必修四平面几何中的向量方法

1、平面几何中的向量方法 学习目标 1.经受用向量方法解决某些简洁的平面几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培育运算才能、分析和解决实际问题的才能学问点一向量方法在几何中的应用1证明线段平行问题，包括相像问题， 常用向量平行 共线 的等价条件： abb 0. a b. x1y2 x2y1 0.2证明垂直问题， 如证明四边形是矩形、正方形等， 常用向量垂直的等价条件：非零向量a， b， a b. a·b0. x1x2y1y 2 0.a·bx1x2 y1y2.3求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos 2222|a|b|x1 y1x2 y

2、24求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|x2 y2.摸索 abc 中， m 、n 分别为 ab、ac 的中点求证：mn bc.证明设 aab， ac b，就 bc ac ab b a，又 m 、 n 分别为 ab、ac 的中点 11am 2a， an 2b. amn 中， 1b 112 b a，2mn 1 anama 2mn 2bc，即 mn 与bc共线， mn bc .学问点二直线的方向向量1直线 ax by c 0 的方向向量为 b， a；直线 y kxb 的方向向量为1， k2应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l1 ：y k1x b1 与直线 l

3、2：y k2x b2，它们的方向向量依次为v 1 1，k1，v 21 ，k2当 v1 v2，即 v1·v2 1 k1k2 0 时， l 1 l 2，夹角为直角；当k1k2 1 时， v1·v2 0，直线 l 1与 l 2 的夹角为0 °<<90 °不难推导利用k1、k2 表示 cos 的夹角公式：|v1·v2| cos |v1 |v2 |1 k1k2|.121 k2· 1k2摸索 1已知直线l ： 2x y 10，在以下向量：1 v1 1,2； v2 2,1； v3 2， 1 ； v4 2， 4其中能作为直线l 方向向量的

4、有： . 答案摸索 2直线 x 2y 1 0 与直线 2x y 3 0 的夹角为 ；直线 2x y1 0 与直线 3x y1 0 的夹角为 答案90° 45°学问点三直线的法向量1直线 ax by c 0 的法向量为 a， b；直线 y kx b 的法向量为 k， 1 2直线法向量的简洁应用：利用直线的法向量判定两直线的位置关系：对于直线l 1：a1x b1y c1 0， l2： a2x b2yc2 0，它们的法向量分别为n1 a1， b1， n 2 a2 ，b2当 n 1n2 时， l1 l2 或 l 1 与 l2 重合即 a1b2 a2b1 0. l1 l 2 或 l1

5、 与 l 2 重合； 当 n 1n2 时， l1 l2 .即 a1a2 b1 b2 0. l1 l 2.摸索直线 l1：a 2x 1 ay 30 与直线 l 2：a 1x 2a3 y 2 0 垂直，就 a 的值为 答案±1解析n 1 a 2,1a，n 2 a 1,2a 3， l1 l2 ， n 1·n2 a 2a 1 1a2 a3 a 1 a1 0， a ±1.题型一向量在平面几何中的应用例 1求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值解如图， 分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系设 a2a,0， b0,2a，就 da,0， c0

6、，a ，ac从而可求： 2a， a， a， 2a ，bd 不妨设 ac·bdac、bd 的夹角为 ，就 cos 2a，a ·a， 2a 4a2|ac|bd |45a· 5a5a2 5.故所求钝角的余弦值为45跟踪训练1已知正方形abcd 中， e、f 分别是 cd 、 ad 的中点， be、 cf 交于点 p.求证： 1be cf ； 2 ap ab.证明建立如下列图的平面直角坐标系，设 ab 2，就 a0,0，b2,0，c2,2， e1,2， f0,1 1,2， 2， 11becf be·cf 1× 2 2× 1 0， be cf，

7、即 becf .fp2设点 p 坐标为 x， y，就 2,1， ， x，y 1，fcfpfc x 2y1，即 x 2y2，同理，由 ，得 y 2x 4，bpbex 2y 2， 由得y 2x 46x ，58y ，5， 点 p 的坐标为 6585 6 28 2|ap|即 ap ab.5 5 2 |ab|，题型二向量在解析几何中的应用例 2已知 abc 的三个顶点a0， 4，b4,0，c 6,2，点 d、e、f 分别为边bc、ca 、ab 的中点1求直线 de 、ef 、fd 的方程；2求 ab 边上的高线ch 所在直线方程解1 由已知得点d 1,1， e 3， 1， f 2， 2 ，设 m x，

