，f x12 f x ，且当 x0,1 时，f xx x1 ，如对任意的 x, m ，都有f x8，就 m 的取值范畴是（）99a , 47b , 35c , 22d , 3答案： b解答：由当 xr ， f x12 f x ，且当 x0,1 时，f xx x1 可知当 x1,2 时，f x2 x3 21 ，当 x2,3 时，f x4 x5 221 ，当 x n, n1,nz 时，f x2n xn1 22222n 2 ，函数值域随变量的增大而逐

11、步减小，对任意的x , m ，都有f x8有 4m3 218 m5 解得的取值范畴是 m7 ；39292（ 2021 全国 2）14. 已知f x 是奇函数，且当x0 时,f xeax . 如f ln 28 ，就 a .答案：3a解答： f ln 2f ln 2a ln 2ln 2a28 ，ee a3 .（ 2021 全国 2）20. 已知函数f xln xx1x1(1) 争论函数f x 的单调性，并证明函数f x有且只有两个零点；(2) 设答案：略解答：x0 是f x的一个零点，证明曲线y ln x 在点ax0 ,lnx0 处的切线也是曲线xye的切线；（ 1）函数的定义域为0,1u 1,

12、，又f x1x1 x1120 ，所以函数在0,1,1,x x12xx123e22上 单 调 递 增 ， 又f e2 0, f e 10， 所 以 在 区 间 0,1 存 在 一 个 零 点 ， 且e21e1e23f 2ln 230,f e2 0 ，所以在区间1, 上也存在一个零点，所以函数有且只有2 个零点；e21（ 2 ）由于x 是函数的一个零点，所以有ln xx0112；曲线 yln x 在ax,ln x 处的切线方程00x0100x01为 y1 x x0ln x011 x2x0x0，曲线曲线1yex 当切线斜率为1 时，切点坐标为x0lnx0 ,1 ，切线方x0程 为 y11 xln x

13、0 ， 化 简 为 y1 xln x011211 xx011 x2， 所 以 曲 线x0x0x0x0x0x0x0x01yln x 在ax0,lnx0 处的切线也是曲线yex 的切线；x2021 全国 36.已知曲线 yaex lnx在点1，ae 处的切线方程为y2xb ，就（）a. ab. ac. ae , b1 e , b1e 1 , b1d. ae 1 , b1答案：d解析：令 f xaexx ln x ，就f xaexln x1， f1ae12 ，得 a1e 1 .ef 1ae2b ，可得 b1.应选 d.2021 全国 37.函数 y2 x32 x2 x在 6,6 的图像大致为（）a.

14、b.c.d.答案：b解析：2x32x 32 x3 yfx，2x2 xf x2 x2 x2x2 xf x ，f x为奇函数，排除选项c.又243243f 4242 4248 ，依据图像进行判定，可知选项b 符合题意 .2021 全 国 310.如f x 是定义域为r 的偶函数，且在0, 单调递减，就（）a. f1log 343f 2 2 2f 2 3 123b. flog 34f 2 3 f 2 2 3f 2 2 2f 2 3 f log1c. 3 43231d. f 2f 2 2 f log 3 4答案：c解析 :0, 单 调 递 减 ， 就 函 数 在 ,0 上 单 调 递 增 ； 因 为依

15、 据 题 意 函 数 为 偶 函 数 且 函 数 在1f log 3 4f log 3 4f log 3 4；又由于302 222 31log 3 4；所以3f 2 2 2f 2 3 1f log 34；应选 c.2021 全国 320.已知函数3f x2x2axb .（ 1）争论f x 的单调性；（ 2）是否存在a,b ，使得f x在区间 0,1 的最小值为1且最大值为 1？如存在，求出a, b 的全部值；如不存在，说明理由.答案：见解析解析：（ 1）f ' x6 x22 ax6x xa 3当 a0时，f ' x6x20 ，此时f x 在 , 单调递增 .aa当 a0时，令f

