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文档简介

1、 1 §6.4 数列的递推关系与通项 考情考向分析 由数列的递推关系求通项是高考的热点,考查学生的转化能力和综合应用能力,一般以解答题形式出现,中档难度 1递推数列 (1)概念:数列的连续若干项满足的等量关系ankf(ank1,ank2,an)称为数列的递推关系由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列 (2)求递推数列通项公式的常用方法:构造法、累加(乘)法、归纳猜想法 2数列递推关系的几种常见类型 (1)形如anan1f(n)(nN*,且n2) 方法:累加法,即当nN*,n2时,an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1. (2)形如anan 1f(n)(nN*且n2)

2、方法:累乘法,即当nN*,n2时,ananan 1·an1an 2··a2a 1·a1. 注意:n1不一定满足上述形式,所以需要检验 (3)形如anpan1q(nN*且n2) 方法:化为anqp 1p?an1qp 1的形式令bnanqp 1,即得bnpbn1,bn为等比数列,从而求得数列an的通项公式 (4)形如anpan1f(n)(nN*且n2) 方法:两边同除pn,得anp nan1pn 1f?n?p n,令bnanp n,得bnbn1f?n?p n,转化为利用累加法求bn?若f?n?p n为常数,则bn为等差数列,从而求得数列an的通项公式 概念方

3、法微思考 用构造法求数列通项一般构造什么样的数列?这体现了何种数学思想方法? 提示 构造等差或等比数列,体现了转化与化归思想 2 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)在数列an中,a11,ann1 nan1(n2),则an1n.( ) (2)在数列an中,a12,an1an3n2,则an32n2n2.( ) (3)已知在数列an中,a11,前n项和Snn2 3an,则ann?n1? 2.( ) (4)已知数列an的前n项和为Sn,且满足log2(Sn1)n1,则an2n.( × ) 题组二 教材改编 2P52公式推导过程在数列an中,

4、已知a11,an1a nnn 1,那么an_. 答案 1n 3P41T13若数列an满足a11,annan1(n2,nN*),则数列an的通项公式为_ 答案 ann?n1? 2 4P68T14在数列an中,a11,an1an1na n,则an_. 答案 2n2n 2 解析 an1an1na n可化为1an 11a nn, 当n2时,1a 21a 11,1a 31a 22,1a 41a 33, 1a n1an 1n1. 累加得1a n1a 112(n1), 1a nn?n1? 21a 1n2n2 2, 又a11也符合上式, an2n2n 2. 题组三 易错自纠 5在斐波那契数列1,1,2,3,5

5、,8,13,中,an,an1,an2的关系是_ 3 答案 an2anan1 6已知数列an满足a11,an13an2,则an_. 答案 2×3n11 解析 因为an13an2, 所以an113(an1), 所以an11an 13, 所以数列an1为等比数列, 公比q3, 又a112,所以an12×3n1, 所以an2×3n1 1. 题型一 累加法、累乘法求数列的通项公式 1已知在数列an中,a10,an1an2n1,求an. 解 由已知得anan12n3, 当n2时,an(anan1) (an1an2)(a2a1)a1(2n3)(2n5)10(n1)2. 当n1时

6、,a10符合上式,所以an(n1)2,nN*. 2数列an满足a112,anan11n2 n(n2,nN*),求数列an的通项 解 由anan11n2 n(n2,nN*)且a112, anan11n2 n1n 11n an1an21n 21n 1, , a2a111 2, 各式累加整理得an321n,n取1时,32112a1, 所以an321n(nN*) 3已知在数列an中,a12,且nan1(n2)an,求an. 4 解 由已知得an1a nn2 n,当n2时,ananan 1·an1an 2··a2a 1·a1n1n 1·nn 2·

7、;·31·2n(n1), 当n1时,a12也符合上式,所以ann(n1)(nN*) 思维升华(1)求形如an1anf(n)数列的通项公式,此类题型一般可以利用累加法求其通项公式,即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1,累加求得通项公式; (2)求形如an1a nf(n)数列的通项,此类题型一般可以利用累乘法求其通项公式,即ananan 1·an1an 2··a2a 1·a1,累乘求得其通项 题型二 构造等差数列求通项 例1(1)已知在正项数列an中,Sn表示前n项和且 2Snan1,则an_. 答案 2n1 解析 方法一

