(完整版)1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1、2.求求(1 + x + x2)(1x)10展开式中含展开式中含 x 项的系数项的系数3.3.求求(1+(1+x)+(1+)+(1+x) )2 2+(1+(1+x) )1010展开式中展开式中x3 3的系数的系数4. 9192除以除以100的余数是的余数是.5.若若( x + 1 )n = x n + ax3 + bx2 +1(nn*)， 且且 a : b=3 : 1 ，那么，那么 n =_ （95上海高考）上海高考） 4. 9192除以除以100的余数是的余数是929209219191929292929291(90 1)909090cccc 分析：由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项

2、外均能被100整除整除9192929290828182 10081cc 所以所以 9192除以除以100的余数是的余数是8132323 13 111.: .nnnnacbca bccn解解：由由题题意意，知知：，又又 ， 解解得得5.若若( x + 1 )n = x n + ax3 + bx2 +1(nn*)， 且且 a : b=3 : 1 ，那么，那么 n =_ （95上海高考）上海高考） 注注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特点，点，进行添项或减项，凑成能整除的结构进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此，这是解此类问题的最常用技巧

3、类问题的最常用技巧.(余数要为正整数余数要为正整数)1.3.2 “1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质一般地，对于一般地，对于n n*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabc ac abc abc abc b 二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特为特殊值时，二项式系数有什么特点？点？计算计算(a+b)n展开式的二项式系

4、数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？ 3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是每行两端都是1 cn0= cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两

5、个数的和于它肩上的两个数的和 cn+1m= cnm + cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnc,c,c,c210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnc)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相

6、等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn cc图象的对称轴：图象的对称轴：2nr 2、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，知识对接测查知识对接测查11、在、在(ab)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是( )a 第项第项 b 第项第项 c 第项第项 d 第项第项则则n=_b8增减性与最大值增减性与最大值 112111()()()cc()!kknnn nnnknkkkk 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的

7、增减情况由 决定决定knc1cknkkn1由由：2111nkkkn 即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。21nk 可知，当可知，当 时，时， 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式2cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12cnn 12cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 1.在在(1+x)10

8、的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ； 在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 .510c611c511c3.在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中,求系数最小的项求系数最小的项的系数。的系数。4 46 62 2c c5 51 11 1最大的系数呢？最大的系数呢？知识对接测查知识对接测查22.指出（指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数系数最大，并求出其最大的二项式系数最大最大。解解: 第第8、9项的二项式系数项的二项式系数815715cc 与即即6435最大。

9、最大。611462c 418 444454 118313060ttcxxx 变式变式:若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？43110,nxx 4.4.已已知知的的展展开开式式中中只只有有第第项项系系数数最最大大求求第第五五项项为偶数依题意 n,110182,.nn 且且解各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2cccc210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1c0n12cccc32

10、1nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 例例 证明在证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnccccc) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbcbacbacacba 110)()()(03120 nnnncccc证明：证明：1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nc cc cc cc c121010101013579111111111111111._;_ .ccccccccc

11、1021024 1021 1023 知识对接测查知识对接测查3 2.求证：求证：01212312 2nnnnnncccncn证明：证明：0122231nnnnncccnc01201123112nnnnnnnnnnncccncncnccc0122()nnnnnncccc22nn012123112nnnnnncccncn倒序相加法倒序相加法(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值。最值。 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性小结小结(1)(1)今天是星期五，那么今

12、天是星期五，那么7天后天后 的这一天是星期几呢的这一天是星期几呢? ?(2)(2)如果是如果是15天后的这一天呢？天后的这一天呢？(3)(3)如果是如果是24天后的这一天呢？天后的这一天呢？1008(4)(4)如果是如果是 天后的这一天呢？天后的这一天呢？ 1 10 00 01 10 00 01 1）（7 78 8r r1 10 00 0r r1 10 00 09 99 91 11 10 00 01 10 00 00 01 10 00 07 7c c7 7c c7 7c c1 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 0c c7 7c c 余数是余数是1 1， 所以是所

13、以是星期六星期六）（9 99 91 10 00 09 99 90 01 10 00 0c c7 7c c71 11008(4)(4)今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后天后的这一天是星期几？的这一天是星期几？变式变式: :若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？ 1008变式变式: :若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？ 10081 10 00 01 10 00 01 1）（9 98 8r）（ 1r r1 10 00 0r r1 10 00 09 99 91 11 10 00 01 10 00 00 01 10 00 09 9c

14、 c9 9c c9 9c c0 01 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 09 9c c9 9c c 所以余数是所以余数是1 1，若将若将 除以除以9 9，则得，则得到的余数还是到的余数还是1 1吗？吗？ 10188思考思考. .求求 除以除以100100的余数的余数. . 9291注注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特点，点，进行添项或减项，凑成能整除的结构进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此，这是解此类问题的最常用技巧类问题的最常用技巧.(余数要为正整数余数要为正整数)6、已知、已知a,bn，m,n z ，且，且2m + n = 0，如果二，如果二项式项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求常数项，求 a : b 的取值范围。的取值范