16、 ' x0 ，解得x或 x30 ，令f 'x0，解得 0x.3此时 f x 在 ,0,a ,3a单调递增，在0, 单调递减 .3当 a0时，令f ' x0 ，解得 x0 或 xa ， 令 f3'x0，解得 ax0 .3此时 f x 在 , a ,0, 单调递增，在3 a ,0 单调递减 .3综上可得，当a0 时， f x 在 , 单调递增 .aa当 a0 时， f x 在 ,0, 单调递增，在0, 单调递减 .33当 a0 时，f x 在 , a ,0, 单调递增，在 a ,0单调递减 .3（ 2）由（ 1）中结论可知，当a0 时，3f x 在 0,1 单调递增

17、，此时 f xminf 0b1, f x maxf 12ab1， a0,b1，满意题意 .当 a0 时，如 a31 ，即 a3 ，就f x在 0,1 单调递减，此时 f xmina1f 12ab1, f xmaxf 0b1， a4,baa1 ，满意题意 .如，即 0a3 ，就 f x在 0, 单调递减，在,1单调递增 .3aa333a 2a3此 时 f xminf 2a bb1327927 f 0b, f 1b 2a当 0a 2 时，f xmaxf 1b 2a1，由可得 a33, b331 ，与 0a 2 冲突，故不成立.当 2a3 时，f xmaxf 0b 1，由可得 a3 3 2, b1，

18、与 2a3 冲突，故不成立.综上可知，a0,b1 或 a4,b1 满意题意 .（ 2021 北京理） 6. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满意mm5 lg e1，其中星等为m212e2k 的星的亮度为ek（ k=1,2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，就太阳与天狼星的亮度的比值为a. 1010.1b. 10.1c. lg10.1d. 10 10.1【答案】 d【解析】【分析】先求出lg e1 e2，然后将对数式换为指数式求e1 ，再 求 e1 .e2e2【详解】两颗星的星等与亮度满意m2m15 lg e1,2e2令 m21.45 ， m

19、126.7 ，1g e1e22m2m152 1.4526.710.1 ，5e11010.1e2e2e110 10.1 ，应选 d.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理才能、阅读懂得才能以及指数对数运算.（ 2021 北京理） 8.数学中有很多外形美丽、寓意美好的曲线，曲线 c： x2y21| x | y 就是其中之一 （如图） .给出以下三个结论：曲线 c 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 c 上任意一点到原点的距离都不超过2 ；曲线 c 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，全部正确结论的序号是a. b. c. d. 【答案】 c【解析】【分析】将所给方程进行等价

20、变形确定x 的范畴可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范畴，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范畴.222详解】由x2y21x y 得, y 2x y1x2 ,y| x |13x,13 x厔0, x24 ,所以 x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线c : x244322y1x y 恰好经过 0,1,0,-1,1,0,1,1,-1,0,-1,1六个整点 , 结论正确 .由 x2y21x y 得, x22x2y21, 解得 xy22 , 所以曲线 c 上任意一点到原点的距离都不超过y ,22 .结论正确 .如下列图 , 易知a0,1 , b1,0,c1

21、,1, , d0,1,四边形 abcd 的面积sabcd111113, 很明显“心形”区域的面积大于2s, 即“心形”区域的abcd面积大于3, 说法错误 .222【应选 c.【点睛】 此题考查曲线与方程.曲线的几何性质，基本不等式及其应用, 属于难题 , 留意基础学问.基本运算才能及分析问题解决问题的才能考查, 渗透“美育思想”.（ 2021 北京理） 13.设函数 f（ x）=ex+ae- x （ a 为常数）如 f（ x）为奇函数，就a= ；如 f（ x）是 r 上的增函数，就a 的取值范畴是 【答案】1. -1;2.,0.【解析】【分析】x第一由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可

22、得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范畴 .【详解】如函数fxexae为奇函数 , 就xfxfx , exxaeexae，xa1exe x0 对任意的x 恒成立 .如函数fxexae是 r 上的增函数 , 就 f 'xexae x0 恒成立 ,ae2 x , a0 .即实数 a 的取值范畴是,0【点睛】此题考查函数的奇偶性.单调性 .利用单调性确定参数的范畴. 解答过程中 , 需利用转化与化归思想, 转化成恒成立问题. 留意重点学问 .基础学问 .基本运算才能的考查.（ 2021 北京理） 19.已知函数f x1 x3x2x .4（）求曲线yf x 的斜率为1 的切线方程；