8、 由已知 2Snan1,得当n1时,a11; 当n2时,anSnSn1,代入已知得 2SnSnSn11,即Sn1 (Sn1)2. 又an>0 ,故Sn1 Sn1 或Sn11 Sn(舍), 即Sn Sn11(n2), 由定义得 Sn是以1为首项,1为公差的等差数列, Snn.故an2n1. 方法二 2Snan1,4Sn(an1)2, 当n2时,4Sn1(an11)2, 两式相减,得4an(an1)2(an11)2, 化简可得(anan1)(anan12)0, an>0,anan12, 2a1a11,a11. 数列an是以1为首项,2为公差的等差数列, an2n1. (2)已知在数列a

9、n中,a12,an12an3·2n,则an_. 答案 2n·?32n12,nN* 解析 在递推关系an12an3·2n的两边同除以2n1,得an12n 1an2 n3 2, 令bn1an12n 1,则bn1bn32,b11, 5 所以bn是以1为首项,3 2为公差的等差数列 所以bn132(n1)32n12, 故an2n·?3n1 2,nN*. 思维升华 (1)形如an1panq·bn的递推关系可构造等差数列 (2)对于含an,Sn混合型的递推关系,可通过an? a1,n1,SnSn1,n2消去an或Sn. 跟踪训练1 (1)在数列an中,已知

10、a11,an12anan 2,则an_. 答案 2n 1,nN* 解析 由已知可知an0, 1an 11a n12,即1an 11a n12, 又1a 11, ?1a n是以1为首项,12为公差的等差数列,1a n1a 1(n1)×1 2n1 2,an2n 1,nN*. (2)已知在数列an中,a115,且当n2时,有an1an4anan10,则an_. 答案 14n 1(nN*) 解析 由题意知an0,将等式an1an4anan10两边同除以anan1得1a n1an 14,n2, 则数列?1a n为等差数列,且首项为1a 15,公差d4, 故1a n1a 1(n1)d54(n1)

11、4n1, an14n 1(nN*) 题型三 构造等比数列求通项公式 例2(1)已知数列an满足a12,an12an2,求数列an的通项公式 解 an12an2, an122(an2), 又a124, an2是以4为首项,2为公比的等比数列, 6 an24·2n1,an2n12(nN*) (2)已知数列an中,a11,an·an1?1 2n,记T2n为an的前2n项的和,bna2na2n1,nN*,求数列bn的通项公式 解 an·an1?12n,an1·an2?12n1, an2a n12,即an212an. bna2na2n1, bn1b na2n2a2

12、n1a2na2n 112a2n12a2n1a2na2n 11 2, a11,a1·a212,a212,b1a1a232. bn是首项为32,公比为12的等比数列 bn32×?12n132 n(nN*) 思维升华形如anpan1q(pq0)型的递推关系,可构造等比数列求通项公式 跟踪训练2(1)已知数列an满足an13an12,a11,求数列an的通项公式 解 设an13(an1),解得3,则an313(an13),令bnan3, 则数列bn是以b1a132为首项,1 3为公比的等比数列,所以bn23n 1,所以an323n 1(nN*) (2)(2018·苏州、无

13、锡、常州、镇江调研)已知n为正整数,数列an满足an>0,4(n1)a2nna2n10,若a12,求an. 解 由已知可得a2n1n 14·a2n n, an>0, an 1n12·ann, 又a12, ?ann是以a12为首项,2为公比的等比数列, 7 ann 2n,ann·2n( n N*) 1已知a13,an13 n13n2an(n1,nN*),则an_. 答案 63n1 解析 当n2时, an3?n1?13 ?n1?2·3?n2?13 ?n2? 2··3×213×22 ·3132a1

14、3 n43n1·3 n73n4··58·2 5·363n1. a13也符合上式,所以a n63n1. 2已知在数列an中,a112,an1an 14n21,则an_. 答案 4 n34n2(nN*) 解析 由已知可得 an1an 14n2112? ?12n 112n1, 令n1,2,(n1),代入得(n1)个等式累加,即 (a2a1)(a3a2)(anan1) 12?113?1315? ?12n 312n1, ana112? 112n1,ana1121 2·12n1, 即an 114n24 n34n2(nN*)?经验证a112也符合.

