(完整版)02.2平面的投影及相对位置

1、第2章 点、直线和平面的投影（2） 2.1 投影的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置2.4 平面的投影 2.4.1平面的表示法 2.4.2平面的投影特性 2.4.3平面上的直线和点 2.4.4圆及椭圆平面的投影p abc2.4.1平面的表示方法1、几何元素表示法 直线及线外一点直线及线外一点 两平行直线两平行直线 两相交直线两相交直线 平面图形平面图形 不共线的三点不共线的三点p abcp abcdp abcp abcxoabcabcxoabcabcxoabcabcddxoabcabcxoabcabcv xzy2、迹线表

2、示法迹线：平面与投影面的交线。迹线：平面与投影面的交线。ppvphpwpxpypz规定：规定：v、h、w 各面迹线分别用各面迹线分别用pv、ph、pw 表示。表示。 xzyhyw opvpzpxphpyhpywpwo 2.4.2平面的投影特性1、平面对一个投影面的投影特性 平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平行平行垂直垂直倾斜倾斜平面平面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投

3、影面平行面2、平面在三投影面体系中的投影、 中只有一个为90、 中有两个为90，另一个为0、 都不为90平面的分类（1） 投影面垂直面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面分为三种： 铅垂面（于h 面，于v 面和w 面）， = 90 正垂面（于v 面，于h 面和w 面）， = 90 侧垂面（于w 面，于h 面和v 面）， = 90 v xzy铅垂面积聚性积聚性类似性类似性类似性类似性c”b”a”cbacbayw zyhxbacbacbac” a”投影特点：h 投影积聚为-倾斜线；反映和v 投影和 w 投影为类似形。空间分析：ocb”o铅垂面的迹线表示v v x

4、zyyw zyhxpvphpwphpwpvpoov xzy 正垂面a”b”c”d ”abcdyw zyhx积聚性积聚性类似形类似形类似形类似形ov 投影积聚为-倾斜线；反映和；h 投影和w 投影为类似形。投影特点：空间分析：abcdoc ( (b ) )d ( (a ) )v xzy 正垂面迹线表示rhrwrvrvrhrwyw zyhxrooy v xz侧垂面w 投影积聚为-倾斜线；反映和 ；h 投影和 v 投影为类似形。yw zyhx积聚性积聚性类似形类似形类似形类似形投影特点：空间分析：ooy v xz侧垂面的迹线表示yw zyhxqwqvqvqhqwooqhq30aaxoaaxo30 两

5、相交直线决定平面 迹线表示平面bcbcrvrhdd例1：包含a（a，a）作 = 30的正垂面。ababxocc例2：包含ab（ab，ab ）作铅垂面。123451“2“4“ 3“5“ 6“165243侧垂面侧垂面注意：注意： v、h 投影的投影的“类似性类似性”。投影分析：xozyhyw6例3：完成侧垂面的水平投影。（2） 投影面平行面平行于某一投影面的平面称为投影面平行面。投影面平行面分为三种： 水平面（于h 面，于v 、w 面） = = 90， = 0 正平面（于v 面，于h 、w 面） = = 90， = 0 侧平面（于w 面，于h 、v 面） = = 90， = 0v xzyo水平面c

6、ababca”b”c”abc投影特点：h 投影反映实形；v 投影和 w 投影积聚为直线；积聚投影垂直于oz 轴。yw yhxzabcabca”b”c”实形实形ov xzyo水平面的迹线表示qwqvyw yhxzqvqwcabov xzyo正平面投影特点：v 投影反映实形；h 投影和 w 投影积聚为直线；积聚投影都垂直于oy 轴。yw yhxz实形实形ov xzyo正平面的迹线表示pphpwyw yhxzphpwov xzy o侧平面投影特点：w 投影反映实形；h 投影和 v 投影积聚为直线；积聚投影垂直于ox 轴。xzyhyw实形实形ov xzyo侧平面的迹线表示rhrvxzyhyw rvrh

7、roaaxo 正平面的水平投影为一条ox 轴的直线。bcbc例1：包含点a（a，a）作正平面。bbxoccpv 例2：含水平线bc（bc，bc）作平面p 平行于h 面。（3）一般位置平面倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。v xzy 三个投影均是类似形，且面积小于实形面积； 不反映平面对投影面的倾角。投影特点：xzyhywbcbabcacbabcaacb acbbacoo 如何求出实形面积？ 如何求平面对投影面的倾角？一般位置平面的迹线表示v xzy ppvphpwpxpypz xzyhyw opvpzpxphpyhpywpw2.4.3平面上的直线和点 1、平面上取任意直线 2、平面内的