8、y是直线de 上任意一点，就 dm de . x 1， y 1， 2， 2dmde 2× x 1 2y 1 0， 即 x y 2 0 为直线 de 的方程 同理可求，直线ef ， fd 的方程分别为x 5y8 0， xy 0.2设点 nx，y 是 ch 所在直线上任意一点，就 cn ab. cn ·ab 0.又 cn x 6， y 2， ab 4,4 4x 6 4y2 0，即 x y 4 0 为所求直线ch 的方程跟踪训练2已知点 a4,0， b4,4， c2,6 ，试用向量方法求直线ac 和 obo 为坐标原点 的交点 p 的坐标解设 px， y，就 x，y， x4， y

9、，opap由于 p 是 ac 与 ob 的交点，所以 p 在直线 ac 上，也在直线ob 上，即得 op ob， ap ac，由点 a4,0， b4,4 ， c2,6 得， 2,6， 4,4 ，acob得方程组6 x 4 2y 0，4x4y 0x 3，解得y 3故直线 ac 与 ob 的交点 p 的坐标为 3,3题型三平面对量的综合应用例 3如下列图， 在平行四边形abcd 中，bc 2ba ， abc 60°，作 aebd 交 bc 于 e，求be 的值 ec解方法一基向量法 设 ba a，bc b， |a| 1， |b | 2.a·b|a|b|cos 60 a b.&#

10、176;1， bd设 be bc b，就 ae be ba ba.由 ae bd ，得 0.ae·bd即b a ·a b 0.2解得 2，5be5233ec .5方法二以 b 为坐标原点， 直线 bc 为 x 轴建立平面直角坐标系，依据条件，设 b0,0，c2,0，a 1，3 ， d 5，3.又设 em,0，2222就 532bd ，2 1，3aem22.由 ae bd ，得 0.ae·bd5133即m×0，22得 m422 4be52 ， 所以 . 5ec635跟踪训练3已知 p 是正方形abcd 对角线bd 上一点， pfce 为矩形求证：pa ef

11、 且pa ef .证明以 d 为坐标原点，dc 所在直线为x 轴， da 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系oxy如下列图 ，设正方形边长为1，op| | ，就 a0,1，2p2 ，22， e 1，22 ，f2， 0 ，于是 212，2 2pa2 ，2 2ef2 1， 2 . 2222|pa|122 1，2 2 同理 |ef|22 1， |pa| |ef |， pa ef. 2222pa·ef 1221 2 2 0，pa ef. pa ef.转化条件证“三心”op例 41 已知 o 是平面上的一个定点，a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点 p 满意 abacoa ，其中 0，

12、，就动点p 的轨迹肯定通过abc 的|ab|cos b|ac|cos ca 重心b 垂心c外心d 内心 2已知 o 是平面上的一个定点，a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点p 满意 opoaab ac，其中 0， ，就动点p 的轨迹肯定通过abc 的|ab|sin b|ac|sin ca 重心b 垂心c外心d 内心3已知 o 是平面上的一个定点，a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点 p 满意 ob ocop2 a bac，其中 0， ，就动点 p 的轨迹肯定通过abc 的|ab|cos b|ac|cos ca 重心b 垂心c外心d 内心解析1 由已知得 abac ，两边同向量 取数量积

13、，得 ap |ab|cos b|ac|cos cbcap ·bcab·bcac·bc |bc| |bc| 0，故动点 p 的轨迹肯定通过 abc 的垂心，应选|ab|cos b|ac|cos c b. abac2对 opoa ，其中 0， 进行移项转化， 设 abc 的 bc 边|ab|sin b|a c |sin c上的高为h，bc 边上的中点为d，就由已知得 2 ， 向量 与aphabac，即 aph adapad向量 共线，故动点p 的轨迹肯定通过abc 的重心，应选a.3设 bc 的中点为 d ，就由已知得 abac，两边同时与向量 取数量积，dp|ab|

14、cos bbc|ac|cos c得 ab·bcac·bcdp ·bc |bc| |b c | 0，故动点 p 的轨迹肯定通过 abc 的|ab|cos b外心，应选c.答案1b2a3c|ac|cos c1已知 abc， a， b，且 a·<b0，就 abc 的外形为 abaca 钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d不能确定2已知 a1,2， b 2,1，以 ab 为直径的圆的方程是 3在直角坐标系xoy 中，已知点a0,1和点 b 3,4，如点c 在 aob 的平分线上且 |oc |oc 2，就 .4正方形 oabc 的边长为1，点 d ，e 分别

15、为 ab， bc 的中点，试求cosdoe 的值5已知直线l1： 3x y2 0 与直线 l2：mx y 1 0 的夹角为45°，求实数 m 的值一、挑选题1在 abc 中，已知 a4,1、b7,5、c 4,7，就 bc 边的中线ad 的长是 57a 25b.25c 35d.25 2点 o 是三角形abc 所在平面内的一点，满意oa·ob的ob·oc oc ·oa ，就点 o 是 abca 三个内角的角平分线的交点 b 三条边的垂直平分线的交点 c三条中线的交点d三条高的交点3在四边形 abcd 中， 1,2， 4,2，就该四边形的面积为 acbda.5