23、（）当x2, 4 时，求证：x6f xx ；（）设f x|f xxa | ar ，记f x 在区间 2,4 上的最大值为m （ a），当 m （ a）最小时，求a 的值【答案】（） xy0 和 27x27 y640 .（）见解析；（） a3.【解析】【分析】 第一求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； 由题意分别证得fxx60 和fxx0 即可证得题中的结论； 由题意结合 中的结论分类争论即可求得a 的值 .【详解】（）f x3 x242 x1，令f x3 x242 x11 得 x0 或者x 8 .3当 x0 时，8f 00，此时切线方程为yx ，即 x

24、y0 ；8864当 x时，3f 327，此时切线方程为y x，即 27x2727 y640 ；综上可得所求切线方程为xy0 和 27 x27 y640 .（）设g xf xx1 x34x2 ， g x3 x242x ，令g x3 x22 x40 得 x0 或者 x8，所以3当 x2,0 时，g x0 ， g x为增函数；当8g x0g x8g x0 ，g x 为增函数；x0, 时，3，为减函数；当x, 4 时，3而 g0g40 ，所以g x0 ，即f xx ；同理令h xf xx61 x3x246 ，可求其最小值为h20 ，所以hx0 ，即f xx6 ，综上可得 x6f xx .（）由（）知6

25、f xx0 ，所以 m a 是a , a6 中的较大者，如 aa6 ，即 a 3 时，m aaa3 ；如 aa6 ，即 a3 时，m aa6a63 ；所以当m a最小时，m a3 ，此时 3.【点睛】 此题主要考查利用导函数争论函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类争论的数学思想等学问，意在考查同学的转化才能和运算求解才能.（ 2021 天津理） 6. 已知 alog5 2 ， blog0.5 0.2 ， c0.50.2 ，就a, b,c 的大小关系为（）a.acbb. abcc.bcad.cab【答案】 a【解析】【分析】1利用 0,1 等中间值区分各个数值的大小；2【详解】 a1

26、log 5 2log 55，2blog0.5 0.2log 0.5 0.252 ，0.510.50.20.50 ，故 12c1，所以 acb ；应选 a；【点睛】此题考查大小比较问题，关键挑选中间量和函数的单调性进行比较；（ 2021 天津理） 7. 已知函数f xasinx a0,0,|是奇函数，将yfx 的图像上全部点的横坐标伸长到原先的2 倍（纵坐标不变） ，所得图像对应的函数为gx . 如 gx的最小正周期为2，且g2 ，就4f3（）8a.2b.2c.2d.2【答案】 c【解析】【分析】只需依据函数性质逐步得出a,值即可；【详解】由于f x 为奇函数，f 0a sin0，=k,k0,0

27、 ；g x又asin 12x,t22,122， a2 ，又g 243 f x2sin 2x ，f 2.8应选 c；【点睛】此题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数gx ；（ 2021 天津理）8.已知 ar ，设函数f xx22axxa ln x,2a,x, 1,x1,如关于 x 的不等式f x0 在 r 上恒成立，就 a 的取值范畴为（）a.0,1b.0,2c.0,ed.1, e【答案】 c【解析】【分析】先判定 a0 时， x22ax2a0 在 ,1 上恒成立； 如xa ln x0 在 1, 上恒成立， 转化为 ax在ln x1, 上恒成立；【详解】f 00 ，即 a0 ，（

28、 1）当 0a1 时，f xx22ax2a xa22aa22aa 2a2a0 ，当 a1 时， f 110 ，故当 a0 时，x22ax2a0 在 ,1 上恒成立；如 xa ln x01, 上恒成立，即axln x在 1, 上恒成立，令 g xx，就 g ' xln x1，ln xln x2当 xe, 函数单增，当0xe, 函数单减，故 g x maxg ee ，所以 ae；当 a0 时，x22ax2a0 在 ,1 上恒成立；综上可知，a 的取值范畴是0, e ，应选 c；【点睛】此题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法争论函数的单调性，进行综合分析；（ 2021 天津理） 20