8、投影面平行线 3、平面内对投影面的最大斜度线 4、平面上取点p1、平面上取任意直线（1）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必在该平面上；（2）若一直线通过平面上的一点，且平行该平面上另一条直线，则此直线必在该平面上。平行平行mn如何判断一直线是否在已知平面内？例1：在平面abc 内作一任意直线。122abcxoabc1无数解无数解! !例2：判断直线 是否在 abc 平面内。122abcxobac1否否34432、平面内的投影面平行线平面内平行于某一投影面的直线，称为平面内的投影面平行线。在一般位置平面内可取三类投影面平行线：vwhzyoxppwphpvcd正平线正平线ab水平线水平线ef侧

9、平线侧平线平面上的水平线（ h ）平面上的正平线（ v ）平面上的侧平线（ w ）v xzyo投影特性从属性(属于平面)； 投影面平行线的投影特性。deededa cc baabcde=dedeoxdea b c ca boxde取平面内的水平线取平面内的水平线dedeox 轴轴beff15bbaaxdccode例1：在平面(ab cd )内作直线ef v 面，使距离v面为15 。a b cabd dxoc （1）过 a 做平面 abc 内的水平线例2：过a、b、c分别作平面abc内的水平线、正平线和侧平线。a b cabe exoc （2）过 b 做平面 abc 内的正平线a b cabf

10、fxoc （3）过 c 做平面 abc 内的侧平线3、平面内对投影面的最大斜度线平面内对投影面倾角最大的直线，称为对该投影面的最大斜度线。aamphp11 am 为平面为平面p 上对上对h面的面的最大斜度线。最大斜度线。 h 面最大斜度线对面最大斜度线对h 面的面的倾角倾角反映平面对反映平面对h 投影面投影面的倾角。的倾角。对h 面的最大斜度线垂直该平面的水平线。mphaacb1cbam phcphc am证明： c为平面内的水平线p最大斜度线的性质：对h 面的最大斜度线 垂直平面内的水平线； 反映平面对h 面的倾角； 其h 投影与水平线的h 投影垂直。对v 面的最大斜度线 垂直平面内的正平线

11、； 反映平面对v 面的倾角； 其v 投影与正平线的v 投影垂直。对w 面的最大斜度线 ?平面内对某一投影面的最大斜度线垂直于该平面内对相同投影面平行的直线。xo投影作图：投影作图：1.1.取水平线取水平线c；2.2.取最大斜度线取最大斜度线a； 最大斜度线的水平投影与最大斜度线的水平投影与水平线的水平投影垂直。水平线的水平投影垂直。acbacb1122c1 a2作图分析：作图分析：a线为所求。线为所求。例1：取平面abc 内对h 面的最大斜度线。a b c caboxy2-ya2211a2a2a作图步骤：作图步骤：1.1.取正平线取正平线b；2.2.取对取对v面最大斜度线面最大斜度线a；3.3

12、.用直角三角形法求用直角三角形法求 （a a与与a2 的夹角）。的夹角）。作图分析：作图分析：v 面的最大斜度线对面的最大斜度线对v v面的倾面的倾角反映该平面对角反映该平面对v v面的倾角。面的倾角。取对取对v 面的最大斜度线面的最大斜度线例2：求abc 对v 面的倾角。p4、平面上取点在已知平面内取点，必须先找出过此点而又在平面内的一条直线，然后再在直线上确定点的位置。在平面内定点时，一般要通过包含点在平面内取辅助线求解。所以平面上取点的问题首先还是平面上取线的问题。作图分析：作图分析： 在平面内取一条过在平面内取一条过k 点点的直线，如的直线，如ai i 。使。使k 在在a 1上，则上，

13、则k 在平面内。在平面内。ka b c cadoxd bk11作图：作图：例1：已知点k 在平面abcd 内，据k 求k。平面的水平投影积聚；平面的水平投影积聚；ccbbaao xkk使使k 落在投影落在投影abc上即可。上即可。作图分析：作图分析：作图：作图：例2：已知点k 在平面abc 内，据k 求k 。作图分析：作图分析：平面平面四边形四边形abcd 的的对角线必相交。对角线必相交。kcxa b c adod bk作图：作图：例3：完成平面四边形abcd 的水平投影。分析：分析：cxa c adod b bkk11作图：作图： kd 与平面内的线不平与平面内的线不平行或相交。行或相交。点