16、b 25c 5d 10 4如 o 是 abc 所在平面内一点，且满意|oboc | |ob oc 2oa|，就 abc 的外形是a 等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等边三角形5已知点 a3，1， b0,0，c3， 0，设 bac 的平分线 ae 与 bc 相交于 e，那么有 bcc e，其中 等于 a 2b. 12c 3d 13 6如四边形abcd 满意 abcd 0， ab ad ·ac 0，就该四边形肯定是a 正方形b矩形c菱形d直角梯形7已知直线 ax by c 0 与圆 x2 y2 1 相交于 a，b 两点，就|ab|3，就 .oa·ob 8已知平面上三点a

17、、b、c满意 |ab| 3， |bc| 4， |ca| 5.就 ab·bc .9.如下列图，在abc 中，点 o 是 bc 的中点过点o 的直线分别交直线bc·caca ·ab ab、ac 于不同的两点m 、n，如abmam ，ac nan，就 m n 的值为10已知 p、q 为 abc 内的两点，且 1 1 ， 1 1 ，就 apq 的面积4与 abc 的面积之比为 三、解答题11过点 a 2,1，求：1与向量 a3,1平行的直线方程；2与向量 b 1,2垂直的直线方程aqacab 2ap2ac4ab12三角形abc 是等腰直角三角形，b 90°， d

18、 是 bc 边的中点， be ad，延长be 交ac 于 f，连接 df .求证： adb fdc .13.如下列图， 正三角形abc 中，d 、e 分别是 ab、bc 上的一个三等分点，且分别靠近点a、点 b，且 ae、cd 交于点 p.求证： bp dc .当堂检测答案1 答案a2 答案x2 y2 x 3y 0解析设 px， y为圆上任一点，就 x 1， y2 ， x2， y 1，apbp由 ap·bp x 1 x 2 y2 y1 0，化简得 x2 y2 x 3y 0.3 答案10，31055解析已知 a0,1 ，b 3,4，设 e0,5 ，d 3,9， 四边形 obde 为菱形

19、 aob 的角平分线是菱形obde 的对角线od .设 c x1，y1 ， 310，|od |2ocod .310 x1， y1 2310 3,9， 105即oc 310510，5，3105.4 解以 oa， oc 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如下列图，由题意知：11od 1， 2 ，oe 2， 1 ，od ·oe故 cosdoe 11× 25×|od | ·oe|1× 1.245522.即 cosdoe 的值为 455 解设直线 l 1， l2 的法向量为n1，n2 ，就 n 1 3,1， n2 m， 1由题意：cos 45°

20、|n 1·2n| |3m 1|2.|n1| ·2|10· 1 m22整理得： 2m2 3m2 0，.解得： m2 或 m 12课时精练答案一、挑选题1 答案b解析bc 中点为 d3，62， 5，5 ，2ad 5|ad | 25.2 答案d解析 ，oa·obob·oc oa oc ·ob 0. ob·ca 0. obac.同理 oa bc， ocab ， o 为三条高的交点3 答案c解析 1,2 ·4,2 4 40，ac·bd1 1 ac bd， s 四边形 abcd 2|ac| ·bd|4 答案

21、b×5× 255.2解析 |oboc| |cb| |abac|， |oboc 2oa| |ab ac|， |ab ac| |ab ac|， 四边形 abdc 是矩形，且 bac 90°. abc 是直角三角形5 答案c，解析如下列图，由题知 abc 30°， aec 60°， ce33 |bc|ce 3， bc 3ce.6 答案c解析 0abcd， ab dc ，四边形 abcd 是平行四边形， 由ab ad· ac 0，得 db·ac 0， ，即此四边形对角线相互垂直，故为菱形dbac7 答案 12解析如图，作 od ab

22、 于 d ，就在 rtaod 中， oa 1，ad 32 ，所以 aod 60°， aob 120°， 所 以 1× 1× 1 1.oa ·ob|oa | ·o|b |cos 120 °228 答案 25，解析 abc 中， b 90°，cos a3 cos c 4， 554 ab·bc 0， bc·ca 4× 5× 5 16， 5× 3× 3 9.ca·ab 5 ab·bc bc·ca ca ·ab 25.9.答案2解析 o 是 bc 的中点，1 ao ab ac 2又 ab mam，ac nan， m n ao 2 am m ， o， nan. 2mn1.就 m n 2.三点共线， 2 210 答案316解析如图，依据题意，p、 q 为abc 中位线 de 、df 的中点， pq 112ef 4bc，而 a 到pq 的距离是到bc 距离的 3，依据三角形的面积公式可知，s apq 3 s abc.416三、解答题11 解设所求直线上任意一点px， y，ap a2,1， x 2， y 1ap1由题意知 a， x 2×