29、.设函数f xex cos x,g x 为 fx 的导函数 .（）求fx 的单调区间；（）当x,时，证明42f xg xx0 ； 2（）设xn 为函数u xf x1 在区间2 m, 2m4内的零点，其中nn ，证明22nxne 2n.2sin x0cosx0【 答 案 】（ ） 单 调 递 增 区 间 为2 k3, 2kkz ,f x的 单 调 递 减 区 间 为442 k, 2k5kz . （）见证明； （）见证明44【解析】【分析】 由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数fx的单调区间； 构造函数hxfxgxx，结合 结果和导函数的符号求解函数h x的最小值即可证得2题中

30、的结论； 令 ynxn2n，结合 ， 的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】 由已知，有f 'x5excosxsin x .当 x2 k,2 kkz时，有 sin x 44cos x ，得f ' x0 ，就 fx 单调递减 ;当 x2 k3, 2kkz时，有 sin xcos x ，得f 'x0 ，就 fx 单调递增 .44所以，fx的单调递增区间为2k3, 2kkz，44fx 的单调递减区间为2k, 2k5kz.44 记hxfxgxx. 依题意及 有：2gxexcos xsin x ，的从而 g 'x2ex sin x . 当

31、x,时， g 'x420 ，故h ' xf 'xg ' x2xg x1g xx0 .2因此， h x在区间,上单调递减，进而42h xh2f0 .2所以，当x,时，42f xg xx0 .2 依题意，uxnfxn10，即 exncos xn1 .记 ynxn2n，就 yn,.42且 fyeyncos yexn 2 ncos x2ne 2nnn.nnn由 fye 2 n , 1fy及 得 yy .n0n0由 知，当x,时 ， g ' x420 ，所以 gx 在,上为减函数，42因此 gyn,gy0g0 .4又由 知f yng ynyn20 ，故：fye 2

32、ne 2ne 2ne 2ny ,n,.n2gygygye y0sin ycos ysin xcos xnne 2n所以 2nxn00000.2sin x0cosx0【点睛】此题主要考查导数的运算.不等式证明 .运用导数争论函数的性质等基础学问和方法. 考查函数思想和化归与转化思想. 考查抽象概括才能.综合分析问题和解决问题的才能.2（ 4 分）运算lim 2n3n1222nn4n122n3n12312nn【解答】 解：lim2lim2 1nn4n1n412nn故答案为： 2（ 2021 上海） 4（ 4 分）函数f xx2 x0 的反函数为1f xx x0【解答】 解：由yx2 x0 解得xy

33、 ，1fx x x0（ 2021 上海） 6（ 4 分）已知2x2 y1 ，当方程有无穷多解时，a 的值为24xa2 ya【解答】 解：由题意，可知：q 方程有无穷多解，可对2 ，得： 4x4 y2 再与式比较，可得：a2 故答案为：2 故答案为f1 xx x0（ 2021 上海） 10（5 分）如图，已知正方形oabc ，其中oaaa1，函数 y3x2 交bc 于点p ，函数1yx 2交 ab 于点q ，当| aq |cp | 最小时，就a 的值为3【解答】 解：由题意得：p 点坐标为 a ， a ，3q 点坐标为 a,1 ， a| aq | cp |a 3121，a3当且仅当a3 时，取最

34、小值，故答案为：3 （ 2021 上海） 12（ 5 分）已知集合a t ， t1u t4 ， t9 ，0a ，存在正数，使得对任意aa ，都有a ，就at 的值是1 或3【解答】 解：当 t0 时，当a t ， t1 时，就t a4 ， t9 ，当 a t4 ， t9 时，就at ， t1 ，即当 at 时，, ta9 ；当 at9时，at ，即t t9 ；当 at1 时，t a4 ，当 at4 时，, t a1，即t1t4 ，t t9t1t4 ，解得 t1当 t10t4 时，当 at ， t1 时，就at ， t1 当 a t4 ， t9 ，就at4 ， t9 ，即当 at 时，, ta1，当 at1 时，at ，即t t1 ，即当 at4 时，, t a9 ，当 at9 时，t a4 ，即t4t9 ，t t1) t4t9 ，解得 t3当 t90 时，同理可得无解综上，t 的值为 1 或3 故答案为： 1 或3 （ 2021 上海） 13（ 5 分）以下函数中，值域为0 ， 的是 a y2x1b yx 2c ytan xd ycosx【解答】 解： a ， y2x 的值域为0, ，故 a 错b ， yx 的定义域为0 ， ，值域也是0 ， ，故b 正确c ， ytanx 的