14、点k 不在平面内不在平面内 k 与平面内任一点连线与平面内任一点连线, ,若若k 在平面内则该连线应与在平面内则该连线应与平面内的线平行或相交。平面内的线平行或相交。例4：试判断k点是否在平面内。作图：作图：投影分析：投影分析： 带切口的三角形带切口的三角形 一般位置平面一般位置平面 有关线段平行有关线段平行2 b413cxa c a ob zyhyw142a”c”b”4”1”3”2”3例5：完成平面多边形的水平投影，并求侧面投影。2.4.4圆及椭圆平面的投影2、圆或椭圆的中心投射后仍为中心，中心等分所有直径。1、圆的投影一般为椭圆，特殊情况投影为圆。0abdccbda3、圆或椭圆的一对共轭直

15、径，投射后仍为共轭直径。4、对于某一投影面来说，圆上只有一对相互垂直的共轭直径长、短轴。圆上这对相互垂直的直径，一为该投影面的平行线，一为对该投影面的最大斜度线。投影面平行线 最大斜度线共扼直径共扼直径长、短轴长轴和短轴正垂直径ab正平直径de例1：正垂圆的投影 投影椭圆的长、短轴是圆内一对相互垂直的直径的投影。长轴: 正垂直径ab的投影 ab = ab；短轴: 正平直径de的投影 de = decos o oo”o”ooa(b)a(b)d dcc d d a”a”b”b” d”d”c” ”b ba a 正垂圆的投影作图长轴：铅垂直径cd的投影 cd = cd 短轴：水平直径ab的投影 ab

16、= abcos铅垂直径cd水平直径ab例2：铅垂圆的投影o oooc(d)c(d) b ba aa ab bc cd d oo”c”c”d”d” b”b”a”a” 铅垂圆的投影作图指定椭圆的轴端点或 圆弧(a) / 中心点(c) :指定椭圆的轴端点或 圆弧(a) / 中心点(c) / 等轴测圆(i) :指定轴的另一个端点: 指定另一条半轴长度或 旋转(r):根据两个端点定义椭圆的第一条轴。第一条轴的角度确定了整个椭圆的角度。第一条轴既可定义椭圆的长轴也可定义短轴。 5、autocad中的椭圆和椭圆弧绘制：ellipse6、椭圆的投影一般为椭圆，在一定条件下投影为圆。 空间椭圆的长、短轴在投射后

17、一般仍为投影椭圆的一对共轭直径，特殊情况下可能为投影椭圆的长、短轴（即一轴为投影面的平行线，另一轴为对该投影面的最大斜度线的情况）。椭圆椭圆的短轴与圆柱直径相等rv2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置 2.5.1 平行问题 1、直线和平面平行 2、平面与平面平行 2.5.2 相交问题 1、直线和平面相交 2、平面和平面相交 2.5.3 垂直问题 1、直线与平面垂直 2、平面与平面垂直p2.5.1 平行问题：1、直线和平面平行（1）若平面外一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与平面必相互平行。ab反之，若一直线与平面平行，则平面内一定有直线与该直线平行。lobbxappa（2）若一直线与某

18、一投影面垂直面平行，则该垂直面具有积聚性的那个投影必与直线的相应投影平行。反之亦然。 只要判断能否在平面内找到一条与ab 直线平行的直线即可，有则平行，否则不平行。1.在平面内取直线d ， 使 1d ab ；abab11作图：2.连接1d ； 1d 与 ab 不平行， 平面 与直线 ab 不平行。分析：xo 2323dd例1：判断直线 ab 与平面 是否平行。n nm mabcda b c d xo例2：已知abc和m点，作过m点的水平线 mn / abc。例3：过点m作直线mn平行于v面和abc。解：正平线abcmmabcabc 为正垂面，故直线 mn 的正面投影mn 必定平行于 abc。又

19、 mn 为正平线，故 mn 平行于 ox 轴。nn有唯一解2.5.1 平行问题：2、平面与平面平行（1）若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两相交直线，则这两个平面相互。prl1l2l3l4（2）若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。pqxqqppp qp q0例1：含点a1 作平面平行定平面（a2 b2 a2 c2 ）。b1c1xoa2b2c2a2b2c2a1a1c1b1只要含点a1 作相交直线分别与a2b2 和a2c2 平行即可。1.作a1b1 a2 b2 ； a1b1 a 2 b 2 ；作图： 则平面(a1b1a1c1)与平面( a2b2a2c2 )平

