直线和椭圆圆锥曲线常考的题目型

1、实用标准文案直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、 两条直线h : y二 bj2 ： y二k?x - b2垂直：则k*2二-1 ；两条直线垂直，则直线所在的向量 vv 02bc2、 韦达定理：若一元二次方程ax bx c = 0(a = 0)有两个不同的根x2，则为 x2公必2 =aa3、 中点坐标公式：空$二上 y2，其中x, y是点A(N，yJ, B(x2, y2)的中点坐标。2 24、 弦长公式：若点 人(为，)，B(x2,y2)在直线y二kx b(kO)上，则 b, y2 =kx2 - b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，: 2 2AB = & 卞)2 (% -莎

2、 =.(x -x2)2 (kx -kx2)2 = (1 k2)(Xi= (V k )( x! x2)4xix2 或者 A曲©旳2论-%)2=裱卡)2论-y)2计(ig)D2 =(1+右)(% F2-4y2。题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系2 2例题1、已知直线l : kx 1与椭圆C： x Z = 1始终有交点，求 m的取值范围4 m解: 1 < m 且 m = 4。题型二：弦的垂直平分线问题2例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N : y =x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点 E(x),0),使得 ABE是等边三角形，若存在，求出 怡；若不存在，请说明理由

3、。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线 l:y=k(x 1)， k = 0，A(x1, y,)， B(x2, y2)。由打-* 1)消 丫 整理，得 k2x2 (2k2 -1)x k2 =0 y 二x由直线和抛物线交于两点，得 = -(2k2 -1)2 4k4 - Yk2 1 0 即 0 ： k2 ： 4 2k2 1由韦达定理，得：x1 * x2 二 2, x-)x2 = 1。k12k2则线段AB的中点为,2k2-1（寸线段的垂直平分线方程为:21 11 - 2k、y(x )2k k2k211 11令 y=0,得 xo，则 e（市-；,o）2k 22k 2:ABE为正三角形， .E

4、( 12 - 1 ,0)到直线AB的距离d为3 AB2k222 1:AB| 眉 为X2)2(如y2)2k21 k22k2k2.1 k22kj39解得k满足式，13此时Xo题型三：动弦过定点的问题2 2例题3、已知椭圆C：笃y =1（a b 0）的离心率为a b3，且在x轴上的顶点分别为2A1(-2,0),A 2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II ）若直线I : x =t（t 2）与x轴交于点T,点P为直线丨上异于点T的任- 点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的 焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆 C的离心率e=C 3，a=2,则得c.3,b =

5、 1。a 22从而椭圆的方程为y2 = 14（II ）设M（X1,yj， N（X2, y2），直线AM的斜率为则直线AM的方程为y （x，2），由y =匕（x 2）2222 消 y 整理得（1 4k2）x2 16k2x 16好-4 = 0x 4y 4:-2和为是方程的两个根，-2x116k,2 -41 4k1222 -Bk4k12， y121 4k121 4k12即点M的坐标为(2-8k：(1 4k；4k,)，1 4k12)2同理，设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为(陀 2, 4k务)、1+4k； 1+4k；二 ki(t2)必二 k2(t-2)k, -k22k,k2t，-直线MN的方程

6、为： 11 = Zl!X X,x2 _ x,N的坐标代入，化简后得:.令 y=0，得 x 二 X2yi Xiy2，将点 M、U24又；t 2，.02t丁椭圆的焦点为(、.3,0)r-3，即t育4亦故当t 时，MN过椭圆的焦点。32 每=1 (a b 0)上的三点，其中点 A (2.3,0)是椭圆的右顶 b题型四：过已知曲线上定点的弦的问题x2 例题4、已知点A、B、C是椭圆E:二，如图。a点，直线BC过椭圆的中心 0,且"AClBC=0， BC(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线X=：*3对称，求直线PQ的斜率。解：(I)

7、； BC =2 AC，且BC过椭圆的中心 O31ACO2精彩文档又：A (2 .3,0)点 C 的坐标为(、3,、3)。/ A (2.3,0)是椭圆的右顶点，2 2.3=2, 3，则椭圆方程为： -y2 -112 b将点c(、.3,、.3)代入方程，得b2 =4 ,.椭圆E的方程为2 2x_丄124=1(II) 丁直线PC与直线QC关于直线 3对称，.设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k ,从而直线PC的方程为:y -' 3 二 k(x -、3)，即 y = kx 、3(1 - k)，由 y/kx 2 Vk)消 y，整理得：(1 3k2)x2 6.3k(Vk)x 9k2 -18

8、k-3 = 0 x2 3y2 -12 =0x= 3是方程的一个根，同理可得:29k -18k-321 3k2_9k2 -18k -3Xp.3(1 3k2)9k2 +18k -3 ".3(1 3k2):yp 一 ya二kXp 、3(1 -k) kx - .3(1 k) = k(xP xJ -2、.3k =-12k.3(1 3k2)_= 9k2 -18k-3 9k2 +18k3 =-36kx '.3(1 3k2).3(1 3k2).3(1 3k2)yp yQ1=丄则直线PQ的斜率为定值3题型五：面积问题例题5、已知椭圆C:2 2务占=1 (a>b>0)的离心率为a b