15、 3在数列an中,若a12,an1anln?11n,则an_. 答案 2lnn(nN*) 解析 当n2时,anan1ln? ?11n1an 1lnnn1, 8 an1an2lnn1n 2, an2an3lnn2n 3, , a2a1ln2, 累加可得ana1ln?nn 1×n1n 2×n2n 3××2 a1lnn, an2lnn,nN*(经验证a12也符合此式) 4已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn>1,且6Sn(an1)(an2),nN*,则数列an的通项公式为_ 答案 an3n1 解析 由a1S116(a11)(a12), 解得a11

16、或a12.由已知a1S1>1,得a12. 又由an1Sn1Sn 16(an11)(an12)16(an1)(an2), 得an1an30或an1an. 因为an>0,故an1an不成立,舍去 因此an1an30,即an1an3, 从而an是公差为3,首项为2的等差数列,故an的通项公式为an3n1. 5已知在数列an中,a156,an113an?12n1,则an_. 答案 32 n23 n(nN*) 解析 在an113an?12n1的两边同乘以2n1得 2n1·an12 3·(2nan)1,令bn2nan. 则b153,bn123bn1, 于是可得bn1323(

17、bn3), bn343×?23n12?2 3n, 9 bn32?2 3n, anbn2 n3?12n2?13n32 n23 n(nN*) 6(2018·江苏省南通市启东中学月考)设数列an的前n项和为Sn,且满足Sn2an2,则a8a 6_. 答案 4 解析 Sn2an2, a12a12,解得a12, anSnSn1(2an2)(2an12),n2, 整理,得anan 12, an是首项为2,公比为2的等比数列, a8a 6282 64. 7设数列an满足a1a,an1can1c,cN*,其中a,c为实数,且c0,则数列an的通项公式为_ 答案 an(a1)cn11(nN*

18、) 解析 an11c(an1), 当a1时, an 1是首项为a1,公比为c的等比数列, an1(a1)cn1,即an(a1)cn11. 当a1时,an1仍满足上式 数列 an的通项公式为an(a1)cn11(nN*) 8已知数列an的前n项和为Sn,且anSnn,则数列an的通项公式为_ 答案 an1?12n(nN*) 解析 anSnn, an1Sn1n1. 得an1anan11, 2an1an1,2(an11)an1, 又a1a11,a1121, an11an 112. 10 设cnan1,首项c1a111 2. 数列cn是以12为首项,12为公比的等比数列 故cn?12·?12

19、n1?12n, ancn11?12n(nN*) 9已知数列an满足an1an1an1an 1n(nN*),且a26,则数列an的通项公式为_ 答案 ann(2n1),nN* 解析 由an1an1an1an 1n,得(n1)an1(n1)an(n1),当n2时,有an1n 1ann 11n 1, 所以an1n?n1 ?an?n1? n1n?n1 ?1n 11n, 由累加法,得当n3时,ann(2n1) 把n1,a26代入an1an1an1an 1n,得a11, 经验证a11,a26均满足ann(2n1) 综上,ann(2n1),nN*. 10已知数列an满足a12,an11an1a n(nN*)

20、,则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3··a2 019_. 答案 3 解析 由题意可得a21a11a 13,a31a21a 212,a41a31a 313,a51a41a 42a1, 数列an是以4为周期的数列,而20194×5043,a1a2a3a41, 前2019项的乘积为1504·a1a2a33. 11已知在数列an中,a11,a22,且an1(1q)anqan1(n2,q0) (1)设bnan1an(nN*),证明bn是等比数列; (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由题设an1(1q)anqan1(n2),得a

21、n1anq(anan1),即bnqbn1(n2) 又b1a2a11,q0, 所以bn是首项为1,公比为q的等比数列 11 (2)解 由(1),知a2a11, a3a2q, , anan1qn2(n2) 将以上各式相加,得ana11qqn2(n2) 所以当n2时, an? 11qn11 q,q1,n,q1. 上式对n1显然成立 所以an? 2qn1q1 q,q1,n,q1(nN*) 12已知在数列an中,a11,且满足递推关系an12a2n3anman 1(nN*) (1)当m1时,求数列an的通项公式; (2)当nN*时,数列an满足不等式an1an恒成立,求m的取值范围 解 (1)因为m1,

22、由an12a2n3an1an 1(nN*),得 an1?2an1?an1?an 12an1, 所以an112(an1), 又a1120, 所以数列an1是以2为首项,2为公比的等比数列 于是an12×2n1,所以an2n1(nN*) (2)因为an1an,而a11,知an1, 所以2a2n3anman 1an,即ma2n2an, 由题意,得m(an1)21恒成立 因为an1,所以m2213,即满足题意的m的取值范围是3,) 13(2019·盐城模拟)已知数列an满足:a13,an2an13(1)n(n2)a1,ak2ak3成等差数列,k2,k3N*,k2<k3,则k3k2_. 答案 1 解析 根据题意,数列an满足: 12 a13,an2an13(1)n(n2), 则a22a132×333,a32a232×339, a42a332×9315,其中a1,a3,a4为等差数列的前3项, 又由akn是等差数列,且k11,则有k23,k34, 则k3k21. 14对于正项数列an,定义Hnna12a23a3na

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