20、行。分析：2.作a1c1 a2 c2 ； a1c1 a2 c2 ；xocbaabcdgffedemnnmg例2：判断abc和平面defg是否平行。例3：已知定平面由平行两直线ab和cd给定。试过点k作一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kxo2.5.2 相交问题： 1、直线和平面相交（1）一般位置直线和特殊位置平面相交（2）投影面垂直线和一般位置平面相交（3）一般位置直线和一般位置平面相交pabk交交 点点 直线和平面的共有点p（1）一般位置直线和特殊位置平面相交 若平面处于特殊位置，其某一投影具有积聚性，则直线与平面的交点可利用直线与平面的

21、积聚性投影相交而直接求得。khabkabkkhdbacabcdmnm(n)（2）投影面垂直线和一般位置平面相交 直线与平面相交，当直线的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用面上取点的方法求出。 例1：求直线ab 与平面cde 的交点。ocbacbaxdeedkkbaecd 分析：分析：kk 作图：作图： 从属性从属性 例1：求直线ab 与平面cde 的交点。ocbacbaxdeedkk可见性判别：可见性判别：方法方法1： 利用重影点利用重影点2112( )kb 可见，画粗实线；可见，画粗实线；k1 不可见，画细虚线。不可见，画细虚线。2 2在前在前baecdkk 例1：求直线ab 与

22、平面cde 的交点。ocbacbaxdeedkk可见性判别：可见性判别：方法方法2：根据空间位置关系：根据空间位置关系前，可见前，可见界界v 投影投影投射方向投射方向baecdkk后，不可见后，不可见p 例2：求直线ab 与平面p (迹线面)的交点。kkophbabaxpvpxabk分析：分析： 平面平面p 为正垂面，交点的为正垂面，交点的v 投影已知；根据点在线上的投影已知；根据点在线上的从属性，可求得交点的从属性，可求得交点的h 投影。投影。 例2：求直线ab 与平面p (迹线面)的交点。kkophbabaxpvpxpabk上，可见上，可见h 投影投影投射方向投射方向可见性判别：可见性判别

23、：h 投影需判别可见性，投影需判别可见性， p pv 为界。为界。界界下，不可见。下，不可见。m(n)bacdm a b c n d kk 121 2 ( )ee 可见性判别重影点判别法xo例3：铅垂线mn与平面abcd相交，求作交点k。（3）一般位置直线和一般位置平面相交例1：求直线de 与平面abc 的交点。辅助平面法cbacbaxodede分析分析ka cbpe(d )ka cbpe(d )例1：求直线de 与abc 平面的交点。已知平面已知平面辅助平面法作图过程：辅助平面法作图过程：1.1.包含直线作辅助平面；通常包含直线作辅助平面；通常作投影面的垂直面作投影面的垂直面2.2.求辅助平

24、面与已知平面的交求辅助平面与已知平面的交线；线；3.3.求交线与已知直线的交点。求交线与已知直线的交点。已知直线已知直线辅助平面辅助平面交线交线辅助平面法辅助平面法例1：求直线de 与平面abc 的交点。cbacbaxopv1 2( ) 123 4( ( ) ) 43kk作图过程：作图过程：1.1.包含直线包含直线de 作正垂面作正垂面p ( (或铅垂面）；或铅垂面）；2.2.求求p 平面与平面与abc 平面的平面的交线，并确定交点交线，并确定交点k ；3.3.利用重影点判别可见性。利用重影点判别可见性。（1 1）直线）直线v 投影的可见性投影的可见性（2 2）直线）直线h 投影的可见性投影的

25、可见性d edeka cbpe(d )例2：包含点a 作直线ab 使与两交叉直线、 相交。pvkk4a21axo12433a a分析：分析：将点将点a 与直线与直线 构构成平面，求直线成平面，求直线 该平该平面的交点面的交点k ，连线，连线ak 必与必与直线直线相交，交点为相交，交点为b 。kb投影作图投影作图bbabcmn交交 线线 两平面的共有线（求出两个共有点，然后连线）p2.5.2 相交问题：2、平面和平面相交（1）两个特殊位置平面相交（2）一般位置平面与特殊位置平面相交（3）两一般位置平面相交（1） 两个特殊位置平面相交两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于该投影面。交线可