9、.63短轴一个端点到右焦点的距离为(I)求椭圆C的方程;(n)设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点 0到直线I的距离为仝，求 AOB面积的最大值。2解：(I)设椭圆的半焦距为2X 2y 1。3Ic6c，依题意a ，- b = 1,.所求椭圆方程为a = . 3,(n)设 A(xb yj , B(X2, y2)。(1 )当 AB 丄 x 轴时，AB 二、3。(2)当AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为y = kx m。由已知 _Jm= = ，得 m2 = ? (k2 +1)。2 4把y二kx m代入椭圆方程，整理得 (3k2 1)x2 6kmx 3m2 -0 ,-6 kmX2 一 3k2

10、 1 '23(m -1)23k2 12AB=(1 k2)(X2 -xj2 =(1 k2)36k2m2(3k2 1)212(m2 -1)3k2112(k2 1)(3k2 1-m2)3(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)2(3k2 1)212k24239k4 6k2 1129k2 g 6k212(k=0) < 34当且仅当9k2P+6十，即k 一中时等号成立。人13罷二当AB最大时， AOB面积取最大值S- xABX=2max22问题六：范围问题(本质是函数问题)max=0时，AB| = J3，综上所述AB例6、设F1、F2分别是椭圆y2 =1的左、右焦点。4(I)若P是该椭圆上

11、的一个动点，求 PF1 PF2的最大值和最小值;(n)设过定点 M (0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且/ AOB为锐角(其O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围。解：（I）易知 a = 2,b =1, c = 3 所以 F1 -3,0 , F2 .3,0 ，设 P x,y，则Pf1 PF2 二 一 3 x, y ,、3x,y = x2 y2 -3 = x2 1-上 3 =丄 3x2 -844x2因为1-2,2 ,故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PR PF2有最小值-2I I当x = 2，即点P为椭圆长轴端点时， PF1 PF2有最大值1(n)显然直线 x=0不满足题设条件

12、，可设直线I : y二kx-2, A为，y2 , B x2, y2 ,y = kx _2联立 x2o ，消去y，整理得:，八1k21 x2 4kx 3=044k3 X1 X2,为 X2 二1 .2 1k +_44由一 4-4 k f 3=4*-3 0 得：k 拧或 k 卡O0 ： A0B ：90° 二 cos A0B 0 = OA OB 0二 OA OB = x1x2 y（y2023k-8k2y2 =（kx *2 泳+2）斗2） +2kX +X2 ）+4 =亠匕 + 壬7 + 4 k2k-4-k2 1k2 -4-k21k214k2140，即 k2 : 4故由、得-2 . k3或一3

13、: k : 22 2题型七、存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+m,存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角）四边形（矩形、菱形、正方形），圆）例7、设椭圆E:(a,b>0)过 M( 2,，N（、-6,1）两点，O为坐标原点,（I）求椭圆E的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA_OB?若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。2 2 _ _解：（1）因为椭圆 E:仔 每=1（ a,b>0）过 M（ 2, 、2 ），N（'一 6,1）两点,a b42 彳11j2 十_T=12 =

14、_2_822所以a b 解得a 8所以 椭圆E的方程为-y 1§ .丄丄丄b2=484a2 b2 -b2 4(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条I ty = kx m切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且OA_OB,设该圆的切线方程为 y二kxm解方程组 x2 y2 得84x2 2(kx m)2 =8,即(1 2k2)x2 4kmx 2m28=0,2 2 2 2 2 2 2 2则厶=16k m -4(1 2k )(2m -8) =8(8k -m 4) 0，即 8k -m 4 0X1X2mx24km1 2k222 m 81 2k2-（临 +桝）（6 +阀=圧珂乃+畑（珂+花）

15、+M加-腑1+2X要使 OA _ OB,需使 x1x2 %y2 = 0,即 2m 8 m 8k = 0,1 +2k21+2k2所以 3m2 -8k2 -8=0 ,所以 k223m -880又 8k2 -m240 ,m222 62.6所以 2，即m或m _ -|3m2 2833因为直线y二kx m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为82.6,r :332 2m 2 mm,r = =2,1k21 k 1 . 3m -882 2 8所求的圆为x y，此时圆的切线3“kx m都满足m 一崇或m吐3 3而当切线的斜率不存在时切线为x = 2、6与椭圆X = 1的两个交点3842,6 2、,6 、 2、6 2 ： 6 为（,”）或（,”）满足 0A 一 0B,3 333一 一 2 2 8综上，存在圆心在原点的圆 x2 y2，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且3OA_OB.所以因为X2为x2二4 km21 2k2m2 -81 2k2（珂厂羽）2 =可）2仙愁=8（8A 一朋 +4）o+W-碍俯叽十严）&81屈