26、利用平面的积聚性投影求得。oxpp qq klk l 例：铅垂面p和q相交，求作交线kl，并判别可见性。（2） 一般位置平面与特殊位置平面相交 一般位置平面与特殊位置平面相交的交线可利用特殊位置平面的积聚性投影求得。babphaccmnmnbacefd 例1：求两平面abc 与def 的交线。ocbacbaxdfeefd 分析：分析： def 为铅垂面，交线的为铅垂面，交线的h 投影已知；根据从属性，求交投影已知；根据从属性，求交线的线的v 投影。投影。abckllkklkl 例1：求abc 与def 两平面的交线。ocbacbaxdfeefd 判别可见性：判别可见性： 根据空间位置关系判别。

27、根据空间位置关系判别。前，可见前，可见后，不可见后，不可见界界kl ll lkv 面面投影投影投射方向投射方向bacefdabcklkl l例2：求两平面efg 和abcd 的交线。kocbacbaxddefggef 分析：分析： efg 为水平面为水平面; ;kl ll l 交线的交线的v 投影已知；根据从投影已知；根据从属性，求交线的属性，求交线的h 投影。投影。kl 例2：求两平面efg 和abcd 的交线。ocbacbaxddefggef 判别可见性：判别可见性： 根据空间位置关系判别。根据空间位置关系判别。上上,可见可见下下,不可见。不可见。h 投影投投影投射方向射方向kl l界界k

28、l lklq 例3：求平面q 与平面abc 的交线。kl locbacbaxqvkl l 分析：分析： q 面为正垂面面为正垂面; ; 交线的交线的v 投影已知；根据投影已知；根据从属性，求交线的从属性，求交线的h 投影。投影。klbacqh 例3：求q 平面与平面abc 的交线。kl locbacbaxqvk 判别可见性：判别可见性： 根据空间位置关系判别。根据空间位置关系判别。上上,可见可见下下,不可见。不可见。界界h 投影投投影投射方向射方向l lqklbac 例4：求矩形平面与共边两平面sab、sac 的交线。 分析：分析： 矩形平面为水平面矩形平面为水平面; ;cbacbabacss

29、s 其与其与sab、sac 的交的交线是两水条平线线是两水条平线; ;交线交线v 投影已知；求投影已知；求h 投影。投影。 作图：作图： 判别可见性：判别可见性：xo （3）两一般位置平面相交 求交线的方法： 线面相交法 三面共点法例1：求两平面abc 和def 的交线。pvkqvlkl线面相交法线面相交法分析分析: 两次两次运用直线与运用直线与平面相交的方法平面相交的方法, ,求求两两交点交点连线即可。连线即可。投影作图投影作图:xoebacbacfdefd例1：求两平面abc 和def 的交线。kkpvqvxoebacbacfdefdll判别可见性判别可见性: :v 投影的可见性投影的可见

30、性h 投影的可见性投影的可见性例2：求abc 和平面(l1 l2 )的交线。三面共点法三面共点法xobacbacl1l2l1l2原理分析原理分析:k1k2s1s2pq投影作图投影作图:k1k2k1k2交线交线sv1sv2例3：过k点作直线平行于已知平面abc，并与直线ef相交 。ac ba cb f e efk kxo分析：fpcabekh过已知点k作平面p平行于abc；直线ef与平面p交于h；连接kh，kh即为所求。作图步骤：mnhhnmffacbacbeekkpv11221、过点k作平面kmn/ abc平面。2、过直线ef作正垂平面p。3、求平面p与平面kmn的交线。4、求交线 与ef的交点h。5、连接kh，kh即为所求。2.5.3 垂直问题：1、直线和平面垂直定理：如果一条直线和一平面内的两条相交直线垂直，则直线与该平面垂直。abdcl直线和平面垂直的条件直线和平面垂直的条件直线垂直平面的投影分析：直线的正面投影垂直平面内正平线的正面投影。直线的水平投影垂直平面内水平线的水平投影；abcabcacbde dede121取正平线取正平线ae 取水平线取水平线bd bd12 。ae12。 bdox ; ; aeox ; ;xov直线的侧面投影垂直平面内侧平线的侧面投影。直线垂直平面的投影作图：ab1cbdc212ee dabcabcacb